Negación

Operación lógica

En lógica , la negación , también llamada no lógico o complemento lógico , es una operación que lleva una proposición a otra proposición "no ", que significa " no es verdadero", escrito , o . Se interpreta intuitivamente como verdadera cuando es falsa y falsa cuando es verdadera. ^{[1] [2]} La negación es, por tanto, un conectivo lógico unario . Puede aplicarse como una operación sobre nociones , proposiciones , valores de verdad o valores semánticos en general. En lógica clásica , la negación normalmente se identifica con la función de verdad que lleva la verdad a la falsedad (y viceversa). En lógica intuicionista , según la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov , la negación de una proposición es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle {\mathord {\sim }}P}$ ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Definición

La negación clásica es una operación sobre un valor lógico , típicamente el valor de una proposición , que produce un valor verdadero cuando su operando es falso y un valor falso cuando su operando es verdadero. Por lo tanto, si la afirmación es verdadera, entonces (pronunciada "no P") sería falsa; y a la inversa, si es verdadera, entonces sería falsa. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P}$

La tabla de verdad de es la siguiente: ${\displaystyle \neg P}$

La negación se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, se puede definir como (donde es consecuencia lógica y es falsedad absoluta ). Por el contrario, se puede definir como para cualquier proposición Q (donde es conjunción lógica ). La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa, y si bien estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la intuicionista, no funcionan en la lógica paraconsistente , donde las contradicciones no son necesariamente falsas. En la lógica clásica, también obtenemos una identidad adicional, que se puede definir como , donde es la disyunción lógica . ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\rightarrow \bot }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle Q\land \neg Q}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ ${\displaystyle \lor }$

Algebraicamente, la negación clásica corresponde a la complementación en un álgebra de Boole , y la negación intuicionista a la pseudocomplementación en un álgebra de Heyting . Estas álgebras proporcionan una semántica para la lógica clásica e intuicionista.

Notación

La negación de una proposición p se anota de diferentes maneras, en diversos contextos de discusión y campos de aplicación. La siguiente tabla documenta algunas de estas variantes:

La notación es la notación polaca . ${\displaystyle Np}$

En teoría de conjuntos , también se utiliza para indicar 'no en el conjunto de': es el conjunto de todos los miembros de U que no son miembros de A. ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle U\setminus A}$

Independientemente de cómo se anota o simboliza , la negación se puede leer como "no es el caso que P ", "no es ese P ", o generalmente más simplemente como "no es P ". ${\displaystyle \neg P}$

Precedencia

Como forma de reducir el número de paréntesis necesarios, se pueden introducir reglas de precedencia : ¬ tiene mayor precedencia que ∧, ∧ es mayor que ∨ y ∨ es mayor que →. Así, por ejemplo, es la abreviatura de ${\displaystyle P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S}$ ${\displaystyle (P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S.}$

A continuación se muestra una tabla que muestra la precedencia de operadores lógicos comúnmente utilizada. ^[4]

Propiedades

Doble negación

Dentro de un sistema de lógica clásica , la doble negación, es decir, la negación de la negación de una proposición , es lógicamente equivalente a . Expresado en términos simbólicos, . En lógica intuicionista , una proposición implica su doble negación, pero no a la inversa. Esto marca una diferencia importante entre la negación clásica y la intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica se llama involución del período dos. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg \neg P\equiv P}$

Sin embargo, en la lógica intuicionista , la equivalencia más débil sí se cumple. Esto se debe a que en la lógica intuicionista, es solo una abreviatura de y también tenemos . Componer esa última implicación con triple negación implica que . ${\displaystyle \neg \neg \neg P\equiv \neg P}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\rightarrow \bot }$ ${\displaystyle P\rightarrow \neg \neg P}$ ${\displaystyle \neg \neg P\rightarrow \bot }$ ${\displaystyle P\rightarrow \bot }$

Como resultado, en el caso proposicional, una oración es clásicamente demostrable si su doble negación es intuicionista demostrable. Este resultado se conoce como teorema de Glivenko .

Distributividad

Las leyes de De Morgan proporcionan una forma de distribuir la negación sobre la disyunción y la conjunción :

${\displaystyle \neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)}$, y

${\displaystyle \neg (P\land Q)\equiv (\neg P\lor \neg Q)}$.

Linealidad

Denotemos la operación xor lógica . En álgebra de Boole , una función lineal es aquella que: ${\displaystyle \oplus }$

Si existe , para todos . ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle f(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \dots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in \{0,1\}}$

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre marca una diferencia en el valor de verdad de la operación, o nunca hace una diferencia. La negación es un operador lógico lineal.

auto dual

En álgebra booleana , una función autodual es una función tal que:

${\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{n})=\neg f(\neg a_{1},\dots ,\neg a_{n})}$para todos . La negación es un operador lógico dual. ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}$

Negaciones de cuantificadores

En lógica de primer orden , existen dos cuantificadores, uno es el cuantificador universal (significa "para todos") y el otro es el cuantificador existencial (significa "existe"). La negación de un cuantificador es el otro cuantificador ( y ). Por ejemplo, con el predicado P como " x es mortal" y el dominio de x como el conjunto de todos los humanos, significa "una persona x en todos los humanos es mortal" o "todos los humanos son mortales". La negación de esto es , que significa "existe una persona x en todos los humanos que no es mortal", o "existe alguien que vive para siempre". ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}$ ${\displaystyle \neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)}$ ${\displaystyle \forall xP(x)}$ ${\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}$

Reglas de inferencia

Hay varias formas equivalentes de formular reglas para la negación. Una forma habitual de formular la negación clásica en un entorno de deducción natural es tomar como reglas primitivas de inferencia la introducción de la negación (de una derivación de a ambos y , inferir ; esta regla también se llama reductio ad absurdum ), la eliminación de la negación (de e inferir ; esta regla también se llama ex falso quodlibet ), y eliminación de doble negación (de infer ). Se obtienen las reglas para la negación intuicionista de la misma manera pero excluyendo la eliminación de la doble negación. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg \neg P}$ ${\displaystyle P}$

La introducción de la negación establece que si se puede sacar una conclusión de un absurdo, entonces no debe ser así (es decir, es falso (clásicamente) o refutable (intuicionistamente) o etc.). La eliminación de la negación establece que cualquier cosa se deriva de un absurdo. A veces, la eliminación de la negación se formula utilizando un signo de absurdo primitivo . En este caso la regla dice que de y se sigue un absurdo. Junto con la eliminación de la doble negación se puede inferir nuestra regla originalmente formulada, a saber, que todo se sigue de un absurdo. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$

Normalmente, la negación intuicionista de se define como . Entonces la introducción y eliminación de la negación son solo casos especiales de introducción de implicaciones ( prueba condicional ) y eliminación ( modus ponens ). En este caso también hay que añadir como regla primitiva ex falso quodlibet . ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\rightarrow \bot }$

Lenguaje de programación y lenguaje ordinario.

Al igual que en matemáticas, la negación se utiliza en informática para construir enunciados lógicos.

if ( ! ( r == t )) { /*...sentencias ejecutadas cuando r NO es igual a t...*/ }    

El signo de exclamación " !" significa NO lógico en B , C y en lenguajes con una sintaxis inspirada en C, como C++ , Java , JavaScript , Perl y PHP . " NOT" es el operador utilizado en ALGOL 60 , BASIC y lenguajes con una sintaxis inspirada en ALGOL o BASIC como Pascal , Ada , Eiffel y Seed7 . Algunos lenguajes (C++, Perl, etc.) proporcionan más de un operador para la negación. Algunos lenguajes como PL/I y Ratfor se utilizan ¬para la negación. La mayoría de los lenguajes modernos permiten acortar la declaración anterior de if (!(r == t))a if (r != t), lo que permite a veces, cuando el compilador/intérprete no puede optimizarlo, programas más rápidos.

En informática también existe la negación bit a bit . Esto toma el valor dado y cambia todos los 1 binarios a 0 y 0 a 1. Ver operación bit a bit . Esto se usa a menudo para crear el complemento a uno o " ~" en C o C++ y el complemento a dos (simplemente simplificado a " -" o el signo negativo, ya que esto equivale a tomar el valor aritmético negativo del número), ya que básicamente crea lo opuesto ( equivalente de valor negativo) o complemento matemático del valor (donde ambos valores se suman crean un todo).

Para obtener el valor absoluto (equivalente positivo) de un número entero dado, lo siguiente funcionaría ya que " -" lo cambia de negativo a positivo (es negativo porque " x < 0" da verdadero)

unsigned int abs ( int x ) { si ( x < 0 ) return -x ;​ de lo contrario , devuelve x ; }            

Para demostrar la negación lógica:

sin signo int abs ( int x ) { si ( ! ( x < 0 )) return x ; de lo contrario regresa -x ; }            

Invertir la condición e invertir los resultados produce un código que es lógicamente equivalente al código original, es decir, tendrá resultados idénticos para cualquier entrada (dependiendo del compilador utilizado, las instrucciones reales realizadas por la computadora pueden diferir).

Esta convención aparece ocasionalmente en el habla escrita ordinaria, como jerga relacionada con la informática para no . Por ejemplo, la frase !votingsignifica "no votar". Otro ejemplo es la frase !clueque se utiliza como sinónimo de "sin pista" o "despistado". ^{[5] [6]}

Semántica de Kripke

En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de mundos posibles , la negación puede entenderse como complementación de la teoría de conjuntos ^{[ cita necesaria ]} (ver también semántica de mundos posibles para obtener más información).

Ver también

• Afirmación y negación (polaridad gramatical)
• anfeck
• apófasis
• Oposición binaria
• Bit a bit NO
• Contraposición
• Negación cíclica
• La negación como fracaso
• NO puerta
• La barba de Platón
• Plaza de la oposición

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Negación". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
2. "Declaraciones lógicas y matemáticas: ejemplos resueltos". www.math.toronto.edu . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
3. Utilizado como improvisado en las primeras publicaciones sobre máquinas de escribir, por ejemplo, Richard E. Ladner (enero de 1975). "El problema del valor del circuito es el espacio logarítmico completo para P". Noticias ACM SIGACT . 7 (101): 18-20. doi :10.1145/990518.990519.
4. O'Donnell, John; Salón, Cordelia; Page, Rex (2007), Matemáticas discretas utilizando una computadora, Springer, pág. 120, ISBN 9781846285981.
5. Raymond, Eric y Steele, Guy. El diccionario del nuevo hacker, pag. 18 (Prensa del MIT 1996).
6. Munat, Judith. Creatividad léxica, textos y contexto, pág. 148 (Editorial John Benjamins, 2007).

Otras lecturas

• Gabbay, Dov y Wansing, Heinrich, eds., 1999. ¿ Qué es la negación? , Kluwer .
• Horn, L. , 2001. Una historia natural de la negación , University of Chicago Press .
• GH von Wright , 1953–59, "Sobre la lógica de la negación", Commentationes Physico-Mathematicae 22 .
• Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Blackwell .
• Tettamanti, Marco; Manenti, Rosa; Della Rosa, Pasquale A.; Falini, Andrea; Perani, Daniela; Cappa, Stefano F.; Moro, Andrea (2008). "Negación en el cerebro: representación de la acción moduladora". NeuroImagen . 43 (2): 358–367. doi : 10.1016/j.neuroimage.2008.08.004. PMID  18771737. S2CID  17658822.

enlaces externos

• Cuerno, Laurence R.; Wansing, Heinrich. "Negación". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• "Negación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• NO, en MathWorld

Tablas de verdad de cláusulas compuestas

• "Tabla de verdad para una cláusula NOT aplicada a una oración END". Archivado desde el original el 1 de marzo de 2000.
• "Cláusula NOT de una oración FINAL". Archivado desde el original el 1 de marzo de 2000.
• "Cláusula NOT de una oración OR". Archivado desde el original el 17 de enero de 2000.
• "Cláusula NO de un período SI...ENTONCES". Archivado desde el original el 1 de marzo de 2000.