Polinomios de Legendre

Sistema de polinomios completos y ortogonales

Los primeros seis polinomios de Legendre

En matemáticas , los polinomios de Legendre , llamados así en honor a Adrien-Marie Legendre (1782), son un sistema de polinomios completos y ortogonales con un amplio número de propiedades matemáticas y numerosas aplicaciones. Pueden definirse de muchas maneras, y las diversas definiciones resaltan diferentes aspectos, además de sugerir generalizaciones y conexiones con diferentes estructuras matemáticas y aplicaciones físicas y numéricas.

Estrechamente relacionados con los polinomios de Legendre están los polinomios de Legendre asociados , las funciones de Legendre , las funciones de Legendre de segundo tipo, los polinomios q-Legendre grandes y las funciones de Legendre asociadas .

Definición y representación

Definición por construcción como sistema ortogonal

En este enfoque, los polinomios se definen como un sistema ortogonal respecto de la función de peso en el intervalo . Es decir, es un polinomio de grado , tal que ${\displaystyle w(x)=1}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}$$

Con la condición de estandarización adicional , todos los polinomios pueden determinarse de forma única. Luego comenzamos el proceso de construcción: es el único polinomio estandarizado correctamente de grado 0. debe ser ortogonal a , lo que lleva a , y se determina exigiendo ortogonalidad a y , y así sucesivamente. se fija exigiendo ortogonalidad a todos con . Esto da condiciones que, junto con la estandarización, fijan todos los coeficientes en . Con trabajo, todos los coeficientes de cada polinomio pueden determinarse sistemáticamente, lo que lleva a la representación explícita en potencias de que se da a continuación. ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle P_{1}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle P_{2}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle P_{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Esta definición de la es la más simple. No apela a la teoría de ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, la completitud de los polinomios se sigue inmediatamente de la completitud de las potencias 1, . Finalmente, al definirlos mediante ortogonalidad con respecto a la función de peso más obvia en un intervalo finito, establece los polinomios de Legendre como uno de los tres sistemas polinómicos ortogonales clásicos . Los otros dos son los polinomios de Laguerre , que son ortogonales sobre la semirrecta , y los polinomios de Hermite , ortogonales sobre la recta completa , con funciones de peso que son las funciones analíticas más naturales que aseguran la convergencia de todas las integrales. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Definición mediante función generadora

Los polinomios de Legendre también pueden definirse como los coeficientes de una expansión formal en potencias de la función generadora ^[1] ${\displaystyle t}$

El coeficiente de es un polinomio de grado . Expandir hasta da La expansión a órdenes superiores se vuelve cada vez más engorrosa, pero es posible hacerlo sistemáticamente y nuevamente conduce a una de las formas explícitas que se dan a continuación. ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |x|\leq 1}$ ${\displaystyle t^{1}}$ $${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}$$

Sin embargo, es posible obtener los valores más altos sin recurrir a la expansión directa de la serie de Taylor . La ecuación  2 se deriva con respecto a t en ambos lados y se reorganiza para obtener Reemplazando el cociente de la raíz cuadrada con su definición en la ecuación  2 e igualando los coeficientes de las potencias de t en la expansión resultante se obtiene la fórmula de recursión de Bonnet. Esta relación, junto con los dos primeros polinomios P _​​0 y P ₁ , permite generar todo el resto de forma recursiva. ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}$$ $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$$

El enfoque de la función generadora está directamente relacionado con la expansión multipolar en electrostática, como se explica a continuación, y es cómo los polinomios fueron definidos por primera vez por Legendre en 1782.

Definición mediante ecuación diferencial

Una tercera definición es en términos de soluciones a la ecuación diferencial de Legendre :

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en x = ±1, por lo que si se busca una solución utilizando el método estándar de Frobenius o de series de potencias , una serie sobre el origen solo convergerá para | x | < 1 en general. Cuando n es un entero, la solución P _n ( x ) que es regular en x = 1 también es regular en x = −1 , y la serie para esta solución termina (es decir, es un polinomio). La ortogonalidad y completitud de estas soluciones se ve mejor desde el punto de vista de la teoría de Sturm-Liouville . Reescribimos la ecuación diferencial como un problema de valor propio, con el valor propio en lugar de . Si exigimos que la solución sea regular en , el operador diferencial de la izquierda es hermítico . Se encuentra que los valores propios tienen la forma n ( n + 1) , con y las funciones propias son . La ortogonalidad y completitud de este conjunto de soluciones se desprende inmediatamente del marco más amplio de la teoría de Sturm-Liouville. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$

La ecuación diferencial admite otra solución no polinómica, las funciones de Legendre de segundo tipo . Una generalización de dos parámetros de (Ec.  1 ) se denomina ecuación diferencial general de Legendre , resuelta por los polinomios de Legendre asociados . Las funciones de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial de Legendre (generalizada o no) con parámetros no enteros . ${\displaystyle Q_{n}}$

En entornos físicos, la ecuación diferencial de Legendre surge de manera natural siempre que uno resuelve la ecuación de Laplace (y ecuaciones diferenciales parciales relacionadas ) mediante la separación de variables en coordenadas esféricas . Desde este punto de vista, las funciones propias de la parte angular del operador laplaciano son los armónicos esféricos , de los cuales los polinomios de Legendre son (hasta una constante multiplicativa) el subconjunto que se deja invariante por rotaciones sobre el eje polar. Los polinomios aparecen como donde es el ángulo polar. Este enfoque de los polinomios de Legendre proporciona una conexión profunda con la simetría rotacional. Muchas de sus propiedades que se encuentran laboriosamente a través de los métodos de análisis (por ejemplo, el teorema de la adición) se encuentran más fácilmente utilizando los métodos de simetría y teoría de grupos, y adquieren un profundo significado físico y geométrico. ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \theta }$

Fórmula de Rodrigues y otras fórmulas explícitas

Una expresión especialmente compacta para los polinomios de Legendre viene dada por la fórmula de Rodrigues : $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}$$

Esta fórmula permite la derivación de un gran número de propiedades de . Entre ellas se encuentran representaciones explícitas como Expresando el polinomio como una serie de potencias, , los coeficientes de las potencias de también se pueden calcular utilizando una fórmula general: El polinomio de Legendre se determina por los valores utilizados para las dos constantes y , donde si es impar y si es par. ^[2] ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&=[t^{n}]{\frac {\left((t+x)^{2}-1\right)^{n}}{2^{n}}}=[t^{n}]{\frac {\left(t+x+1\right)^{n}\left(t+x-1\right)^{n}}{2^{n}}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\[1ex]P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\[1ex]P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cdot \cos(t)\right)}^{n}\,dt&{\text{if }}|x|>1\\x^{n}&{\text{if }}|x|=1\\{\frac {2}{\pi }}\cdot x^{n}\cdot |x|\cdot \int _{|x|}^{1}{\frac {t^{-n-1}}{\sqrt {t^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {\cos \left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin \left(\arccos(t)\right)}}\,dt&{\text{if }}0<|x|<1\\(-1)^{n/2}\cdot 2^{-n}\cdot {\binom {n}{n/2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ even}}\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ odd}}\end{cases}}.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{k}x^{k}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle a_{k+2}=-{\frac {(l-k)(l+k+1)}{(k+2)(k+1)}}a_{k}.}$$ ${\textstyle a_{0}}$ ${\textstyle a_{1}}$ ${\textstyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle a_{1}=0}$ ${\displaystyle n}$

En la cuarta representación, representa el mayor entero menor o igual a . La última representación, que también es inmediata a partir de la fórmula de recursión, expresa los polinomios de Legendre mediante monomios simples e implica la forma generalizada del coeficiente binomial . ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n/2}$

Los primeros polinomios de Legendre son:

Los gráficos de estos polinomios (hasta n = 5 ) se muestran a continuación:

Gráfico de los seis primeros polinomios de Legendre.

Propiedades principales

Ortogonalidad

La estandarización fija la normalización de los polinomios de Legendre (con respecto a la norma L 2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 ). Dado que también son ortogonales con respecto a la misma norma, las dos afirmaciones ^{[ aclaración necesaria ]} se pueden combinar en la ecuación única, (donde δ _mn denota el delta de Kronecker , igual a 1 si m = n y a 0 en caso contrario). Esta normalización se encuentra más fácilmente empleando la fórmula de Rodrigues , que se muestra a continuación. ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$$

Lo completo

Que los polinomios sean completos significa lo siguiente. Dada cualquier función continua por partes con un número finito de discontinuidades en el intervalo [−1, 1] , la sucesión de sumas converge en la media a como , siempre que tomemos ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$$

Esta propiedad de completitud subyace a todas las expansiones analizadas en este artículo, y a menudo se enuncia en la forma −1 ≤ x ≤ 1 y −1 ≤ y ≤ 1 . $${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}$$

Aplicaciones

Expansión de un potencial de distancia inversa

Los polinomios de Legendre fueron introducidos por primera vez en 1782 por Adrien-Marie Legendre ^[3] como los coeficientes en la expansión del potencial newtoniano donde r y r ′ son las longitudes de los vectores x y x ′ respectivamente y γ es el ángulo entre esos dos vectores. La serie converge cuando r > r ′ . La expresión da el potencial gravitacional asociado a una masa puntual o el potencial de Coulomb asociado a una carga puntual . La expansión utilizando polinomios de Legendre podría ser útil, por ejemplo, al integrar esta expresión sobre una distribución continua de masa o carga. $${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$$

Los polinomios de Legendre se dan en la solución de la ecuación de Laplace del potencial estático , ∇ ² Φ( x ) = 0 , en una región libre de carga del espacio, utilizando el método de separación de variables , donde las condiciones de contorno tienen simetría axial (no dependen de un ángulo azimutal ). Donde ẑ es el eje de simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje ẑ (el ángulo cenital), la solución para el potencial será $${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}$$

A _l y B _l se deben determinar de acuerdo con la condición de contorno de cada problema. ^[4]

También aparecen al resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para una fuerza central.

En expansiones multipolares

Diagrama de la expansión multipolar del potencial eléctrico.

Los polinomios de Legendre también son útiles para expandir funciones de la forma (esto es lo mismo que antes, escrito de forma un poco diferente): que surgen naturalmente en expansiones multipolares . El lado izquierdo de la ecuación es la función generadora de los polinomios de Legendre. $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}$$

A modo de ejemplo, el potencial eléctrico Φ( r , θ ) (en coordenadas esféricas ) debido a una carga puntual ubicada en el eje z en z = a (ver diagrama a la derecha) varía como $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

Si el radio r del punto de observación P es mayor que a , el potencial puede expandirse en los polinomios de Legendre donde hemos definido η = ⁠ $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}$$a/a⁠ < 1 y x = cos θ . Esta expansión se utiliza para desarrollar la expansión multipolar normal .

Por el contrario, si el radio r del punto de observación P es menor que a , el potencial puede expandirse igualmente en los polinomios de Legendre como se indicó anteriormente, pero con a y r intercambiados. Esta expansión es la base de la expansión multipolar interior.

En trigonometría

Las funciones trigonométricas cos nθ , también denominadas polinomios de Chebyshev T _n (cos θ ) ≡ cos nθ , también pueden desarrollarse multipolarmente mediante los polinomios de Legendre P _n (cos θ ) . Los primeros órdenes son los siguientes: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

Otra propiedad es la expresión para sen ( n + 1) θ , que es $${\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}$$

En redes neuronales recurrentes

Una red neuronal recurrente que contiene un vector de memoria de dimensión d , , se puede optimizar de modo que sus actividades neuronales obedezcan el sistema lineal invariante en el tiempo dado por la siguiente representación en el espacio de estados : ${\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}$ $${\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}$$

En este caso, la ventana deslizante de a través de las unidades de tiempo pasadas se aproxima mejor mediante una combinación lineal de los primeros polinomios de Legendre desplazados, ponderados juntos por los elementos de en el tiempo : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}$$

Cuando se combinan con métodos de aprendizaje profundo , estas redes se pueden entrenar para superar a las unidades de memoria de corto plazo y arquitecturas relacionadas, mientras utilizan menos recursos computacionales. ^[5]

Propiedades adicionales

Los polinomios de Legendre tienen paridad definida, es decir, son pares o impares , ^[6] según $${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.}$$

Otra propiedad útil es la que se deduce de considerar la relación de ortogonalidad con . Es conveniente cuando se utiliza una serie de Legendre para aproximar una función o datos experimentales: el promedio de la serie en el intervalo [−1, 1] viene dado simplemente por el coeficiente de expansión principal . $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,}$$ ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$ ${\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}$ ${\displaystyle a_{0}}$

Dado que la ecuación diferencial y la propiedad de ortogonalidad son independientes de la escala, las definiciones de los polinomios de Legendre se "estandarizan" (a veces llamadas "normalización", pero la norma real no es 1) al escalarse de modo que $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,.}$$

La derivada en el punto final está dada por $${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}$$

La desigualdad de Askey-Gasper para polinomios de Legendre se lee $${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\quad {\text{for }}\quad x\geq -1\,.}$$

Los polinomios de Legendre de un producto escalar de vectores unitarios se pueden expandir con armónicos esféricos usando donde los vectores unitarios r y r ′ tienen coordenadas esféricas ( θ , φ ) y ( θ ′, φ ′) , respectivamente. $${\displaystyle P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,}$$

El producto de dos polinomios de Legendre ^[7] donde es la integral elíptica completa de primer tipo . $${\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }t^{p}P_{p}(\cos \theta _{1})P_{p}(\cos \theta _{2})={\frac {2}{\pi }}{\frac {\mathbf {K} \left(2{\sqrt {\frac {t\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}}{t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\right)}{\sqrt {t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\,,}$$ ${\displaystyle K(\cdot )}$

Relaciones de recurrencia

Como se discutió anteriormente, los polinomios de Legendre obedecen a la relación de recurrencia de tres términos conocida como fórmula de recursión de Bonnet dada por y o, con la expresión alternativa, que también se cumple en los puntos finales. $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}$$

Útil para la integración de polinomios de Legendre es $${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}$$

De lo anterior se desprende también que o equivalentemente donde ‖ P _n ‖ es la norma en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}$$

Asintóticos

Asintóticamente, para , los polinomios de Legendre se pueden escribir como ^[8] y para argumentos de magnitud mayor que 1 ^[9] donde J ₀ , J ₁ e I ₀ son funciones de Bessel . ${\displaystyle \ell \to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\left\{J_{0}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}-{\frac {\left({\frac {1}{\theta }}-\cot \theta \right)}{8(\ell +{\frac {1}{2}})}}J_{1}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}\right\}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-2}\right)\\[1ex]&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}$$

Ceros

Todos los ceros de son reales, distintos entre sí y se encuentran en el intervalo . Además, si los consideramos como si dividieran el intervalo en subintervalos, cada subintervalo contendrá exactamente un cero de . Esto se conoce como propiedad de entrelazado. Debido a la propiedad de paridad, es evidente que si es un cero de , también lo es . Estos ceros juegan un papel importante en la integración numérica basada en la cuadratura gaussiana . La cuadratura específica basada en la de se conoce como cuadratura de Gauss-Legendre . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle P_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle -x_{k}}$ ${\displaystyle P_{n}}$

De esta propiedad y de los hechos de que , se deduce que tiene mínimos y máximos locales en . Equivalentemente, tiene ceros en . ${\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle dP_{n}(x)/dx}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

Evaluaciones puntuales

La paridad y la normalización implican que los valores en los límites sean En el origen se puede demostrar que los valores están dados por ${\displaystyle x=\pm 1}$ $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}$$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$$ $${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$$

Variantes con argumento transformado

Polinomios de Legendre desplazados

Los polinomios de Legendre desplazados se definen como Aquí la función "desplazante" x ↦ 2 x − 1 es una transformación afín que mapea biyectivamente el intervalo [0, 1] al intervalo [−1, 1] , lo que implica que los polinomios P̃ _n ( x ) son ortogonales en [0, 1] : $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}$$

Una expresión explícita para los polinomios de Legendre desplazados viene dada por $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}$$

El análogo de la fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre desplazados es $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}$$

Los primeros polinomios de Legendre desplazados son:

Funciones racionales de Legendre

Las funciones racionales de Legendre son una secuencia de funciones ortogonales en [0, ∞). Se obtienen componiendo la transformada de Cayley con polinomios de Legendre.

Una función de Legendre racional de grado n se define como: $${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}$$

Son funciones propias del problema singular de Sturm-Liouville : con valores propios $${\displaystyle \left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0}$$ $${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}$$

Véase también

• Cuadratura gaussiana
• Polinomios de Gegenbauer
• Las desigualdades de Turán
• Ondícula de Legendre
• Función de Legendre
• Polinomios de Jacobi
• Polinomios de Romanovski
• Expansión de Laplace (potencial)

Notas

1. Arfken y Weber 2005, pág. 743
2. Boas, Mary L. (2006). Métodos matemáticos en las ciencias físicas (3.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0-471-19826-0.
3. Legendre, A.-M. (1785) [1782]. "Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes" (PDF) . Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées (en francés). vol. X. París. págs. 411–435. Archivado desde el original (PDF) el 20 de septiembre de 2009.
4. Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley & Sons. pág. 103. ISBN 978-0-471-30932-1.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Voelker, Aaron R.; Kajić, Ivana; Eliasmith, Chris (2019). Unidades de memoria de Legendre: representación en tiempo continuo en redes neuronales recurrentes (PDF) . Avances en sistemas de procesamiento de información neuronal.
6. Arfken y Weber 2005, pág. 753
7. Leonard C. Maximon (1957). "Una función generadora del producto de dos polinomios de Legendre". Norske Videnskabers Selskab Forhandlinger . 29 : 82–86.
8. Szegő, Gábor (1975). Polinomios ortogonales (4.ª ed.). Providence: American Mathematical Society. pp. 194 (Teorema 8.21.2). ISBN 0821810235.OCLC 1683237  .
9. "DLMF: 14.15 Aproximaciones asintóticas uniformes".

Referencias

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• Arfken, George B .; Weber, Hans J. (2005). Métodos matemáticos para físicos . Elsevier Academic Press. ISBN 0-12-059876-0.
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Enlaces externos

• Una derivación informal rápida del polinomio de Legendre en el contexto de la mecánica cuántica del hidrógeno
• "Polinomios de Legendre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Entrada de Wolfram MathWorld sobre polinomios de Legendre
• Artículo del Dr. James B. Calvert sobre los polinomios de Legendre de su colección personal de matemáticas
• Los polinomios de Legendre de Carlyle E. Moore
• Polinomios de Legendre de la hiperfísica