Hamiltoniano (mecánica cuántica)

Operador cuántico para la suma de energías de un sistema

En mecánica cuántica , el hamiltoniano de un sistema es un operador que corresponde a la energía total de ese sistema, incluyendo tanto la energía cinética como la energía potencial . Su espectro , el espectro de energía del sistema o su conjunto de valores propios de energía , es el conjunto de resultados posibles que se pueden obtener a partir de una medición de la energía total del sistema. Debido a su estrecha relación con el espectro de energía y la evolución temporal de un sistema, es de importancia fundamental en la mayoría de las formulaciones de la teoría cuántica .

El hamiltoniano recibe su nombre de William Rowan Hamilton , quien desarrolló una reformulación revolucionaria de la mecánica newtoniana , conocida como mecánica hamiltoniana , que fue históricamente importante para el desarrollo de la física cuántica. De manera similar a la notación vectorial , normalmente se denota por , donde el sombrero indica que es un operador. También se puede escribir como o . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\check {H}}}$

Introducción

El hamiltoniano de un sistema representa la energía total del sistema, es decir, la suma de las energías cinética y potencial de todas las partículas asociadas al sistema. El hamiltoniano adopta distintas formas y puede simplificarse en algunos casos teniendo en cuenta las características concretas del sistema en análisis, como la presencia de una o varias partículas en el sistema, la interacción entre partículas, el tipo de energía potencial, si la energía potencial varía con el tiempo o si es independiente del tiempo.

Hamiltoniano de Schrödinger

Una partícula

Por analogía con la mecánica clásica , el hamiltoniano se expresa comúnmente como la suma de operadores correspondientes a las energías cinética y potencial de un sistema en la forma

$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$$

donde es el operador de energía potencial y es el operador de energía cinética en donde es la masa de la partícula, el punto denota el producto escalar de vectores, y es el operador de momento donde a es el operador del . El producto escalar de consigo mismo es el Laplaciano . En tres dimensiones utilizando coordenadas cartesianas el operador de Laplace es $${\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}$$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,}$$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}$$

Aunque ésta no es la definición técnica del hamiltoniano en la mecánica clásica , es la forma que adopta con más frecuencia. Al combinarlas se obtiene la forma utilizada en la ecuación de Schrödinger :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}$$

que permite aplicar el hamiltoniano a sistemas descritos por una función de onda . Este es el enfoque que se suele adoptar en los tratamientos introductorios de la mecánica cuántica, utilizando el formalismo de la mecánica ondulatoria de Schrödinger. ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

También se pueden hacer sustituciones en ciertas variables para adaptarlas a casos específicos, como algunos que involucran campos electromagnéticos.

Valor esperado

Se puede demostrar que el valor esperado del hamiltoniano que da el valor esperado de la energía siempre será mayor o igual al potencial mínimo del sistema.

Consideremos calcular el valor esperado de la energía cinética:

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el valor esperado de la energía cinética siempre es no negativo. Este resultado se puede utilizar para calcular el valor esperado de la energía total, que se da para una función de onda normalizada como:

${\displaystyle E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)}$

que completan la prueba. De manera similar, la condición se puede generalizar a cualquier dimensión superior utilizando el teorema de divergencia .

Muchas partículas

El formalismo puede extenderse a partículas: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}$$

donde es la función de energía potencial, ahora una función de la configuración espacial del sistema y del tiempo (un conjunto particular de posiciones espaciales en algún instante de tiempo define una configuración) y es el operador de energía cinética de la partícula , es el gradiente para la partícula , y es el laplaciano para la partícula n : $${\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla _{n}^{2}}$ $${\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}$$

Combinando estos resultados se obtiene el hamiltoniano de Schrödinger para el caso de la partícula: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}$$

Sin embargo, pueden surgir complicaciones en el problema de muchos cuerpos . Dado que la energía potencial depende de la disposición espacial de las partículas, la energía cinética también dependerá de la configuración espacial para conservar la energía. El movimiento debido a cualquier partícula variará debido al movimiento de todas las demás partículas en el sistema. Por esta razón, pueden aparecer términos cruzados para la energía cinética en el hamiltoniano; una mezcla de los gradientes para dos partículas:

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}$$

donde denota la masa del conjunto de partículas que genera esta energía cinética adicional. Los términos de esta forma se conocen como términos de polarización de masa y aparecen en el hamiltoniano de átomos de muchos electrones (ver más abajo). ${\displaystyle M}$

En el caso de partículas que interactúan, es decir, partículas que interactúan entre sí y constituyen una situación de muchos cuerpos, la función de energía potencial no es simplemente una suma de los potenciales separados (y ciertamente no un producto, ya que esto es dimensionalmente incorrecto). La función de energía potencial solo puede escribirse como se indica arriba: una función de todas las posiciones espaciales de cada partícula. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$

Para partículas que no interactúan, es decir, partículas que no interactúan entre sí y se mueven independientemente, el potencial del sistema es la suma de la energía potencial separada para cada partícula, ^[1] es decir

$${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}$$

La forma general del hamiltoniano en este caso es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}}$$

donde la suma se toma sobre todas las partículas y sus potenciales correspondientes; el resultado es que el hamiltoniano del sistema es la suma de los hamiltonianos separados para cada partícula. Esta es una situación idealizada: en la práctica, las partículas casi siempre están influenciadas por algún potencial y hay interacciones entre muchos cuerpos. Un ejemplo ilustrativo de una interacción entre dos cuerpos donde esta forma no se aplicaría es para los potenciales electrostáticos debidos a partículas cargadas, porque interactúan entre sí mediante la interacción de Coulomb (fuerza electrostática), como se muestra a continuación.

Ecuación de Schrödinger

El hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos. Si es el estado del sistema en el instante , entonces ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over \ dt}\left|\psi (t)\right\rangle .}$$

Esta ecuación es la ecuación de Schrödinger . Tiene la misma forma que la ecuación de Hamilton-Jacobi , que es una de las razones por las que también se la llama hamiltoniana. Dado el estado en un tiempo inicial ( ), podemos resolverla para obtener el estado en cualquier tiempo posterior. En particular, si es independiente del tiempo, entonces ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$$

El operador exponencial del lado derecho de la ecuación de Schrödinger suele definirse mediante la serie de potencias correspondiente en . Se podría observar que tomar polinomios o series de potencias de operadores ilimitados que no estén definidos en todas partes puede no tener sentido matemático. En rigor, para tomar funciones de operadores ilimitados, se requiere un cálculo funcional . En el caso de la función exponencial, el cálculo funcional continuo o simplemente el cálculo funcional holomorfo es suficiente. Sin embargo, observamos nuevamente que para los cálculos comunes la formulación de los físicos es bastante suficiente. ${\displaystyle H}$

Por la propiedad de homomorfismo *- del cálculo funcional, el operador

$${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$$

es un operador unitario . Es el operador de evolución temporal o propagador de un sistema cuántico cerrado. Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, forma un grupo unitario de un parámetro (más que un semigrupo ); esto da lugar al principio físico del equilibrio detallado . ${\displaystyle \{U(t)\}}$

Formalismo de Dirac

Sin embargo, en el formalismo más general de Dirac , el hamiltoniano se implementa típicamente como un operador en un espacio de Hilbert de la siguiente manera:

Los autovectores de , denominados , proporcionan una base ortonormal para el espacio de Hilbert. El espectro de niveles de energía permitidos del sistema está dado por el conjunto de valores propios, denominados , que resuelven la ecuación: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left|a\right\rangle }$ ${\displaystyle \{E_{a}\}}$

$${\displaystyle H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .}$$

Dado que es un operador hermítico , la energía siempre es un número real . ${\displaystyle H}$

Desde un punto de vista matemáticamente riguroso, se debe tener cuidado con los supuestos anteriores. Los operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita no necesitan tener valores propios (el conjunto de valores propios no coincide necesariamente con el espectro de un operador ). Sin embargo, todos los cálculos mecánicos cuánticos rutinarios se pueden realizar utilizando la formulación física. ^{[ aclaración necesaria ]}

Expresiones para el hamiltoniano

A continuación se presentan expresiones para el hamiltoniano en diversas situaciones. ^[2] Las formas típicas de clasificar las expresiones son el número de partículas, el número de dimensiones y la naturaleza de la función de energía potencial (esencialmente, la dependencia del espacio y el tiempo). Las masas se denotan por , y las cargas por . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

Formas generales para una partícula

Partícula libre

La partícula no está limitada por ninguna energía potencial, por lo que el potencial es cero y este hamiltoniano es el más simple. Para una dimensión:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$$

y en dimensiones superiores:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$$

Pozo de potencial constante

Para una partícula en una región de potencial constante (sin dependencia del espacio ni del tiempo), en una dimensión, el hamiltoniano es: ${\displaystyle V=V_{0}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}$$

En tres dimensiones

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$$

Esto se aplica al problema elemental de la " partícula en una caja " y a los potenciales escalonados .

Oscilador armónico simple

Para un oscilador armónico simple en una dimensión, el potencial varía con la posición (pero no con el tiempo), según:

$${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

donde la frecuencia angular , la constante de resorte efectiva y la masa del oscilador satisfacen: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

Entonces el hamiltoniano es:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

Para tres dimensiones, esto se convierte en

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}$$

donde el vector de posición tridimensional usando coordenadas cartesianas es , su magnitud es ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

$${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$

Escribiendo el hamiltoniano completo se ve que es simplemente la suma de los hamiltonianos unidimensionales en cada dirección:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Rotor rígido

Para un rotor rígido , es decir, un sistema de partículas que pueden rotar libremente alrededor de cualquier eje, no ligadas a ningún potencial (como moléculas libres con grados de libertad vibracionales despreciables , por ejemplo debido a enlaces químicos dobles o triples ), el hamiltoniano es:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}}$$

donde , , y son los componentes del momento de inercia (técnicamente los elementos diagonales del tensor del momento de inercia ), y , , y son los operadores (componentes) del momento angular total , respecto a los ejes , y respectivamente. ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{yy}}$ ${\displaystyle I_{zz}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Potencial electrostático (de Coulomb)

La energía potencial de Coulomb para dos cargas puntuales y (es decir, aquellas que no tienen extensión espacial de forma independiente), en tres dimensiones, es (en unidades del SI , en lugar de unidades gaussianas que se utilizan con frecuencia en electromagnetismo ): ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

$${\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}$$

Sin embargo, este es solo el potencial de una carga puntual debido a otra. Si hay muchas partículas cargadas, cada carga tiene una energía potencial debida a cada una de las demás cargas puntuales (excepto a ella misma). Para las cargas, la energía potencial de la carga debida a todas las demás cargas es (véase también Energía potencial electrostática almacenada en una configuración de cargas puntuales discretas ): ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{j}}$

$${\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$

donde es el potencial electrostático de la carga en . El potencial total del sistema es entonces la suma de : ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$

Entonces el hamiltoniano es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Dipolo eléctrico en un campo eléctrico

Para un momento dipolar eléctrico que constituye cargas de magnitud , en un campo electrostático uniforme (independiente del tiempo) , posicionado en un lugar, el potencial es: ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} }$$

El momento dipolar en sí mismo es el operador

$${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$$

Como la partícula está estacionaria, no hay energía cinética traslacional del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es simplemente la energía potencial:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }$$

Dipolo magnético en un campo magnético

Para un momento dipolar magnético en un campo magnetostático uniforme (independiente del tiempo) , posicionado en un lugar, el potencial es: ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

Como la partícula está estacionaria, no hay energía cinética traslacional del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es simplemente la energía potencial:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

Para una partícula de espín 1 ⁄ 2 , el momento magnético de espín correspondiente es: ^[4]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} }$$

donde es el " factor g de espín " (que no debe confundirse con la relación giromagnética ), es la carga del electrón, es el vector operador de espín , cuyos componentes son las matrices de Pauli , por lo tanto ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }$$

Partícula cargada en un campo electromagnético.

Para una partícula con masa y carga en un campo electromagnético, descrito por el potencial escalar y el potencial vectorial , hay dos partes del hamiltoniano que sustituir. ^[1] El operador de momento canónico , que incluye una contribución del campo y cumple la relación de conmutación canónica , debe cuantificarse; ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} ,}$$

¿Dónde está el momento cinético ? La prescripción de cuantificación dice ${\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla ,}$$

Por lo tanto, el operador de energía cinética correspondiente es

$${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}}$$

y la energía potencial, que se debe al campo, está dada por ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\hat {V}}=q\phi .}$$

Al convertir todo esto en el hamiltoniano obtenemos

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .}$$

Degeneración, simetría y leyes de conservación de los elementos propios de la energía

En muchos sistemas, dos o más estados propios de energía tienen la misma energía. Un ejemplo sencillo de esto es una partícula libre, cuyos estados propios de energía tienen funciones de onda que son ondas planas que se propagan. La energía de cada una de estas ondas planas es inversamente proporcional al cuadrado de su longitud de onda . Una onda que se propaga en la dirección es un estado diferente de una que se propaga en la dirección, pero si tienen la misma longitud de onda, entonces sus energías serán las mismas. Cuando esto sucede, se dice que los estados están degenerados . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Resulta que la degeneración ocurre siempre que un operador unitario no trivial conmuta con el hamiltoniano. Para ver esto, supongamos que es un eigenket de energía. Entonces es un eigenket de energía con el mismo autovalor, ya que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$

$${\displaystyle UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).}$$

Dado que no es trivial, al menos un par de y deben representar estados distintos. Por lo tanto, tiene al menos un par de eigenkets de energía degenerada. En el caso de la partícula libre, el operador unitario que produce la simetría es el operador de rotación , que rota las funciones de onda en un cierto ángulo mientras que, por lo demás, conserva su forma. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$ ${\displaystyle H}$

La existencia de un operador de simetría implica la existencia de un observable conservado . Sea el generador hermítico de : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})}$$

Es sencillo demostrar que si conmuta con , entonces también lo hace : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle [H,G]=0}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.}$$

Para obtener este resultado, hemos utilizado la ecuación de Schrödinger, así como su dual ,

$${\displaystyle \langle \psi (t)|H=-i\hbar {d \over \ dt}\langle \psi (t)|.}$$

Por lo tanto, el valor esperado del observable se conserva para cualquier estado del sistema. En el caso de la partícula libre, la cantidad conservada es el momento angular . ${\displaystyle G}$

Ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton en la mecánica hamiltoniana clásica tienen una analogía directa en la mecánica cuántica. Supongamos que tenemos un conjunto de estados base , que no necesariamente deben ser estados propios de la energía. Para simplificar, suponemos que son discretos y que son ortonormales, es decir, ${\displaystyle \left\{\left|n\right\rangle \right\}}$

$${\displaystyle \langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}}$$

Nótese que se supone que estos estados base son independientes del tiempo. Supondremos que el hamiltoniano también es independiente del tiempo.

El estado instantáneo del sistema en el momento , , se puede expandir en términos de estos estados base: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle }$$

dónde

$${\displaystyle a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .}$$

Los coeficientes son variables complejas . Podemos tratarlos como coordenadas que especifican el estado del sistema, como las coordenadas de posición y momento que especifican un sistema clásico. Al igual que las coordenadas clásicas, generalmente no son constantes en el tiempo y su dependencia temporal da lugar a la dependencia temporal del sistema en su conjunto. ${\displaystyle a_{n}(t)}$

El valor esperado del hamiltoniano de este estado, que también es la energía media, es

$${\displaystyle \langle H(t)\rangle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle }$$

donde el último paso se obtuvo expandiendo en términos de los estados base. ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

Cada una corresponde en realidad a dos grados de libertad independientes, ya que la variable tiene una parte real y una parte imaginaria. Ahora realizamos el siguiente truco: en lugar de utilizar las partes real e imaginaria como variables independientes, utilizamos y su conjugado complejo . Con esta elección de variables independientes, podemos calcular la derivada parcial ${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}^{*}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle }$$

Aplicando la ecuación de Schrödinger y utilizando la ortonormalidad de los estados base, esto se reduce aún más a

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}}$$

De manera similar, se puede demostrar que

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}}$$

Si definimos las variables de "momento conjugado" por ${\displaystyle \pi _{n}}$

$${\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)}$$

entonces las ecuaciones anteriores se convierten en

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}}$$

que es precisamente la forma de las ecuaciones de Hamilton, con s como coordenadas generalizadas, s como momentos conjugados y tomando el lugar del hamiltoniano clásico. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \langle H\rangle }$

Véase también

• Mecánica hamiltoniana
• Sistema cuántico de dos estados
• Operador (física)
• Notación de corchetes
• Estado cuántico
• Álgebra lineal
• Conservación de energía
• Teoría del potencial
• Problema de muchos cuerpos
• Electrostática
• Campo eléctrico
• Campo magnético
• Desigualdad de Lieb-Thirring

Referencias

1. Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X.
2. Atkins, PW (1974). Quanta: un manual de conceptos . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
3. Grant, IS; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo . Manchester Physics Series (2.ª ed.). ISBN 978-0-471-92712-9.
4. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas . Longman. ISBN 0-582-44401-2.

Enlaces externos

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