En el análisis matemático , la norma uniforme (onorma sup ) asigna afunciones acotadasde valoresrealesocomplejosdefinidas en unconjuntoel número no negativo
Esta norma también se llamanorma suprema ,lanorma Chebyshev ,lanorma infinita ,o, cuando elsupremoes de hecho el máximo, lanorma máxima . El nombre "norma uniforme" deriva del hecho de que una secuencia de funcionesconverge abajo lamétricaderivada de la norma uniformesi y solo si converge a uniformemente.[1]
Si es una función continua en un intervalo cerrado y acotado , o más generalmente un conjunto compacto , entonces está acotado y el supremo en la definición anterior se alcanza mediante el teorema del valor extremo de Weierstrass , por lo que podemos reemplazar el supremo por el máximo . En este caso, la norma también se llamanorma máxima . En particular, sies algún vector tal queenun espacio de coordenadasde dimensiónfinita, toma la forma:
Esto se llama norma .
Las normas uniformes se definen, en general, para funciones acotadas valoradas en un espacio normado . Sea un conjunto y sea un espacio normado . En el conjunto de funciones desde hasta , existe una norma extendida definida por
En general, esta es una norma extendida ya que la función puede no estar acotada. Restringir esta norma extendida a las funciones acotadas (es decir, las funciones con una norma finita por encima de la norma extendida) produce una norma (de valores finitos), llamada norma uniforme en . Tenga en cuenta que la definición de norma uniforme no se basa en ninguna estructura adicional del conjunto , aunque en la práctica suele ser al menos un espacio topológico .
La convergencia en la topología inducida por la norma extendida uniforme es la convergencia uniforme , para secuencias, y también para redes y filtros en .
Podemos definir conjuntos cerrados y cierres de conjuntos con respecto a esta topología métrica; Los conjuntos cerrados en la norma uniforme a veces se denominan cierres uniformemente cerrados y cierres uniformes . La clausura uniforme de un conjunto de funciones A es el espacio de todas las funciones que pueden aproximarse mediante una secuencia de funciones uniformemente convergentes en. Por ejemplo, una reformulación del teorema de Stone-Weierstrass es que el conjunto de todas las funciones continuas en es el cierre uniforme del conjunto de polinomios en
Para funciones continuas complejas en un espacio compacto, esto lo convierte en un álgebra C* (cf. representación de Gelfand ).
La métrica uniforme entre dos funciones acotadas de un conjunto a un espacio métrico está definida por
La métrica uniforme también se llamaMétrica de Chebyshev , en honora Pafnuty Chebyshev, quien fue el primero en estudiarla sistemáticamente. En este caso,está acotado precisamente sies finito para algunafunción constante. Si permitimos funciones ilimitadas, esta fórmula no produce una norma o métrica en sentido estricto, aunque la llamadamétrica extendidaaún permite definir una topología en el espacio funcional en cuestión; la convergencia sigue siendo entonces laconvergencia uniforme. En particular, una secuenciaconverge uniformementea una funciónsi y sólo si
Si es un espacio normado , entonces es un espacio métrico de forma natural. La métrica extendida inducida por la norma extendida uniforme es la misma que la métrica extendida uniforme
en
Sea un conjunto y sea un espacio uniforme . Se dice que una secuencia de funciones de a converge uniformemente a una función si para cada séquito hay un número natural tal que, pertenece a cuando y . Lo mismo ocurre con una red. Esta es una convergencia en una topología en . De hecho, los conjuntos
donde discurre por séquitos de forma un sistema fundamental de séquitos de una uniformidad en , llamado uniformidad de convergencia uniforme en . La convergencia uniforme es precisamente la convergencia bajo su topología uniforme.
Si es un espacio métrico , entonces está equipado por defecto con la uniformidad métrica. La uniformidad métrica con respecto a la métrica uniforme extendida es entonces la uniformidad de la convergencia uniforme con .
El conjunto de vectores cuya norma infinita es una constante dada, forma la superficie de un hipercubo con longitud de arista
La razón para el subíndice “ ” es que siempre que sea continuo y para algunos , entonces dónde está el dominio de ; la integral equivale a una suma si es un conjunto discreto (ver p -norm ).