Pirámide cuadrada

Pirámide con base cuadrada

En geometría , una pirámide cuadrada es una pirámide con una base cuadrada, que tiene un total de cinco caras. Si el vértice de la pirámide está directamente sobre el centro del cuadrado, es una pirámide cuadrada recta con cuatro triángulos isósceles ; de lo contrario, es una pirámide cuadrada oblicua . Cuando todas las aristas de la pirámide tienen la misma longitud, sus triángulos son todos equiláteros . Se llama pirámide cuadrada equilátera , un ejemplo de sólido de Johnson .

Las pirámides cuadradas han aparecido a lo largo de la historia de la arquitectura, con ejemplos como las pirámides egipcias y muchos otros edificios similares. También aparecen en química en estructuras moleculares piramidales cuadradas . Las pirámides cuadradas se utilizan a menudo en la construcción de otros poliedros . Muchos matemáticos de la antigüedad descubrieron la fórmula para el volumen de una pirámide cuadrada con diferentes enfoques.

Casos especiales

Pirámide cuadrada recta

Una pirámide cuadrada tiene cinco vértices, ocho aristas y cinco caras. Una cara, llamada base de la pirámide, es un cuadrado ; las otras cuatro caras son triángulos . ^[2] Cuatro de las aristas forman el cuadrado conectando sus cuatro vértices. Las otras cuatro aristas se conocen como aristas laterales de la pirámide; se encuentran en el quinto vértice, llamado vértice . ^[3] Si el vértice de la pirámide se encuentra en una línea erigida perpendicularmente desde el centro del cuadrado, se llama pirámide cuadrada recta , y las cuatro caras triangulares son triángulos isósceles . De lo contrario, la pirámide tiene dos o más caras triangulares no isósceles y se llama pirámide cuadrada oblicua . ^[4]

La altura oblicua de una pirámide cuadrada recta se define como la altura de uno de sus triángulos isósceles. Se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras : donde es la longitud de la base del triángulo, también una de las aristas del cuadrado, y es la longitud de los catetos del triángulo, que son las aristas laterales de la pirámide. ^[5] La altura de una pirámide cuadrada recta se puede obtener de manera similar, con una sustitución de la fórmula de la altura oblicua que da: ^[6] El área de la superficie de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras. El área de la superficie de una pirámide cuadrada recta se puede expresar como , donde y son las áreas de uno de sus triángulos y su base, respectivamente. El área de un triángulo es la mitad del producto de su base por su lado, siendo el área de un cuadrado la longitud del lado al cuadrado. Esto da la expresión: ^[7] En general, el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de su base multiplicada por su altura. ^[8] Expresado en una fórmula para una pirámide cuadrada, esto es: ^[9] ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=4T+S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.}$$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h.}$$

Muchos matemáticos han descubierto la fórmula para calcular el volumen de una pirámide cuadrada en la antigüedad. En el Papiro matemático de Moscú , los matemáticos egipcios demostraron conocer la fórmula para calcular el volumen de una pirámide cuadrada truncada , lo que sugiere que también estaban familiarizados con el volumen de una pirámide cuadrada, pero se desconoce cómo se derivó la fórmula. Más allá del descubrimiento del volumen de una pirámide cuadrada, el problema de encontrar la pendiente y la altura de una pirámide cuadrada se puede encontrar en el Papiro matemático de Rhind . ^[10] Los matemáticos babilónicos también consideraron el volumen de un tronco de cono, pero dieron una fórmula incorrecta para ello. ^[11] Un matemático chino Liu Hui también descubrió el volumen mediante el método de disección de un sólido rectangular en pedazos. ^[12]

Pirámide cuadrada equilátera

Modelo 3D de una pirámide cuadrada equilátera

Si todas las aristas triangulares tienen la misma longitud, los cuatro triángulos son equiláteros y las caras de la pirámide son todas polígonos regulares , se trata de una pirámide cuadrada equilátera. ^[13] Los ángulos diedros entre caras triangulares adyacentes son , y el ángulo entre la base y cada cara triangular es la mitad de este, . ^[1] Un poliedro convexo en el que todas las caras son polígonos regulares se denomina sólido de Johnson . La pirámide cuadrada equilátera se encuentra entre ellos, enumerada como el primer sólido de Johnson . ^[14] ${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.47^{\circ }}$ ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$ ${\displaystyle J_{1}}$

Como sus aristas tienen todas la misma longitud (es decir, ), su inclinación, altura, área de superficie y volumen se pueden derivar sustituyendo las fórmulas de una pirámide cuadrada recta: ^[15] ${\displaystyle b=l}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}}$$

Al igual que otras pirámides rectas con un polígono regular como base, una pirámide cuadrada recta tiene simetría piramidal . Para la pirámide cuadrada, esta es la simetría del grupo cíclico : la pirámide se deja invariante mediante rotaciones de uno, dos y tres cuartos de vuelta completa alrededor de su eje de simetría , la línea que conecta el vértice con el centro de la base; y también es simétrica especularmente con respecto a cualquier plano perpendicular que pase por una bisectriz de la base. ^[1] Puede representarse como el gráfico de rueda , lo que significa que su esqueleto puede interpretarse como un cuadrado en el que sus cuatro vértices conectan un vértice en el centro llamado vértice universal . ^[16] Es autodual , lo que significa que su poliedro dual es la propia pirámide cuadrada. ^[17] ${\displaystyle C_{4\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle W_{4}}$

Una pirámide cuadrada equilátera es un poliedro elemental , es decir, no se puede separar por un plano para crear dos pequeños poliedros convexos con caras regulares. ^[18]

Aplicaciones

En arquitectura, las pirámides construidas en el antiguo Egipto son ejemplos de edificios con forma de pirámides cuadradas. ^[19] Los piramidólogos han propuesto varias sugerencias para el diseño de la Gran Pirámide de Giza , incluida una teoría basada en el triángulo de Kepler y la proporción áurea . Sin embargo, los académicos modernos prefieren descripciones que utilizan proporciones enteras, por ser más consistentes con el conocimiento de las matemáticas y la proporción egipcias. ^[20] Las pirámides mesoamericanas también son edificios piramidales antiguos similares a las egipcias; se diferencian en tener cimas planas y escaleras que ascienden por sus caras. ^[21] Los edificios modernos cuyos diseños imitan las pirámides egipcias incluyen la Pirámide del Louvre y el hotel casino Luxor Las Vegas . ^[22]

En estereoquímica , un grupo de átomos puede tener una geometría piramidal cuadrada . Una molécula piramidal cuadrada tiene un elemento del grupo principal con un par solitario activo , que puede describirse mediante un modelo que predice la geometría de las moléculas conocida como teoría VSEPR . ^[23] Los ejemplos de moléculas con esta estructura incluyen pentafluoruro de cloro , pentafluoruro de bromo y pentafluoruro de yodo . ^[24]

Tetrakis hexahedra , una construcción de poliedros por ampliación que implica pirámides cuadradas

La base de una pirámide cuadrada se puede unir a una cara cuadrada de otro poliedro para construir nuevos poliedros, un ejemplo de aumento . Por ejemplo, un tetrakis hexaedro se puede construir uniendo la base de una pirámide cuadrada equilátera a cada cara de un cubo. ^[25] La unión de prismas o antiprismas a las pirámides se conoce como elongación o giroelongación , respectivamente. ^[26] Algunos de los otros sólidos de Johnson se pueden construir ya sea aumentando pirámides cuadradas o aumentando otras formas con pirámides cuadradas: pirámide cuadrada alargada , pirámide cuadrada giroelongada , bipirámide cuadrada alargada , bipirámide cuadrada giroelongada , prisma triangular aumentado , prisma triangular biaumentado , prisma triangular triaumentado , prisma pentagonal aumentado , prisma pentagonal biaumentado , prisma hexagonal aumentado , prisma hexagonal parabiaumentado , prisma hexagonal metabiaumentado , prisma hexagonal triaumentado y esfenocorona aumentada . ^[27] ${\displaystyle J_{8}}$ ${\displaystyle J_{10}}$ ${\displaystyle J_{15}}$ ${\displaystyle J_{17}}$ ${\displaystyle J_{49}}$ ${\displaystyle J_{50}}$ ${\displaystyle J_{51}}$ ${\displaystyle J_{52}}$ ${\displaystyle J_{53}}$ ${\displaystyle J_{54}}$ ${\displaystyle J_{55}}$ ${\displaystyle J_{56}}$ ${\displaystyle J_{57}}$ ${\displaystyle J_{87}}$

Véase también

• Número piramidal cuadrado , número natural que cuenta el número de esferas apiladas en una pirámide cuadrada.

Referencias

Notas

1. Johnson (1966).
2. Clissold (2020), pág. 180.
3. O'Keeffe y Hyde (2020), pág. 141; Smith (2000), pág. 98.
4. Viernes (2014), pág. 598.
5. Larcombe (1929), pág. 177; Perry y Perry (1981), págs. 145-146.
6. Larcombe (1929), pág. 177.
7. Viernes (2014), pág. 798.
8. Alejandro y Koeberlin (2014), pág. 403.
9. Larcombe (1929), pág. 178.
10. Cromwell (1997), págs. 20-22.
11. Eves (1997), pág. 2.
12. Wagner (1979).
13. Hocevar (1903), pág. 44.
14. Uehara (2020), pág. 62.
15. Simonson (2011), pág. 123; Berman (1971), véase la tabla IV, línea 21.
16. Pisanski y Servatius (2013), pág. 21.
17. Wohlleben (2019), pág. 485–486.
18. Hartshorne (2000), pág. 464; Johnson (1966).
19. Kinsey, Moore y Prassidis (2011), pág. 371.
20. Herz-Fischler (2000) analiza muchas teorías alternativas sobre la forma de esta pirámide. Véase el capítulo 11, "Teoría del triángulo de Kepler", pp. 80-91, para material específico sobre el triángulo de Kepler, y la p. 166 para la conclusión de que la teoría del triángulo de Kepler puede eliminarse mediante el principio de que "Una teoría debe corresponder a un nivel de matemáticas consistente con lo que sabían los antiguos egipcios". Véase la nota 3, p. 229, para la historia del trabajo de Kepler con este triángulo. Véase Rossi (2004), pp. 67-68, citando que "no hay evidencia directa en ninguna fuente matemática escrita del antiguo Egipto de ningún cálculo aritmético o construcción geométrica que pudiera clasificarse como la Sección Áurea... la convergencia a , y en sí misma como un número, no encajan con las fuentes matemáticas existentes del Reino Medio"; véase también una discusión extensa de múltiples teorías alternativas sobre la forma de la pirámide y otra arquitectura egipcia, pp. 7-56. Véase también Rossi y Tout (2002) y Markowsky (1992). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
21. Feder (2010), pág. 34; Takacs y Cline (2015), pág. 16.
22. Jarvis y Naested (2012), pág. 172; Simonson (2011), pág. 122.
23. Petrucci, Harwood y Herring (2002), pág. 414.
24. Emeléus (1969), pág. 13.
25. Demey y Smessaert (2017).
26. Slobodan, Obradović y Ðukanović (2015).
27. Rajwade (2001), págs. 84-89. Véase la Tabla 12.3, donde denota el prisma de lados y denota el antiprisma de lados . ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Obras citadas

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Pirámide cuadrada" ("Sólido de Johnson") en MathWorld .
• Pirámide cuadrada: modelo poliedro interactivo
• Poliedros de realidad virtual georgehart.com: La enciclopedia de poliedros ( modelo VRML archivado el 7 de octubre de 2023 en Wayback Machine )