Regla de divisibilidad

Forma abreviada de determinar si un número dado es divisible por un divisor fijo

Una regla de divisibilidad es una forma abreviada y útil de determinar si un número entero dado es divisible por un divisor fijo sin realizar la división, generalmente examinando sus dígitos. Aunque existen pruebas de divisibilidad para números en cualquier base y todas son diferentes, este artículo presenta reglas y ejemplos solo para números decimales o de base 10. Martin Gardner explicó y popularizó estas reglas en su columna "Juegos matemáticos" de septiembre de 1962 en Scientific American . ^[1]

Reglas de divisibilidad de los números del 1 al 30

Las reglas que se indican a continuación transforman un número dado en un número generalmente más pequeño, al tiempo que se conserva la divisibilidad por el divisor de interés. Por lo tanto, a menos que se indique lo contrario, el número resultante debe evaluarse para determinar su divisibilidad por el mismo divisor. En algunos casos, el proceso puede repetirse hasta que la divisibilidad sea obvia; en otros (como examinar los últimos n dígitos), el resultado debe examinarse por otros medios.

Para los divisores con múltiples reglas, generalmente las reglas se ordenan primero para aquellas que son apropiadas para números con muchos dígitos y luego para aquellas que son útiles para números con menos dígitos.

Para probar la divisibilidad de un número por una potencia de 2 o una potencia de 5 (2 ⁿ o 5 ⁿ , donde n es un entero positivo), solo es necesario mirar los últimos n dígitos de ese número.

Para comprobar la divisibilidad por cualquier número expresado como el producto de factores primos , podemos comprobar por separado la divisibilidad por cada primo elevado a su potencia correspondiente. Por ejemplo, comprobar la divisibilidad por 24 (24 = 8×3 = 2 ³ ×3) es equivalente a comprobar la divisibilidad por 8 (2 ³ ) y 3 simultáneamente, por lo que solo necesitamos demostrar la divisibilidad por 8 y por 3 para demostrar la divisibilidad por 24. ${\displaystyle p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}}$

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Ejemplos paso a paso

Divisibilidad por 2

Primero, tome un número cualquiera (para este ejemplo será 376) y observe el último dígito del número, descartando los demás dígitos. Luego tome ese dígito (6) mientras ignora el resto del número y determine si es divisible por 2. Si es divisible por 2, entonces el número original es divisible por 2.

Ejemplo

1. 376 (El número original)
2. 37 6 (Toma el último dígito)
3. 6 ÷ 2 = 3 (Verifique si el último dígito es divisible por 2)
4. 376 ÷ 2 = 188 (Si el último dígito es divisible por 2, entonces el número entero es divisible por 2)

Divisibilidad por 3 o 9

Primero, toma cualquier número (en este ejemplo será 492) y suma cada dígito del número (4 + 9 + 2 = 15). Luego toma esa suma (15) y determina si es divisible por 3. El número original es divisible por 3 (o 9) si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3 (o 9).

Sumar los dígitos de un número y luego repetir el proceso con el resultado hasta que solo quede un dígito dará el resto del número original si se dividiera por nueve (a menos que ese único dígito sea nueve, en cuyo caso el número es divisible por nueve y el resto es cero).

Esto se puede generalizar a cualquier sistema posicional estándar , en el que el divisor en cuestión se convierte entonces en uno menos que el radix ; así, en base doce , los dígitos se sumarán al resto del número original si se divide por once, y los números son divisibles por once solo si la suma de los dígitos es divisible por once.

Ejemplo.

1. 492 (El número original)
2. 4 + 9 + 2 = 15 (Suma cada dígito individual)
3. 15 es divisible por 3, en cuyo caso podemos detenernos. Alternativamente, podemos continuar usando el mismo método si el número sigue siendo demasiado grande:
4. 1 + 5 = 6 (Suma cada dígito individual)
5. 6 ÷ 3 = 2 (Verifique si el número recibido es divisible por 3)
6. 492 ÷ 3 = 164 (Si el número obtenido al aplicar la regla es divisible por 3, entonces el número entero es divisible por 3)

Divisibilidad por 4

La regla básica para la divisibilidad por 4 es que si el número formado por los dos últimos dígitos de un número es divisible por 4, el número original es divisible por 4; ^{[2] [3]} esto se debe a que 100 es divisible por 4 y, por lo tanto, sumar centenas, millares, etc. es simplemente sumar otro número que es divisible por 4. Si cualquier número termina en un número de dos dígitos que sabes que es divisible por 4 (por ejemplo, 24, 04, 08, etc.), entonces el número entero será divisible por 4 independientemente de lo que esté antes de los dos últimos dígitos.

Otra posibilidad es sumar la mitad del último dígito al penúltimo dígito (o al número restante). Si ese número es un número natural par, el número original es divisible por 4.

También se puede simplemente dividir el número por 2 y luego verificar el resultado para saber si es divisible por 2. Si lo es, el número original es divisible por 4. Además, el resultado de esta prueba es el mismo que el número original dividido por 4.

Ejemplo.
Regla general

1. 2092 (El número original)
2. 20 92 (Tome los dos últimos dígitos del número, descartando cualquier otro dígito)
3. 92 ÷ 4 = 23 (Verifique si el número es divisible por 4)
4. 2092 ÷ 4 = 523 (Si el número que se obtiene es divisible por 4, entonces el número original es divisible por 4)

Segundo método

1. 6174 (el número original)
2. Verifique que el último dígito sea par, de lo contrario, 6174 no puede ser divisible por 4.
3. 61 7 4 (Separa los 2 últimos dígitos del resto del número)
4. 4 ÷ 2 = 2 (último dígito dividido por 2)
5. 7 + 2 = 9 (Suma la mitad del último dígito al penúltimo dígito)
6. Como 9 no es par, 6174 no es divisible por 4

Tercer método

1. 1720 (El número original)
2. 1720 ÷ 2 = 860 (Dividir el número original por 2)
3. 860 ÷ 2 = 430 (Verifique si el resultado es divisible por 2)
4. 1720 ÷ 4 = 430 (Si el resultado es divisible por 2, entonces el número original es divisible por 4)

Divisibilidad por 5

La divisibilidad por 5 se determina fácilmente comprobando el último dígito del número (47 5 ), y viendo si es 0 o 5. Si el último número es 0 o 5, el número entero es divisible por 5. ^{[2] [3]}

Si el último dígito del número es 0, el resultado será el de multiplicar los dígitos restantes por 2. Por ejemplo, el número 40 termina en cero, así que toma los dígitos restantes (4) y multiplícalos por dos (4 × 2 = 8). El resultado es el mismo que el de dividir 40 por 5 (40/5 = 8).

Si el último dígito del número es 5, el resultado será el de multiplicar los dígitos restantes por dos, más uno. Por ejemplo, el número 125 termina en 5, así que se toman los dígitos restantes (12), se multiplican por dos (12 × 2 = 24) y luego se les suma uno (24 + 1 = 25). El resultado es el mismo que el de dividir 125 por 5 (125/5=25).

Ejemplo.
Si el último dígito es 0

1. 110 (El número original)
2. 11 0 (Toma el último dígito del número y comprueba si es 0 o 5)
3. 11 0 (Si es 0, tome los dígitos restantes, descartando el último)
4. 11 × 2 = 22 (Multiplica el resultado por 2)
5. 110 ÷ 5 = 22 (El resultado es el mismo que el número original dividido por 5)

Si el último dígito es 5

1. 85 (El número original)
2. 8 5 (Toma el último dígito del número y comprueba si es 0 o 5)
3. 8 5 (Si es 5, tome los dígitos restantes, descartando el último)
4. 8 × 2 = 16 (Multiplica el resultado por 2)
5. 16 + 1 = 17 (Suma 1 al resultado)
6. 85 ÷ 5 = 17 (El resultado es el mismo que el número original dividido por 5)

Divisibilidad por 6

La divisibilidad por 6 se determina comprobando el número original para ver si es un número par (divisible por 2) y divisible por 3. ^[6]

Si el último dígito es par, el número es divisible por dos y, por lo tanto, puede ser divisible por 6. Si es divisible por 2, continúe sumando los dígitos del número original y verifique si esa suma es múltiplo de 3. Cualquier número que sea a la vez múltiplo de 2 y de 3 es múltiplo de 6.

Ejemplo.

1. 324 (El número original)
2. El último dígito 4 es par, por lo que 324 es divisible por 2 y puede ser divisible por 6.
3. 3 + 2 + 4 = 9 que es múltiplo de 3. Por lo tanto, el número original es divisible por 2 y 3 y es divisible por 6.

Divisibilidad por 7

La divisibilidad por 7 se puede comprobar mediante un método recursivo. Un número de la forma 10 x  +  y es divisible por 7 si y solo si x  − 2 y es divisible por 7. En otras palabras, se resta el doble del último dígito del número formado por los dígitos restantes. Se continúa haciendo esto hasta obtener un número para el cual se sabe si es divisible por 7. El número original es divisible por 7 si y solo si el número obtenido mediante este procedimiento es divisible por 7. Por ejemplo, el número 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7; por lo tanto, como −7 es divisible por 7, 371 es divisible por 7.

De manera similar, un número de la forma 10 x  +  y es divisible por 7 si y sólo si x  + 5 y es divisible por 7. ^[8] Por lo tanto, añada cinco veces el último dígito al número formado por los dígitos restantes y continúe haciendo esto hasta obtener un número para el cual se sepa si es divisible por 7. ^[9]

Otro método es la multiplicación por 3. Un número de la forma 10 x  +  y tiene el mismo resto cuando se divide por 7 que 3 x  +  y . Se debe multiplicar el dígito más a la izquierda del número original por 3, sumar el siguiente dígito, tomar el resto cuando se divide por 7 y continuar desde el principio: multiplicar por 3, sumar el siguiente dígito, etc. Por ejemplo, el número 371: 3×3 + 7 = 16 resto 2, y 2×3 + 1 = 7. Este método se puede utilizar para encontrar el resto de la división por 7.

Un algoritmo más complicado para probar la divisibilidad por 7 utiliza el hecho de que 10 ⁰  ≡ 1, 10 ¹  ≡ 3, 10 ²  ≡ 2, 10 ³  ≡ 6, 10 ⁴  ≡ 4, 10 ⁵  ≡ 5, 10 ⁶  ≡ 1, ... (mod 7). Tome cada dígito del número (371) en orden inverso (173), multiplicándolos sucesivamente por los dígitos 1 , 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , repitiendo con esta secuencia de multiplicadores tanto tiempo como sea necesario (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), y sumando los productos (1× 1  + 7× 3  + 3× 2 = 1 + 21 + 6 = 28). El número original es divisible por 7 si y solo si el número obtenido usando este procedimiento es divisible por 7 (por lo tanto, 371 es divisible por 7 ya que 28 lo es). ^[10]

Este método se puede simplificar eliminando la necesidad de multiplicar. Con esta simplificación, basta con memorizar la secuencia anterior (132645...) y sumar y restar, pero siempre trabajando con números de un dígito.

La simplificación es la siguiente:

• Tomemos como ejemplo el número 371.
• Cambie todas las ocurrencias de 7 , 8 o 9 por 0 , 1 y 2 , respectivamente. En este ejemplo, obtenemos: 301. Este segundo paso se puede omitir, excepto para el dígito más a la izquierda, pero seguirlo puede facilitar los cálculos posteriores.
• Ahora convierta el primer dígito (3) en el siguiente dígito en la secuencia 13264513... En nuestro ejemplo, 3 se convierte en 2 .
• Suma el resultado del paso anterior (2) al segundo dígito del número y sustituye el resultado por ambos dígitos, dejando los dígitos restantes sin modificar: 2 + 0 = 2. Entonces 30 1 se convierte en 2 1 .
• Repite el procedimiento hasta que tengas un múltiplo reconocible de 7, o para asegurarte, un número entre 0 y 6. Entonces, comenzando desde 21 (que es un múltiplo reconocible de 7), toma el primer dígito (2) y conviértelo en lo siguiente en la secuencia anterior: 2 se convierte en 6. Luego agrega esto al segundo dígito: 6 + 1 =  7 .
• Si en algún momento el primer dígito es 8 o 9, estos se convierten en 1 o 2, respectivamente. Pero si es un 7, debería convertirse en 0, solo si no le siguen otros dígitos. De lo contrario, simplemente debería eliminarse. Esto se debe a que ese 7 se habría convertido en 0, y los números con al menos dos dígitos antes del punto decimal no comienzan con 0, lo cual es inútil. Según esto, nuestro 7 se convierte en  0 .

Si mediante este procedimiento obtienes un 0 o cualquier múltiplo reconocible de 7, entonces el número original es múltiplo de 7. Si obtienes cualquier número del 1 al 6 , eso te indicará cuánto debes restar al número original para obtener un múltiplo de 7. En otras palabras, hallarás el resto de dividir el número entre 7. Por ejemplo, tomemos el número  186 :

• Primero, cambia el 8 por 1: 116 .
• Ahora, cambia 1 por el siguiente dígito en la secuencia (3), súmalo al segundo dígito y escribe el resultado en lugar de ambos: 3 + 1 =  4. Por lo tanto, 11 6 se convierte ahora en 4 6 .
• Repite el procedimiento, ya que el número es mayor que 7. Ahora, 4 se convierte en 5, que hay que sumar a 6. Es decir,  11 .
• Repita el procedimiento una vez más: 1 se convierte en 3, que se suma al segundo dígito (1): 3 + 1 =  4 .

Ahora tenemos un número menor que 7, y este número (4) es el resto de dividir 186/7. Por lo tanto, 186 menos 4, que es 182, debe ser un múltiplo de 7.

Nota: La razón por la que esto funciona es que si tenemos: a+b=c y b es un múltiplo de cualquier número dado n , entonces a y c necesariamente producirán el mismo residuo cuando se dividan por n . En otras palabras, en 2 + 7 = 9, 7 es divisible por 7. Por lo tanto, 2 y 9 deben tener el mismo residuo cuando se dividen por 7. El residuo es 2.

Por lo tanto, si un número n es múltiplo de 7 (es decir: el resto de n /7 es 0), entonces sumar (o restar) múltiplos de 7 no puede cambiar esa propiedad.

Lo que hace este procedimiento, como se explicó anteriormente para la mayoría de las reglas de divisibilidad, es simplemente restar poco a poco múltiplos de 7 del número original hasta llegar a un número que sea lo suficientemente pequeño como para que recordemos si es un múltiplo de 7. Si 1 se convierte en un 3 en la siguiente posición decimal, eso es lo mismo que convertir 10×10 ⁿ en 3×10 ⁿ . Y eso es en realidad lo mismo que restar 7×10 ⁿ (claramente un múltiplo de 7) de 10×10 ⁿ .

De manera similar, cuando conviertes un 3 en un 2 en la siguiente posición decimal, estás convirtiendo 30×10 ⁿ en 2×10 ⁿ , lo que es lo mismo que restar 30×10 ⁿ −28×10 ⁿ , y esto nuevamente es restar un múltiplo de 7. La misma razón se aplica para todas las conversiones restantes:

• 20×10 ⁿ  − 6×10 ⁿ = 14 ×10 ⁿ
• 60×10 ⁿ  − 4×10 ⁿ = 56 ×10 ⁿ
• 40×10 ⁿ  − 5×10 ⁿ = 35 ×10 ⁿ
• 50×10 ⁿ  − 1×10 ⁿ = 49 ×10 ⁿ

Primer ejemplo del método
1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. RESPUESTA: 1050 es divisible por 7.

Segundo ejemplo del método
1050 → 0501 (inverso) → 0× 1 + 5× 3 + 0× 2 + 1× 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplicar y sumar). RESPUESTA: 1050 es divisible por 7.

Método védico de divisibilidad por osculación
La divisibilidad por siete se puede comprobar multiplicando por el Ekhādika . Convierte el divisor siete en la familia de los nueves multiplicando por siete. 7×7=49. Añade uno, quita el dígito de las unidades y toma el 5, el Ekhādika , como multiplicador. Empieza por la derecha. Multiplica por 5, añade el producto al siguiente dígito a la izquierda. Escribe ese resultado en una línea debajo de ese dígito. Repite ese método de multiplicar el dígito de las unidades por cinco y añadir ese producto al número de decenas. Añade el resultado al siguiente dígito a la izquierda. Escribe ese resultado debajo del dígito. Continúa hasta el final. Si el resultado es cero o un múltiplo de siete, entonces sí, el número es divisible por siete. De lo contrario, no lo es. Esto sigue la notación ideal védica de una línea. ^{[11] [ ¿ fuente poco fiable? ]}

Ejemplo del método védico:

¿438.722.025 es divisible por siete? Multiplicador = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 542 37 46 37 6 40 37 27SÍ

Método de Pohlman-Mass de divisibilidad por 7
El método de Pohlman-Mass proporciona una solución rápida que puede determinar si la mayoría de los números enteros son divisibles por siete en tres pasos o menos. Este método podría ser útil en una competencia de matemáticas como MATHCOUNTS, donde el tiempo es un factor para determinar la solución sin una calculadora en la ronda de sprint.

Paso A: Si el entero es 1000 o menos, resta el doble del último dígito del número formado por los dígitos restantes. Si el resultado es múltiplo de siete, entonces también lo es el número original (y viceversa). Por ejemplo:

112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 SÍ98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 SÍ634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO

Como 1001 es divisible por siete, se desarrolla un patrón interesante para los conjuntos repetidos de 1, 2 o 3 dígitos que forman números de 6 dígitos (se permiten los ceros iniciales), ya que todos esos números son divisibles por siete. Por ejemplo:

001 001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430011 011 = 11,011 / 7 = 1,573100 100 = 100.100 / 7 = 14.300101 101 = 101,101 / 7 = 14,443110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,44310 10 10 = 101.010 / 7 = 14.430

111.111 / 7 = 15.873222.222 / 7 = 31.746999.999 / 7 = 142.857

576.576 / 7 = 82.368

En todos los ejemplos anteriores, al restar los tres primeros dígitos de los tres últimos, se obtiene un múltiplo de siete. Tenga en cuenta que se permiten ceros a la izquierda para formar un patrón de seis dígitos.

Este fenómeno constituye la base de los pasos B y C.

Paso B: Si el número entero está entre 1001 y un millón, encuentre un patrón repetitivo de 1, 2 o 3 dígitos que forme un número de 6 dígitos que sea cercano al número entero (se permiten los ceros iniciales y pueden ayudarlo a visualizar el patrón). Si la diferencia positiva es menor que 1000, aplique el Paso A. Esto se puede hacer restando los primeros tres dígitos de los últimos tres dígitos. Por ejemplo:

341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 SÍ 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 SÍ

El hecho de que 999.999 sea un múltiplo de 7 se puede utilizar para determinar la divisibilidad de números enteros mayores que un millón reduciendo el número entero a un número de 6 dígitos que se puede determinar utilizando el Paso B. Esto se puede hacer fácilmente sumando los dígitos que quedan de los primeros seis a los últimos seis y continuar con el Paso A.

Paso C: Si el número entero es mayor que un millón, reste el múltiplo más cercano de 999.999 y luego aplique el Paso B. Para números aún mayores, utilice conjuntos más grandes, como 12 dígitos (999.999.999.999), y así sucesivamente. Luego, divida el número entero en un número más pequeño que pueda resolverse utilizando el Paso B. Por ejemplo:

22.862.420 − (999.999 × 22) = 22.862.420 − 21.999.978 -> 862.420 + 22 = 862.442 862,442 -> 862 − 442 (Paso B) = 420 -> 42 − (0×2) (Paso A) = 42 SÍ

Esto permite sumar y restar conjuntos alternos de tres dígitos para determinar la divisibilidad por siete. Si comprende estos patrones, podrá calcular rápidamente la divisibilidad de siete, como se ve en los siguientes ejemplos:

Método de Pohlman-Mass de divisibilidad por 7, ejemplos:

¿98 es divisible por siete?98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 SÍ (Paso A)

¿Es 634 divisible por siete?634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Paso A)

¿355.341 es divisible por siete?355 341 − 341 341 = 14 000 (Paso B) -> 014 − 000 (Paso B) -> 14 = 1 − (4×2) (Paso A) = 1 − 8 = −7 SÍ

¿Es 42.341.530 divisible por siete?42.341.530 -> 341.530 + 42 = 341.572 (Paso C)341.572 − 341.341 = 231 (Paso B)231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 SÍ (Paso A)

Usando sumas y restas alternas rápidas: 42.341.530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 SÍ

Método de multiplicación por 3 y divisibilidad por 7, ejemplos:

¿98 es divisible por siete?98 -> 9 resto 2 -> 2×3 + 8 = 14 SÍ

¿Es 634 divisible por siete?634 -> 6×3 + 3 = 21 -> resto 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO

¿355.341 es divisible por siete?3 × 3 + 5 = 14 -> resto 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> resto 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> resto 2 -> 2×3 + 1 = 7 SÍ

Encuentra el resto de 1036125837 dividido por 71×3 + 0 = 33×3 + 3 = 12 resto 55×3 + 6 = 21 resto 00×3 + 1 = 11×3 + 2 = 55×3 + 5 = 20 resto 66×3 + 8 = 26 resto 55×3 + 3 = 18 resto 44×3 + 7 = 19 resto 5La respuesta es 5

Encontrar el resto de un número cuando se divide por 7

7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, el ciclo se repite para los siguientes seis dígitos) Periodo: 6 dígitos. Números recurrentes: 1, 3, 2, −1, −3, −2
Secuencia de magnitud mínima
(1, 3, 2, 6, 4, 5, el ciclo se repite para los siguientes seis dígitos) Periodo: 6 dígitos. Números recurrentes: 1, 3, 2, 6, 4, 5
Secuencia positiva

Multiplica el dígito más a la derecha por el dígito más a la izquierda de la secuencia y multiplica el segundo dígito más a la derecha por el segundo dígito más a la izquierda de la secuencia y así sucesivamente. A continuación, calcula la suma de todos los valores y toma el módulo de 7.
Ejemplo: ¿Cuál es el resto cuando 1036125837 se divide por 7?

Multiplicación del dígito más a la derecha = 1 × 7 = 7

Multiplicación del segundo dígito más a la derecha = 3 × 3 = 9

Tercer dígito más a la derecha = 8 × 2 = 16

Cuarto dígito más a la derecha = 5 × −1 = −5

Quinto dígito más a la derecha = 2 × −3 = −6

Sexto dígito más a la derecha = 1 × −2 = −2

Séptimo dígito más a la derecha = 6 × 1 = 6

Octavo dígito más a la derecha = 3 × 3 = 9

Noveno dígito más a la derecha = 0

Décimo dígito más a la derecha = 1 × −1 = −1

Suma = 33

33 módulo 7 = 5

Resto = 5

Método de pares de dígitos para divisibilidad por 7

Este método utiliza el patrón 1 , −3 , 2 en los pares de dígitos . Es decir, la divisibilidad de cualquier número por siete se puede probar separando primero el número en pares de dígitos y luego aplicando el algoritmo en pares de tres dígitos (seis dígitos). Cuando el número es menor de seis dígitos, entonces complete con ceros el lado derecho hasta que haya seis dígitos. Cuando el número es mayor de seis dígitos, repita el ciclo en el siguiente grupo de seis dígitos y luego sume los resultados. Repita el algoritmo hasta que el resultado sea un número pequeño. El número original es divisible por siete si y solo si el número obtenido usando este algoritmo es divisible por siete. Este método es especialmente adecuado para números grandes.

Ejemplo 1:
El número a probar es 157514. Primero separamos el número en tres pares de dígitos: 15, 75 y 14.
Luego aplicamos el algoritmo: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
Como el resultado 182 es menor a seis dígitos, agregamos ceros al lado derecho hasta que tenga seis dígitos.
Luego aplicamos nuestro algoritmo nuevamente: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42
El resultado −42 es divisible por siete, por lo tanto, el número original 157514 es divisible por siete.

Ejemplo 2:
El número a probar es 15751537186.
( 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + ( 1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
El resultado −77 es divisible por siete, por lo tanto, el número original 15751537186 ​​es divisible por siete.

Otro método de pares de dígitos para divisibilidad por 7

Método

Este es un método no recursivo para encontrar el resto que queda de un número al dividirlo por 7:

1. Separa el número en pares de dígitos comenzando por las unidades. Si es necesario, antepón el número con un 0 para completar el par final.
2. Calcula los restos que deja cada par de dígitos al dividir por 7.
3. Multiplica los restos con el multiplicador apropiado de la secuencia 1, 2, 4, 1, 2, 4, ...: el resto del par de dígitos formado por las unidades y las decenas debe multiplicarse por 1, las centenas y los millar por 2, las decenas de millar y las centenas de millar por 4, el millón y la decena de millón nuevamente por 1, y así sucesivamente.
4. Calcular los restos que deja cada producto al dividir por 7.
5. Añade estos restos.
6. El resto de la suma cuando se divide por 7 es el resto del número dado cuando se divide por 7.

Por ejemplo:

El número 194.536 deja un resto de 6 al dividirlo por 7.

El número 510.517.813 deja un resto de 1 al dividirlo por 7.

Prueba de la corrección del método

El método se basa en la observación de que 100 deja un resto de 2 cuando se divide por 7. Y como estamos dividiendo el número en pares de dígitos, esencialmente tenemos potencias de 100.

1 módulo 7 = 1

100 mod 7 = 2

10.000 mod 7 = 2^2 = 4

1.000.000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1

100.000.000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2

10.000.000.000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4

Etcétera.

La corrección del método se establece entonces mediante la siguiente cadena de igualdades:

Sea N el número dado . ${\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}}$

${\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7}$

${\displaystyle [\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})}$

Divisibilidad por 11

Método

Para comprobar la divisibilidad por 11, se considera la suma alternada de los dígitos. Por ejemplo, con 907.071:

${\displaystyle 9-0+7-0+7-1=22=2\times 11,}$

Entonces 907.071 es divisible por 11.

Podemos empezar con o ya que multiplicar el entero por no cambia nada. ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -1}$

Prueba de la corrección del método

Considerando que , podemos escribir para cualquier entero: ${\displaystyle 10\equiv -1{\bmod {1}}1}$

${\displaystyle {\overline {a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0}}}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\equiv \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{i}{\bmod {1}}1.}$

Divisibilidad por 13

Prueba del resto n.° 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, el ciclo continúa). Si no se siente cómodo con los números negativos, utilice esta secuencia. (1, 10, 9, 12, 3, 4)

Multiplica el dígito más a la derecha del número por el número más a la izquierda de la secuencia que se muestra arriba y el segundo dígito más a la derecha por el segundo dígito más a la izquierda del número de la secuencia. El ciclo continúa.

Ejemplo: ¿Cuál es el resto cuando 321 se divide por 13?
Usando la primera secuencia,
Respuesta: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17
Resto = −17 mod 13 = 9

Ejemplo: ¿Cuál es el resto cuando 1234567 se divide por 13?
Usando la segunda secuencia,
Respuesta: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9
Resto = 9

Se puede derivar un método recursivo utilizando el hecho de que y que . Esto implica que un número es divisible por 13 si y solo si se quita el primer dígito y se resta 3 veces ese dígito del nuevo primer dígito se obtiene un número divisible por 13. También tenemos la regla de que 10 x + y es divisible si y solo si x + 4 y es divisible por 13. Por ejemplo, para probar la divisibilidad de 1761 por 13 podemos reducir esto a la divisibilidad de 461 por la primera regla. Usando la segunda regla, esto se reduce a la divisibilidad de 50, y haciendo eso nuevamente se obtiene 5. Entonces, 1761 no es divisible por 13. ${\displaystyle 10=-3{\bmod {1}}3}$ ${\displaystyle 10^{-1}=4{\bmod {1}}3}$

Probar 871 de esta manera lo reduce a la divisibilidad de 91 usando la segunda regla, y luego 13 usando esa regla nuevamente, por lo que vemos que 871 es divisible por 13.

Más allá de los 30

Las propiedades de divisibilidad de los números se pueden determinar de dos maneras, dependiendo del tipo de divisor.

Divisores compuestos

Un número es divisible por un divisor dado si es divisible por la potencia más alta de cada uno de sus factores primos . Por ejemplo, para determinar la divisibilidad por 36, verifique la divisibilidad por 4 y por 9. ^[6] Tenga en cuenta que verificar 3 y 12, o 2 y 18, no sería suficiente. Una tabla de factores primos puede ser útil.

Un divisor compuesto también puede tener una regla formada usando el mismo procedimiento que para un divisor primo, que se indica a continuación, con la salvedad de que las manipulaciones involucradas no pueden introducir ningún factor que esté presente en el divisor. Por ejemplo, no se puede hacer una regla para 14 que implique multiplicar la ecuación por 7. Esto no es un problema para los divisores primos porque no tienen factores menores.

Divisores primos

El objetivo es encontrar un inverso de 10 módulo del primo en cuestión (no funciona para 2 o 5) y usarlo como multiplicador para hacer que la divisibilidad del número original por ese primo dependa de la divisibilidad del nuevo número (normalmente más pequeño) por el mismo primo. Si tomamos 31 como ejemplo, dado que 10 × (−3) = −30 = 1 mod 31, obtenemos la regla para usar y  − 3 x en la tabla siguiente. Asimismo, dado que 10 × (28) = 280 = 1 mod 31 también, obtenemos una regla complementaria y  + 28 x del mismo tipo: nuestra elección de suma o resta está dictada por la conveniencia aritmética del valor más pequeño. De hecho, esta regla para divisores primos además de 2 y 5 es en realidad una regla para la divisibilidad por cualquier entero relativamente primo a 10 (incluidos 33 y 39; consulte la tabla siguiente). Es por esto que la última condición de divisibilidad en las tablas anteriores y siguientes para cualquier número relativamente primo a 10 tiene el mismo tipo de forma (sumar o restar algún múltiplo del último dígito del resto del número).

Regla de divisibilidad generalizada

Para comprobar la divisibilidad por D , donde D termina en 1, 3, 7 o 9, se puede utilizar el siguiente método. ^[12] Halla cualquier múltiplo de D que termine en 9. (Si D termina respectivamente en 1, 3, 7 o 9, entonces multiplica por 9, 3, 7 o 1). Luego suma 1 y divide por 10, denotando el resultado como m . Entonces un número N = 10 t + q es divisible por D si y solo si mq + t es divisible por D . Si el número es demasiado grande, también puedes descomponerlo en varias cadenas con e dígitos cada una, satisfaciendo 10 ^e = 1 o 10 ^e = −1 (mod D ). La suma (o suma alternada) de los números tiene la misma divisibilidad que el original.

Por ejemplo, para determinar si 913 = 10×91 + 3 es divisible por 11, halla que m = (11×9+1)÷10 = 10. Entonces mq+t = 10×3+91 = 121; esto es divisible por 11 (con cociente 11), por lo que 913 también es divisible por 11. Como otro ejemplo, para determinar si 689 = 10×68 + 9 es divisible por 53, halla que m = (53×3+1)÷10 = 16. Entonces mq+t = 16×9 + 68 = 212, que es divisible por 53 (con cociente 4); por lo que 689 también es divisible por 53.

Alternativamente, cualquier número Q = 10c + d es divisible por n = 10a + b, tal que mcd(n, 2, 5) = 1, si c + D(n)d = An para algún entero A, donde: ${\displaystyle D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\ }$

Los primeros términos de la secuencia, generada por D(n), son 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (secuencia A333448 en OEIS ).

La forma fragmentaria de D(n) y la secuencia generada por ella fueron publicadas por primera vez por el matemático búlgaro Ivan Stoykov en marzo de 2020. ^[13]

Pruebas

Demostración mediante álgebra básica

Muchas de las reglas más simples se pueden generar utilizando únicamente manipulación algebraica, creando binomios y reorganizándolos. Al escribir un número como la suma de cada dígito multiplicado por una potencia de 10, se puede manipular la potencia de cada dígito individualmente.

Caso en el que se suman todos los dígitos

Este método funciona para divisores que son factores de 10 − 1 = 9.

Si tomamos el 3 como ejemplo, 3 divide a 9 = 10 − 1. Esto significa (ver aritmética modular ). Lo mismo para todas las potencias superiores de 10: todas son congruentes con 1 módulo 3. Como dos cosas que son congruentes módulo 3 son ambas divisibles por 3 o ambas no, podemos intercambiar valores que sean congruentes módulo 3. Por lo tanto, en un número como el siguiente, podemos reemplazar todas las potencias de 10 por 1: ${\displaystyle 10\equiv 1{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle 10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}}$

${\displaystyle 100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c\equiv (1)a+(1)b+(1)c{\pmod {3}}}$

que es exactamente la suma de los dígitos.

Caso en el que se utiliza la suma alternada de dígitos

Este método funciona para divisores que son factores de 10 + 1 = 11.

Si tomamos 11 como ejemplo, 11 divide a 11 = 10 + 1. Esto significa que . Para las potencias superiores de 10, son congruentes con 1 para potencias pares y congruentes con −1 para potencias impares: ${\displaystyle 10\equiv -1{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 10^{n}\equiv (-1)^{n}\equiv {\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\-1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}{\pmod {11}}.}$

Al igual que en el caso anterior, podemos sustituir potencias de 10 con valores congruentes:

${\displaystyle 1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+1\cdot d\equiv (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)d{\pmod {11}}}$

que también es la diferencia entre la suma de los dígitos en posiciones impares y la suma de los dígitos en posiciones pares.

Caso en el que solo importan los últimos dígitos

Esto se aplica a los divisores que son un factor de una potencia de 10. Esto se debe a que las potencias suficientemente altas de la base son múltiplos del divisor y pueden eliminarse.

Por ejemplo, en base 10, los factores de 10 ¹ incluyen 2, 5 y 10. Por lo tanto, la divisibilidad por 2, 5 y 10 solo depende de si el último dígito es divisible por esos divisores. Los factores de 10 ² incluyen 4 y 25, y la divisibilidad por ellos solo depende de los últimos 2 dígitos.

Caso en el que solo se eliminan los últimos dígitos

La mayoría de los números no dividen exactamente a 9 o 10, pero sí dividen una potencia mayor de 10 ⁿ o 10 ⁿ  − 1. En este caso, el número todavía se escribe en potencias de 10, pero no se desarrolla por completo.

Por ejemplo, 7 no divide a 9 ni a 10, pero sí divide a 98, que está cerca de 100. Por lo tanto, proceda de

${\displaystyle 100\cdot a+b}$

donde en este caso a es cualquier número entero y b puede oscilar entre 0 y 99. A continuación,

${\displaystyle (98+2)\cdot a+b}$

y nuevamente expandiéndose

${\displaystyle 98\cdot a+2\cdot a+b,}$

y después de eliminar el múltiplo conocido de 7, el resultado es

${\displaystyle 2\cdot a+b,}$

que es la regla "duplica el número formado por todos los dígitos excepto los dos últimos, luego suma los dos últimos dígitos".

Caso en el que el último dígito se multiplica por un factor

La representación del número también puede ser multiplicada por cualquier número primo relativo al divisor sin cambiar su divisibilidad. Después de observar que 7 divide a 21, podemos realizar lo siguiente:

${\displaystyle 10\cdot a+b,}$

Después de multiplicar por 2, esto se convierte en

${\displaystyle 20\cdot a+2\cdot b,}$

y luego

${\displaystyle (21-1)\cdot a+2\cdot b.}$

Eliminando el 21 se obtiene

${\displaystyle -1\cdot a+2\cdot b,}$

y multiplicando por −1 da

${\displaystyle a-2\cdot b.}$

Se puede utilizar cualquiera de las dos últimas reglas, según cuál sea más fácil de realizar. Corresponden a la regla de “restar el doble del último dígito al resto”.

Demostración mediante aritmética modular

En esta sección se ilustra el método básico; todas las reglas se pueden derivar siguiendo el mismo procedimiento. Lo que sigue requiere conocimientos básicos de aritmética modular ; para divisibilidades distintas a las de 2 y 5, las pruebas se basan en el hecho básico de que 10 módulo m es invertible si 10 y m son primos entre sí.

Para 2 ⁿ o 5 ⁿ :

Sólo es necesario comprobar los últimos n dígitos.

${\displaystyle 10^{n}=2^{n}\cdot 5^{n}\equiv 0{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}}$

Representando x como ${\displaystyle 10^{n}\cdot y+z,}$

${\displaystyle x=10^{n}\cdot y+z\equiv z{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}}$

y la divisibilidad de x es la misma que la de z .

Para 7:

Como 10 × 5 ≡ 10 × (−2) ≡ 1 (mod 7) podemos hacer lo siguiente:

Representando x como ${\displaystyle 10\cdot y+z,}$

${\displaystyle -2x\equiv y-2z{\pmod {7}},}$

Entonces x es divisible por 7 si y solo si y − 2 z es divisible por 7.

Véase también

• División por cero
• Paridad (matemáticas)

Referencias

1. Gardner, Martin (septiembre de 1962). «Juegos matemáticos: pruebas que muestran si un número grande puede dividirse por un número entre 2 y 12». Scientific American . 207 (3): 232–246. doi :10.1038/scientificamerican0962-232. JSTOR  24936675.
2. Esto se desprende del criterio de Pascal. Véase Kisačanin (1998), págs. 100-101.
3. Un número es divisible por 2 ^m , 5 ^m o 10 ^m si y solo si el número formado por los últimos m dígitos es divisible por ese número. Véase Richmond & Richmond (2009), p. 105
4. Apostol (1976), pág. 108
5. Richmond & Richmond (2009), Sección 3.4 (Pruebas de divisibilidad), págs. 102-108
6. Richmond & Richmond (2009), Sección 3.4 (Pruebas de divisibilidad), Teorema 3.4.3, p. 107
7. Kisačanin (1998), pág. 101
8. Loy, Jim (1999), Pruebas de divisibilidad, archivado desde el original el 10 de octubre de 2007. Multiplique el dígito más a la derecha por 5 y súmelo al resto de los números. Si esta suma es divisible por 7, entonces el número original es divisible por 7.
9. Wells, David (1997), Diccionario Penguin de números curiosos e interesantes, pág. 51, ISBN 9780140261493
10. Su, Francis E. ""Divisibilidad por siete" Datos curiosos de Mudd Math". Archivado desde el original el 2019-06-13 . Consultado el 2006-12-12 .
11. Página 274, Matemáticas védicas: dieciséis fórmulas matemáticas simples , por Swami Sankaracarya, publicado por Motilal Banarsidass, Varanasi, India, 1965, Delhi, 1978. 367 páginas.
12. Dunkels, Andrejs, "Comentarios sobre la nota 82.53: una prueba generalizada de divisibilidad", Mathematical Gazette 84, marzo de 2000, 79-81.
13. Stoykov, Ivan (marzo de 2020). "OEIS A333448". Oeis A333448 .

Fuentes

• Apostol, Tom M. (1976). Introducción a la teoría analítica de números . Textos de pregrado en matemáticas . Vol. 1. Springer-Verlag. ISBN. 978-0-387-90163-3.
• Kisačanin, Branislav (1998). Problemas matemáticos y demostraciones: combinatoria, teoría de números y geometría . Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
• Richmond, Bettina ; Richmond, Thomas (2009). Una transición discreta a las matemáticas avanzadas . Textos de pregrado puros y aplicados. Vol. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

Enlaces externos

• Criterios de divisibilidad en el momento del corte del nudo
• Trucos estúpidos de divisibilidad Reglas de divisibilidad para 2–100.