Paralelepípedo

Hexaedro con caras de paralelogramo

En geometría , un paralelepípedo es una figura tridimensional formada por seis paralelogramos (el término romboide también se utiliza a veces con este significado). Por analogía, se relaciona con un paralelogramo de la misma manera que un cubo se relaciona con un cuadrado . ^[a]

Tres definiciones equivalentes de paralelepípedo son

• un hexaedro con tres pares de caras paralelas,
• un poliedro con seis caras ( hexaedro ), cada una de las cuales es un paralelogramo, y
• un prisma cuya base es un paralelogramo .

El cuboide rectangular (seis caras rectangulares ), el cubo (seis caras cuadradas ) y el romboedro (seis caras romboidales ) son casos especiales de paralelepípedo.

"Paralelepípedo" ahora se suele pronunciar / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p ɪ p ɪ d / o / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p aɪ p ɪ d / ; ^[1] tradicionalmente era / ˌ p ær ə l ɛ l ˈ ɛ p ɪ p ɛ d / PARR -ə-lel- EP -ih-ped ^[2] por su etimología en griego παραλληλεπίπεδον paralelepípedo (con -i- corta ), un cuerpo "que tiene planos paralelos".

Los paralelepípedos son una subclase de los prismatoides .

Propiedades

Cualquiera de los tres pares de caras paralelas puede considerarse como el plano base del prisma. Un paralelepípedo tiene tres conjuntos de cuatro aristas paralelas; las aristas de cada conjunto tienen la misma longitud.

Los paralelepípedos resultan de transformaciones lineales de un cubo (para los casos no degenerados: las transformaciones lineales biyectivas).

Como cada cara tiene simetría puntual , un paralelepípedo es un zonohedro . Además, todo el paralelepípedo tiene simetría puntual C _i (véase también triclínico ). Cada cara es, vista desde fuera, la imagen especular de la cara opuesta. Las caras son en general quirales , pero el paralelepípedo no lo es.

Es posible realizar una teselación que llene el espacio con copias congruentes de cualquier paralelepípedo.

Volumen

Paralelepípedo, generado por tres vectores

Un paralelepípedo es un prisma que tiene como base un paralelogramo . Por lo tanto, el volumen de un paralelepípedo es el producto del área de la base por la altura (ver diagrama). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle h}$

• ${\displaystyle B=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}$(donde es el ángulo entre los vectores y ), y ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|}$(donde es el ángulo entre el vector y la normal a la base), se obtiene: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

$${\displaystyle V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.}$$El producto mixto de tres vectores se denomina producto triple . Puede describirse mediante un determinante . Por lo tanto, para el volumen es: ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},}$

Otra forma de demostrar ( V1 ) es usar el componente escalar en la dirección del vector : El resultado se deduce. ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{aligned}}}$$

Una representación alternativa del volumen utiliza únicamente propiedades geométricas (ángulos y longitudes de los bordes):

donde , , , y son las longitudes de los bordes. ${\displaystyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Prueba de ( V2 )

La prueba de ( V2 ) utiliza propiedades de un determinante y la interpretación geométrica del producto escalar :

Sea la matriz 3×3, cuyas columnas son los vectores (ver arriba). Entonces se cumple lo siguiente: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=\left(\det M\right)^{2}=\det M\det M=\det M^{\mathsf {T}}\det M=\det(M^{\mathsf {T}}M)\\&=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \end{bmatrix}}\\&=\ a^{2}\left(b^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\alpha )\right)\\&\quad -ab\cos(\gamma )\left(ab\cos(\gamma )c^{2}-ac\cos(\beta )\;bc\cos(\alpha )\right)\\&\quad +ac\cos(\beta )\left(ab\cos(\gamma )bc\cos(\alpha )-ac\cos(\beta )b^{2}\right)\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\alpha )\\&\quad -a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&\quad +a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\beta )\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}\left(1-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\beta )\right)\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}\;\left(1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\right).\end{aligned}}}$$

(Los últimos pasos utilizan , ..., , , , ...) ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =a^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos \beta }$ ${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos \alpha }$

Tetraedro correspondiente

El volumen de cualquier tetraedro que comparte tres aristas convergentes de un paralelepípedo es igual a una sexta parte del volumen de ese paralelepípedo (ver prueba ).

Área de superficie

El área de la superficie de un paralelepípedo es la suma de las áreas de los paralelogramos que lo delimitan: (Para el etiquetado: consulte la sección anterior). $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}}$$

Casos especiales por simetría

• Se conoce como cubo al paralelepípedo con simetría Ohm _, que tiene seis caras cuadradas congruentes.
• El paralelepípedo con simetría D _4h se conoce como cuboide cuadrado , que tiene dos caras cuadradas y cuatro caras rectangulares congruentes.
• El paralelepípedo con simetría D _3d se conoce como trapezoedro trigonal , que tiene seis caras rómbicas congruentes (también llamado romboedro isoédrico ).
• Para paralelepípedos con simetría D _2h , existen dos casos:
  • Cuboide rectangular : tiene seis caras rectangulares (también llamado paralelepípedo rectangular , o a veces simplemente cuboide ).
  • Prisma rómbico recto : tiene dos caras rómbicas y cuatro caras rectangulares congruentes.

    Nota: el caso especial completamente rómbico, con dos caras rómbicas y cuatro caras cuadradas congruentes , tiene el mismo nombre y el mismo grupo de simetría (D _2h , orden 8). ${\displaystyle (a=b=c)}$

• Para paralelepípedos con simetría C _2h , existen dos casos:
  • Prisma paralelogramo recto : tiene cuatro caras rectangulares y dos caras paralelogramáticas.
  • Prisma rómbico oblicuo : tiene dos caras rómbicas, mientras que de las otras caras, dos adyacentes son iguales y las otras dos también (los dos pares son imagen especular uno del otro).

Paralelepípedo perfecto

Un paralelepípedo perfecto es un paralelepípedo con aristas de longitud entera, diagonales de caras y diagonales espaciales . En 2009, se demostró la existencia de docenas de paralelepípedos perfectos, ^[3] respondiendo a una pregunta abierta de Richard Guy . Un ejemplo tiene aristas 271, 106 y 103, diagonales de caras menores 101, 266 y 255, diagonales de caras mayores 183, 312 y 323, y diagonales espaciales 374, 300, 278 y 272.

Se conocen algunos paralelepípedos perfectos que tienen dos caras rectangulares, pero no se sabe si existen algunos con todas las caras rectangulares; un caso así se llamaría cuboide perfecto .

Paralelotopo

Coxeter denominó paralelepípedo a la generalización de un paralelepípedo en dimensiones superiores como paraleletopo . En la literatura moderna, el término paralelepípedo también se utiliza a menudo en dimensiones superiores (o finitas arbitrarias). ^[4]

En concreto, en el espacio n -dimensional se le denomina paralelepípedo n -dimensional o, simplemente, paralelotopo n (o paralelepípedo n ). Así, un paralelogramo es un paralelotopo bidimensional y un paralelepípedo es un paralelotopo tridimensional.

Las diagonales de un n -paralelotopo se cortan en un punto y son bisecadas por este punto. La inversión en este punto deja el n -paralelotopo sin cambios. Véase también Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano .

Los bordes que irradian desde un vértice de un k -paralelotopo forman un k -marco del espacio vectorial, y el paralelotopo se puede recuperar a partir de estos vectores, tomando combinaciones lineales de los vectores, con pesos entre 0 y 1. ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$

El volumen n de un paralelótopo n inserto en donde se puede calcular mediante el determinante de Gram . Alternativamente, el volumen es la norma del producto exterior de los vectores: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m\geq n}$ $${\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}$$

Si m = n , esto equivale al valor absoluto del determinante de la matriz formada por los componentes de los n vectores.

Una fórmula para calcular el volumen de un n -paralelotopo P en , cuyos n + 1 vértices son , es donde es el vector fila formado por la concatenación de los componentes de y 1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}$ $${\displaystyle \mathrm {Vol} (P)=\left|\det \left(\left[V_{0}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\left[V_{1}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\ldots ,\left[V_{n}\ 1\right]^{\mathsf {T}}\right)\right|,}$$ ${\displaystyle [V_{i}\ 1]}$ ${\displaystyle V_{i}}$

De manera similar, el volumen de cualquier n - símplex que comparte n aristas convergentes de un paralelotopo tiene un volumen igual a un 1/ n ! del volumen de ese paralelotopo.

Etimología

El término paralelepípedo proviene del griego antiguo παραλληλεπίπεδον ( parallēlepípedon , «cuerpo con superficies planas paralelas»), de parallēl («paralelo») + epípedon («superficie plana»), de epí- («sobre») + pedon («suelo»). Por lo tanto, las caras de un paralelepípedo son planas, y las caras opuestas son paralelas. ^{[5] [6]}

En inglés, el término paralelepípedo aparece atestiguado en una traducción de 1570 de los Elementos de Euclides realizada por Henry Billingsley . La ortografía parallelepipedum se utiliza en la edición de 1644 del Cursus mathematicus de Pierre Hérigone . En 1663, el paralelepípedo actual aparece atestiguado en Chorea gigantum de Walter Charleton . ^[5]

El diccionario de Charles Hutton (1795) muestra paralelepípedo y paralelepípedo , mostrando la influencia de la forma combinatoria parallelo- , como si el segundo elemento fuera pipedón en lugar de epipedón . Noah Webster (1806) incluye la ortografía parallelopiped . La edición de 1989 del Oxford English Dictionary describe paralelepípedo (y paralelepípedo ) explícitamente como formas incorrectas, pero estas se enumeran sin comentarios en la edición de 2004, y solo se dan las pronunciaciones con énfasis en la quinta sílaba pi ( /paɪ/ ).

Véase también

• Listas de formas

Notas

1. En la geometría euclidiana se definen los cuatro conceptos: paralelepípedo y cubo en tres dimensiones, paralelogramo y cuadrado en dos dimensiones, pero en el contexto de una geometría afín más general , en la que no se diferencian ángulos, solo existen paralelogramos y paralelepípedos .

1. "paralelepípedo". Dictionary.com Unabridged (en línea). nd
2. Diccionario Oxford de inglés , 1904; Segunda Internacional de Webster , 1947
3. Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). "Los paralelepípedos perfectos existen". Matemáticas de la computación . 80 (274): 1037–1040. arXiv : 0907.0220 . doi :10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. S2CID  206288198..
4. Morgan, CL (1974). Incrustaciones de espacios métricos en el espacio euclidiano. Journal of Geometry, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
5. "paralelepípedo". Diccionario Oxford de inglés . 1933.
6. parallhlepi/pedon. Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; Un léxico griego-inglés en el Proyecto Perseo .

Referencias

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , 3.ª ed. Nueva York: Dover, pág. 122, 1973. (Define paralelotopo como una generalización de un paralelogramo y un paralelepípedo en n-dimensiones).

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Paralelepípedo". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Paralelotopo". MathWorld .
• Modelo de papel de paralelepípedo (red)