Números amigables

Los números amigos son dos números naturales diferentes relacionados de tal manera que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro número. Es decir, s ( a ) = b y s ( b ) = a , donde s ( n ) = σ ( n ) - n es igual a la suma de los divisores positivos de n excepto el propio n (ver también función divisoria ).

El par más pequeño de números amigos es ( 220 , 284 ). Son amigables porque los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, de los cuales la suma es 284; y los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, de los cuales la suma es 220. (Un divisor propio de un número es un factor positivo de ese número distinto del número mismo. Por ejemplo, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, de los cuales la suma es 220. de 6 son 1, 2 y 3.)

Los primeros diez pares amistosos son: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), ( 17296, 18416), (63020, 76084) y (66928, 66992). (secuencia A259180 en la OEIS ). (Ver también OEIS : A002025 y OEIS : A002046 ) Se desconoce si hay infinitos pares de números amigos.

Un par de números amigos constituye una secuencia alícuota del período 2. Un concepto relacionado es el de número perfecto , que es un número que es igual a la suma de sus propios divisores propios, en otras palabras, un número que forma una secuencia alícuota del período 1. Los números que son miembros de una secuencia alícuota con un período mayor que 2 se conocen como números sociables .

Historia

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay infinitos números amigos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Los pitagóricos conocían los números amistosos , quienes les atribuían muchas propiedades místicas. Alrededor del año 850, el matemático iraquí Thābit ibn Qurra (826-901) inventó una fórmula general mediante la cual se podían derivar algunos de estos números . Otros matemáticos árabes que estudiaron números amigables son al-Majriti (fallecido en 1007), al-Baghdadi (980-1037) y al-Fārisī (1260-1320). El matemático iraní Muhammad Baqir Yazdi (siglo XVI) descubrió el par (9363584, 9437056), aunque esto a menudo se ha atribuido a Descartes . ^[1] Gran parte del trabajo de los matemáticos orientales en esta área ha sido olvidado.

La fórmula de Thābit ibn Qurra fue redescubierta por Fermat (1601-1665) y Descartes (1596-1650), a quienes a veces se le atribuye, y ampliada por Euler (1707-1783). Borho lo amplió aún más en 1972. Fermat y Descartes también redescubrieron pares de números amistosos conocidos por los matemáticos árabes. Euler también descubrió decenas de nuevos pares. ^[2] El segundo par más pequeño, (1184, 1210), fue descubierto en 1867 por B. Nicolò I. Paganini, de 16 años (que no debe confundirse con el compositor y violinista), habiendo sido pasado por alto por matemáticos anteriores. ^[3]^[4]

Al 17 de febrero de 2024 ^[actualizar], hay más de 1.228.870.591 parejas amistosas conocidas. ^[5]

Reglas para la generación

Si bien estas reglas generan algunos pares de números amigables, se conocen muchos otros pares, por lo que estas reglas no son de ninguna manera exhaustivas.

En particular, las dos reglas siguientes producen sólo pares amigos pares, por lo que no son de interés para el problema abierto de encontrar pares amigos coprimos a 210 = 2·3·5·7, mientras que más de 1000 pares coprimos a 30 = 2·3 ·Se conocen 5 [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

Teorema de Thābit ibn Qurrah

El teorema de Thābit ibn Qurrah es un método para descubrir números amigables inventado en el siglo IX por el matemático árabe Thābit ibn Qurrah . ^[6]

Afirma que si

{\begin{aligned}p&=3\times 2^{n-1}-1,\\q&=3\times 2^{n}-1,\\r&=9\times 2^{2n -1}-1,\end{alineado}}

donde $n > 1$ es un número entero y $p, q, r$ son números primos , entonces $2 n \times p \times q$ y $2 n \times r$ son un par de números amigos. Esta fórmula proporciona los pares $(220, 284)$ para $n = 2$ , $(17296, 18416)$ para $n = 4$ y $(9363584, 9437056)$ para $n = 7$ , pero no se conocen otros pares similares. Los números de la forma $3 \times 2 n - 1$ se conocen como números Thabit . Para que la fórmula de Ibn Qurrah produzca una pareja amistosa, dos números Thabit consecutivos deben ser primos; esto restringe severamente los posibles valores de $n$ .

Para establecer el teorema, Thâbit ibn Qurra demostró nueve lemas divididos en dos grupos. Los primeros tres lemas tratan de la determinación de las partes alícuotas de un entero natural . El segundo grupo de lemas trata más específicamente de la formación de números perfectos, abundantes y deficientes. ^[6]

regla de euler

La regla de Euler es una generalización del teorema de Thâbit ibn Qurra. Afirma que si

{\begin{aligned}p&=(2^{n-m}+1)\times 2^{m}-1,\\q&=(2^{n-m}+1)\times 2^{n}-1,\\r&=(2^{n-m}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1,\end{aligned}}

n > m > 0

números enteros

p, q, r

números primos

2 n \times p \times q

2 n \times r

m = n - 1

(m, n) = (1,8), (29,40)

^[2]^[7]

pares regulares

Sea ( $m$ , $n$ ) un par de números amigos con $m < n$ , y escriba $m = gM$ y $n = gN$ donde $g$ es el máximo común $divisor$ de $my$ n . Si $M$ y $N$ son coprimos de $g$ y libres de cuadrados , entonces se dice que el par ( $m$ , $n$ ) es regular (secuencia A215491 en el OEIS ); de lo contrario, se le llama irregular o exótico . Si ( $m$ , $n$ ) es regular y $M$ y $N$ tienen factores primos $i$ y $j$ respectivamente, entonces se dice que $($ $m$ $,$ $n$ $)$ es de tipo $($ $i$ $,$ $j$ $)$ .

Por ejemplo, con $(m, n) = (220, 284)$ , el máximo común divisor es $4$ , por lo que $M = 55$ y $N = 71$ . Por tanto, $(220, 284)$ es regular de tipo $(2, 1)$ .

Parejas gemelas amistosas

Un par amistoso $(m, n)$ es gemelo si no hay números enteros entre $myn$ que pertenezcan a cualquier otro par amistoso (secuencia $A273259$ en la OEIS ).

Otros resultados

En todos los casos conocidos, los números de un par son ambos pares o ambos impares. No se sabe si existe un par par-impar de números amigos, pero si existe, el número par debe ser un número cuadrado o dos veces uno, y el número impar debe ser un número cuadrado. Sin embargo, existen números amistosos en los que los dos miembros tienen diferentes factores primos más pequeños: se conocen siete pares de este tipo. ^[8] Además, cada par conocido comparte al menos un factor primo común . No se sabe si existe un par de números coprimos amigos, aunque si existe alguno, el producto de los dos debe ser mayor que 10 ⁶⁷ . ^{[ cita necesaria ]} Además, un par de números coprimos amigos no pueden generarse mediante la fórmula de Thabit (arriba), ni mediante ninguna fórmula similar.

En 1955, Paul Erdős demostró que la densidad de los números amigos, en relación con los números enteros positivos, era 0. ^[9]

En 1968, Martin Gardner observó que la mayoría de las parejas amistosas conocidas en su época tenían sumas divisibles por 9, ^[10] y se obtuvo una regla para caracterizar las excepciones (secuencia A291550 en la OEIS ). ^[11]

Según la conjetura de la suma de pares amigos, a medida que el número de números amigos se acerca al infinito, el porcentaje de las sumas de los pares amigos divisibles por diez se acerca al 100% (secuencia A291422 en la OEIS ). Aunque todas las parejas amistosas hasta 10.000 son parejas pares, la proporción de parejas amistosas impares aumenta constantemente hacia números más altos, y presumiblemente hay más de ellas que de parejas amistosas pares (A360054 en OEIS).

Existen pares amistosos gaussianos. ^[12]

Generalizaciones

tuplas amigables

Los números amigos satisfacen y se pueden escribir juntos como . Esto se puede generalizar a tuplas más grandes, por ejemplo , donde requerimos $(m,n)$ $\sigma (m)-m=n$ $\sigma (n)-n=m$ $\sigma (m)=\sigma (n)=m+n$ $(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})$

\sigma (n_{1})=\sigma (n_{2})=\dots =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}

Por ejemplo, (1980, 2016, 2556) es un triple amistoso (secuencia A125490 en la OEIS ), y (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) es un cuádruple amigable (secuencia A036471 en la OEIS ).

Los multiconjuntos amigables se definen de manera análoga y lo generalizan un poco más (secuencia A259307 en OEIS ).

números sociables

Los números sociables son los números en listas cíclicas de números (con una longitud mayor que 2) donde cada número es la suma de los divisores propios del número anterior. Por ejemplo, son números sociables de orden 4. $1264460\mapsto 1547860\mapsto 1727636\mapsto 1305184\mapsto 1264460\mapsto \dots$

Buscando números sociables

La secuencia alícuota se puede representar como un gráfico dirigido ,, para un número entero dado , donde denota la suma de los divisores propios de . [ ^13]Los ciclos representan números sociables dentro del intervalo . Dos casos especiales son los bucles que representan números perfectos y los ciclos de longitud dos que representan pares amistosos . $G_{n,s}$ $n$ $s(k)$ $k$ $G_{n,s}$ $[1,n]$

Referencias en la cultura popular

Los números amistosos aparecen en la novela The Housekeeper and the Professor de Yōko Ogawa y en la película japonesa basada en ella.
La colección de cuentos de Paul Auster titulada True Tales of American Life contiene una historia ('Mathematical Aphrodisiac' de Alex Galt) en la que los números amigables juegan un papel importante.
Los números amistosos aparecen brevemente en la novela The Stranger House de Reginald Hill .
Los números amistosos se mencionan en la novela francesa El teorema del loro de Denis Guedj .
En el JRPG Persona 4 Golden se mencionan números amistosos .
Los números amistosos aparecen en la novela visual Rewrite .
En el episodio 13 del drama coreano Andante de 2017 se hace referencia a números amistosos (220, 284) .
En la película griega The Other Me (película de 2016) aparecen números amistosos .
Los números amistosos se analizan en el libro ¿Son reales los números? por Brian Clegg .
Los números amistosos se mencionan en la novela Apeirogon de 2020 de Colum McCann .

Ver también

Números prometidos (números casi amistosos)
Triple amistoso : variación de tres números de números amistosos.

Notas

^ Costello, Patrick (1 de mayo de 2002). "Nuevos pares amistosos de tipo (2; 2) y tipo (3; 2)" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 72 (241): 489–497. doi :10.1090/S0025-5718-02-01414-X. Archivado (PDF) desde el original el 29 de febrero de 2008 . Consultado el 19 de abril de 2007 .
^ ab Sandifer, C. Edward (2007). Cómo lo hizo Euler . Asociación Matemática de América . págs. 49–55. ISBN 978-0-88385-563-8.
^ Sprugnoli, Renzo (27 de septiembre de 2005). "Introduzione alla matematica: La matematica della scuola media" (PDF) (en italiano). Universita degli Studi di Firenze: Dipartimento di Sistemi e Informatica. pag. 59. Archivado desde el original (PDF) el 13 de septiembre de 2012 . Consultado el 21 de agosto de 2012 .
^ Martin Gardner (2020) [Publicado originalmente en 1977]. Espectáculo de Magia Matemática. Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 168.ISBN _ 9781470463588. Archivado desde el original el 12 de septiembre de 2023 . Consultado el 18 de marzo de 2023 .
^ Chernykh, Sergei. "Lista de parejas amigas". Archivado desde el original el 16 de agosto de 2017 . Consultado el 17 de febrero de 2024 .
^ ab Rashed, Roshdi (1994). El desarrollo de las matemáticas árabes: entre la aritmética y el álgebra . vol. 156. Dordrecht, Boston, Londres: Kluwer Academic Publishers. pag. 278.279. ISBN 978-0-7923-2565-9.
^ Vea a William Dunham en un video: Una velada con Leonhard Euler - YouTube Archivado el 16 de mayo de 2016 en Wayback Machine.
^ "Noticias de parejas amistosas". Archivado desde el original el 18 de julio de 2021 . Consultado el 31 de enero de 2016 .
^ Erdős, Paul (2022). "Sobre números amistosos" (PDF) . Publicaciones Mathematicae Debrecen . 4 (1–2): 108–111. doi :10.5486/PMD.1955.4.1-2.16. S2CID 253787916. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
^ Gardner, Martín (1968). "Juegos Matemáticos". Científico americano . 218 (3): 121-127. Código bibliográfico : 1968SciAm.218c.121G. doi : 10.1038/scientificamerican0368-121. ISSN 0036-8733. JSTOR 24926005. Archivado desde el original el 25 de septiembre de 2022 . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
^ Lee, Elvin (1969). "Sobre la divisibilidad por nueve de las sumas de pares pares amigables". Matemáticas de la Computación . 23 (107): 545–548. doi : 10.2307/2004382 . ISSN 0025-5718. JSTOR 2004382.
^ Patrick Costello, Ranthony AC Edmonds. "Pares amistosos gaussianos". Revista de Ciencias Matemáticas de Missouri, 30(2) 107-116 noviembre de 2018.
^ Rocha, Rodrigo Caetano; Thatte, Bhalchandra (2015), Detección de ciclos distribuidos en gráficos dispersos a gran escala , Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi :10.13140/RG.2.1.1233.8640

Referencias

Wikisource tiene el texto del artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 " Amicable Numbers ".

Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público : Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Números amistosos". Encyclopædia Britannica (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs. 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001.
Wells, D. (1987). Diccionario pingüino de números curiosos e interesantes . Londres: Penguin Group . págs. 145-147.
Weisstein, Eric W. "Pareja amistosa". MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "Regla de Thâbit ibn Kurrah". MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "La regla de Euler". MundoMatemático .

enlaces externos

M. García; JM Pedersen; HJJ te Riele (31 de julio de 2003). «Parejas amigas, una encuesta» (PDF) . Informe MAS-R0307 .
Suciedad, James. "220 y 284 (Números amistosos)". Numéfilo . Brady Harán . Archivado desde el original el 16 de julio de 2017 . Consultado el 2 de abril de 2013 .
Suciedad, James. "MegaFavNumbers: la conjetura de los números pares amigables". YouTube . Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2021 . Consultado el 9 de junio de 2020 .
Koutsoukou-Argyraki, Angeliki (4 de agosto de 2020). "Números amigables (Desarrollo de pruebas formales en Isabelle/HOL, Archivo de Pruebas Formales)".
Chernykh, Sergei. «Lista de parejas amigas» . Consultado el 10 de septiembre de 2023 .(base de datos de todos los números amistosos conocidos)