Número de Harshad

En matemáticas , un número harshad (o número Niven ) en una base numérica dada es un número entero que es divisible por la suma de sus dígitos cuando se escribe en esa base. Los números Harshad en base $n$ también se conocen como números $n$ -harshad (o $n$ -Niven ). Los números Harshad fueron definidos por DR Kaprekar , un matemático de la India . ^[1] La palabra "harshad" proviene del sánscrito harṣa (alegría) + da (dar), que significa dador de alegría. El término "número Niven" surgió de un artículo presentado por Ivan M. Niven en una conferencia sobre teoría de números en 1977.

Definición

Expresado matemáticamente, sea $X$ un entero positivo con $m$ dígitos cuando se escribe en base $n$ , y sean los dígitos ( ). (De ello se deduce que debe ser cero o un entero positivo hasta ⁠ ⁠ .) $X$ se puede expresar como $a_{i}$ $i=0,1,\ldots ,m-1$ $a_{i}$ $n-1$

X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.

$X$ es un número harshad en base $n$ si:

X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.

Un número que es un número harshad en todas las bases numéricas se denomina número all-harshad o número all-Niven . Solo hay cuatro números all-harshad: 1 , 2 , 4 y 6. El número 12 es un número harshad en todas las bases excepto octal .

Ejemplos

El número 18 es un número harshad en base 10 , porque la suma de los dígitos 1 y 8 es 9, y 18 es divisible por 9.
El número de Hardy-Ramanujan (1729) es un número harshad en base 10, ya que es divisible por 19, la suma de sus dígitos (1729 = 19 × 91).
El número 19 no es un número harshad en base 10, porque la suma de los dígitos 1 y 9 es 10, y 19 no es divisible por 10.
En base 10, todo número natural expresable en la forma 9R _n a _n , donde el número R _n consiste en n copias del dígito único 1, n > 0, y a _n es un entero positivo menor que 10 ⁿ y múltiplo de n , es un número harshad. (R. D'Amico, 2019). El número 9R ₃a ₃ = 521478, donde R ₃ = 111, n = 3 y a ₃ = 3×174 = 522, es un número harshad; de hecho, tenemos: 521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314. ^[2]
Los números Harshad en base 10 forman la secuencia :
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 , 81 , 84 , 90 , 100 , 102 , 108 , 110 , 111 , 112 , 114 , 117 , 120 , 126 , 132 , 133 , 135 , 144 , 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198, 200 , ... (secuencia A005349 en la OEIS ).
Todos los números enteros entre cero y $n$ son números $n -harshad.$

Propiedades

Dada la prueba de divisibilidad para 9, uno podría verse tentado a generalizar que todos los números divisibles por 9 también son números harshad. Pero para determinar la harshadidad de $n$ , los dígitos de $n$ solo se pueden sumar una vez y $n$ debe ser divisible por esa suma; de lo contrario, no es un número harshad. Por ejemplo, 99 no es un número harshad, ya que 9 + 9 = 18, y 99 no es divisible por 18.

El número base (y además, sus potencias) siempre será un número harshad en su propia base, ya que se representará como "10" y 1 + 0 = 1.

Todos los números cuya suma de dígitos en base b divide a b −1 son números harshad en base b .

Para que un número primo sea también harshad debe ser menor o igual que el número base, de lo contrario las cifras del primo sumarán un número mayor que 1, pero menor que el primo, y no será divisible. Por ejemplo: 11 no es harshad en base 10 porque la suma de sus cifras “11” es 1 + 1 = 2, y 11 no es divisible por 2; mientras que en base 12 el número 11 puede representarse como “B”, la suma de sus cifras también es B. Como B es divisible por sí mismo, es harshad en base 12.

Aunque la secuencia de factoriales comienza con números harshad en base 10, no todos los factoriales son números harshad. 432! es el primero que no lo es. (432! tiene suma de dígitos 3897 = 3 ² × 433 en base 10, por lo tanto no divide 432!)

Los $k$ más pequeños tales que son un número harshad son $k\cdot n$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1, ... (secuencia A144261 en la OEIS ).

Los $k$ más pequeños que no son un número harshad son $k\cdot n$

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ... (secuencia A144262 en la OEIS ).

Otras bases

Los números harshad en base 12 son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100, 10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, 1B0, 1BA, 200, ...

donde A representa diez y B representa once.

$Los k$ más pequeños tales que son números harshad de base 12 son (escritos en base 10): $k\cdot n$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

$Los k$ más pequeños que no son un número harshad de base 12 son (escritos en base 10): $k\cdot n$

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

De manera similar a la base 10, no todos los factoriales son números harshad en base 12. Después de 7! (= 5040 = 2B00 en base 12, con suma de dígitos 13 en base 12, y 13 no divide a 7!), 1276! es el siguiente que no lo es. (1276! tiene suma de dígitos 14201 = 11 × 1291 en base 12, por lo tanto no divide a 1276!)

Números consecutivos de harshad

Ejecuciones máximas de números harshad consecutivos

Cooper y Kennedy demostraron en 1993 que no hay 21 números enteros consecutivos que sean todos números harshad en base 10. ^[3]^[4] También construyeron infinitas 20-tuplas de números enteros consecutivos que sean todos números harshad en base 10, el más pequeño de los cuales exceda 10 ^44363342786 .

HG Grundman (1994) extendió el resultado de Cooper y Kennedy para mostrar que hay 2 b pero no 2 b + 1 números b -harshad consecutivos para cualquier base b . ^[4]^[5] Este resultado fue reforzado para mostrar que hay infinitas series de 2 b números b -harshad consecutivos para b = 2 o 3 por T. Cai (1996) ^{[4] y para}b arbitrario por Brad Wilson en 1997. ^[6]

En binario , hay infinitas series de cuatro números harshad consecutivos y en ternario, infinitas series de seis.

En general, estas secuencias máximas van desde N · b ^k − b hasta N · b ^k + ( b − 1), donde b es la base, k es una potencia relativamente grande y N es una constante. Dada una secuencia elegida adecuadamente, podemos convertirla en una más grande de la siguiente manera:

Insertar ceros en N no cambiará la secuencia de sumas digitales (así como 21, 201 y 2001 son números de 10 harshad).
Si insertamos n ceros después del primer dígito, α (que vale αb ⁱ ), aumentamos el valor de N en . $\alpha b^{i}\left(b^{n}-1\right)$
Si podemos asegurar que b ⁿ − 1 es divisible por todas las sumas de dígitos en la secuencia, entonces se mantiene la divisibilidad por esas sumas.
Si nuestra secuencia inicial se elige de modo que las sumas de los dígitos sean coprimos con b , podemos resolver b ⁿ = 1 módulo todas esas sumas.
Si esto no es así, pero la parte de cada suma de dígitos no coprimo con b divide a αb ⁱ , entonces la divisibilidad todavía se mantiene.
(No probado) La secuencia inicial es la elegida.

Por lo tanto, nuestra secuencia inicial produce un conjunto infinito de soluciones.

Primeras ejecuciones de exactamentenortenúmeros consecutivos de 10-harshad

Las ejecuciones iniciales naturales más pequeñas de exactamente $n$ números Harshad 10 consecutivos (es decir, los $x$ más pequeños que son números Harshad pero y no lo son) son las siguientes (secuencia A060159 en la OEIS ): $x,x+1,\cdots ,x+n-1$ $x-1$ $x+n$

Por la sección anterior, no existe tal $x$ para $n>20.$

Estimación de la densidad de números harshad

Si denotamos el número de números harshad , entonces para cualquier número dado $N(x)$ $\leq x$ $\varepsilon >0,$

x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}

como lo demostraron Jean-Marie De Koninck y Nicolas Doyon; ^[7] además, De Koninck, Doyon y Kátai ^[8] demostraron que

N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},

donde y el término utiliza la notación Big O. $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ $o(1)$

Sumas de números harshad

Todo número natural que no exceda de mil millones es un número harshad o la suma de dos números harshad. Condicionado a una hipótesis técnica sobre los ceros de ciertas funciones zeta de Dedekind , Sanna demostró que existe un entero positivo tal que todo número natural es la suma de como máximo números harshad, es decir, el conjunto de números harshad es una base aditiva . ^[9] $k$ $k$

El número de formas en que cada número natural 1, 2, 3, ... se puede escribir como suma de dos números Harshad es:

0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 6, 5, 3, 7, 4, 4, 6, 4, 2, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 8, 3, 4, 6, 3, 3, 6, 2, 5, 6, 5, 3, 8, 4, 4, 6, ... (secuencia A337853 en la OEIS ).

El número más pequeño que se puede escribir exactamente de 1, 2, 3, ... maneras como la suma de dos números Harshad es:

2, 4, 6, 8, 10, 51, 48, 72, 108, 126, 90, 138, 144, 120, 198, 162, 210, 216, 315, 240, 234, 306, 252, 372, 270, 546, 360, 342, 444, 414, 468, 420, 642, 450, 522, 540, 924, 612, 600, 666, 630, 888, 930, 756, 840, 882, 936, 972, 1098, 1215, 1026, 1212, 1080, ... (secuencia A337854 en la OEIS ).

Números nivenmórficos

Un número nivenmórfico o número harshadmórfico para una base numérica dada es un entero $t$ tal que existe algún número harshad $N$ cuya suma de dígitos es $t$ , y $t$ , escrito en esa base, termina en $N$ escrito en la misma base.

Por ejemplo, 18 es un número nivenmórfico de base 10:

16218 es un número harshad 16218 tiene 18 como suma de dígitos 18 termina 16218

Sandro Boscaro determinó que para la base 10 todos los números enteros positivos son números nivenmórficos excepto 11. [ ^10] De hecho, para un entero par n > 1, todos los números enteros positivos excepto n +1 son números nivenmórficos para la base n , y para un entero impar n > 1, todos los números enteros positivos son números nivenmórficos para la base n . Por ejemplo, los números nivenmórficos en base 12 son OEIS : A011760 (todos los números enteros positivos excepto 13).

Los números más pequeños con suma de dígitos en base 10 n y terminación n escritos en base 10 son: (0 si no existe tal número)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945, 4698946, 4779947, 2998848, 2998849, 9999950, ... (secuencia A187924 en la OEIS )

Múltiples números harshad

Bloem (2005) define un número harshad múltiple como un número harshad que, cuando se divide por la suma de sus dígitos, produce otro número harshad. ^[11] Afirma que 6804 es "MHN-4" sobre la base de que

{\begin{aligned}6804/18&=378\\378/18&=21\\21/3&=7\\7/7&=1\end{aligned}}

(no es MHN-5 ya que , pero 1 no es "otro" número harshad) $1/1=1$

y continuó demostrando que 2016502858579884466176 es MHN-12. El número 10080000000000 = 1008 × 10 ¹⁰ , que es más pequeño, también es MHN-12. En general, 1008 × 10 ⁿ es MHN-( n +2).

Referencias

^ DR Kaprekar, Números multidigitales , Scripta Mathematica 21 (1955), 27.
^ Rosario D'Amico, Un método para generar números de Harshad, en Journal of Mathematical Economics and Finance, vol. 5, n. 1, junio de 2019, p. 19-26.
^ Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E. (1993), "Sobre números Niven consecutivos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 31 (2): 146–151, ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003
^ abc Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. pag. 382.ISBN 1-4020-2546-7.Zbl 1079.11001 .
^ Grundman, HG (1994), "Secuencias de números n-Niven consecutivos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 32 (2): 174–175, ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002
^ Wilson, Brad (1997), "Construcción de 2n números n-Niven consecutivos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 35 : 122–128, ISSN 0015-0517
^ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas (noviembre de 2003), "Sobre el número de números de Niven hasta x ", Fibonacci Quarterly , 41 (5): 431–440.
^ De Koninck, Jean-Marie; Doyón, Nicolás; Kátai, I. (2003), "Sobre la función de conteo de los números de Niven", Acta Arithmetica , 106 (3): 265–275, Bibcode :2003AcAri.106..265D, doi : 10.4064/aa106-3-5.
^ Sanna, Carlo (marzo de 2021), "Bases aditivas y números de Niven", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , 104 (3): 373–380, arXiv : 2101.07593 , doi : 10.1017/S0004972721000186 , S2CID 231639019.
^ Boscaro, Sandro (1996–1997), "Números enteros nivenmórficos", Journal of Recreational Mathematics , 28 (3): 201–205.
^ Bloem, E. (2005), "Números de Harshad", Revista de Matemáticas Recreativas , 34 (2): 128.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Número de Harshad". MathWorld .