Número figurado

El término número figurado es utilizado por distintos autores para referirse a miembros de distintos conjuntos de números, generalizando desde números triangulares a distintas formas (números poligonales) y distintas dimensiones (números poliédricos). El término puede significar

número poligonal
un número representado como un patrón geométrico regular discreto de dimensiones $r de$ bolas de dimensiones $r$ , como un número poligonal (para $r$ $= 2$ ) o un número poliédrico (para $r$ $= 3$ ).
un miembro del subconjunto de los conjuntos anteriores que contiene solo números triangulares, números piramidales y sus análogos en otras dimensiones. ^[1]

Terminología

Algunos tipos de números figurados fueron discutidos en los siglos XVI y XVII bajo el nombre de "número figurado". ^[2]

En las obras históricas sobre las matemáticas griegas el término preferido solía ser número figurado . ^[3]^[4]

En un uso que se remonta al Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli , ^[1] el término número figurado se utiliza para números triangulares formados por enteros sucesivos , números tetraédricos formados por números triangulares sucesivos, etc. Estos resultan ser los coeficientes binomiales . En este uso, los números cuadrados (4, 9, 16, 25, ...) no se considerarían números figurados cuando se los ve como dispuestos en un cuadrado.

Varias otras fuentes utilizan el término número figurado como sinónimo de los números poligonales , ya sea solo el tipo habitual o ambos y los números poligonales centrados . ^[5]

Historia

Se dice que el estudio matemático de los números figurados se originó con Pitágoras , posiblemente basado en precursores babilónicos o egipcios. La generación de cualquier clase de números figurados que estudiaron los pitagóricos usando gnomones también se atribuye a Pitágoras. Desafortunadamente, no hay una fuente confiable para estas afirmaciones, porque todos los escritos sobrevivientes sobre los pitagóricos ^[6] son de siglos posteriores. ^[7] Espeusipo es la fuente más antigua que expone la opinión de que diez, como el cuarto número triangular, era de hecho el tetractys , supuestamente de gran importancia para el pitagorismo . ^[8] Los números figurados eran una preocupación de la cosmovisión pitagórica. Se entendía bien que algunos números podían tener muchas figuraciones, por ejemplo, 36 es un cuadrado y un triángulo y también varios rectángulos.

El estudio moderno de los números figurados se remonta a Pierre de Fermat , específicamente al teorema del número poligonal de Fermat . Más tarde, se convirtió en un tema importante para Euler , quien proporcionó una fórmula explícita para todos los números triangulares que también son cuadrados perfectos , entre muchos otros descubrimientos relacionados con los números figurados.

Los números figurados han desempeñado un papel importante en las matemáticas recreativas modernas. ^[9] En las matemáticas de investigación, los números figurados se estudian mediante los polinomios de Ehrhart , polinomios que cuentan el número de puntos enteros en un polígono o poliedro cuando se expande por un factor dado. ^[10]

Números triangulares y sus análogos en dimensiones superiores

Los números triangulares para $n = 1, 2, 3, ...$ son el resultado de la yuxtaposición de los números lineales (gnomones lineales) para $n = 1, 2, 3, ...$ :

Estos son los coeficientes binomiales . Este es el caso $r$ $= 2$ del hecho de que la diagonal $r- ésima del$ triángulo de Pascal para $r$ $\geq 0$ consiste en los números figurados para los análogos $r -dimensionales de los triángulos ($ símplices $r$ -dimensionales ). $\textstyle {\binom {n+1}{2}}$

Los números politópicos simples para $r = 1, 2, 3, 4, ...$ son:

$P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={\binom {n+0}{1}}={\binom {n}{1}}$ (números lineales),
$P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}$ ( números triangulares ),
$P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\binom {n+2}{3}}$ ( números tetraédricos ),
$P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={\binom {n+3}{4}}$ (números pentacóricos, números pentatópicos , números 4-símplex),

$\qquad \vpuntos$

$P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}{r!}}={\binom {n+(r-1)}{r}}$ ( $r -$ números temáticos, $r$ - números simplex ).

Los términos número cuadrado y número cúbico derivan de su representación geométrica como cuadrado o cubo . La diferencia de dos números triangulares positivos es un número trapezoidal .

Estilo

El gnomon es la pieza que se añade a un número figurado para transformarlo en el siguiente mayor.

Por ejemplo, el gnomon del número cuadrado es el número impar , de forma general $2 n + 1$ , $n = 0, 1, 2, 3, ...$ . El cuadrado de tamaño 8 compuesto de gnomones se ve así:

{\begin{matriz}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&2&3&4&5&6&7&8\\3&3&3&4&5&6&7&8\\4&4&4&4&5&6&7&8\\5&5&5&5&5&6&7&8\\6&6&6&6&6&6&7&8\\7&7&7&7&7&7&7&8\\8&8&8&8&8&8&8&8\end{matriz}}

Para transformar el cuadrado $n$ (el cuadrado de tamaño $n$ ) en el cuadrado $(n +1) , se añaden$ $2 elementos n +1$ : uno al final de cada fila ( $n$ elementos), uno al final de cada columna ( $n$ elementos) y uno solo en la esquina. Por ejemplo, al transformar el cuadrado 7 en el cuadrado 8, añadimos 15 elementos; estas adjuntaciones son los 8 de la figura anterior.

Esta técnica gnomónica también proporciona una prueba matemática de que la suma de los primeros $n$ números impares es $n 2$ ; la figura ilustra 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ² .

Existe un gnomon similar con números hexagonales centrados que se suman para formar cubos de cada número entero.

Notas

^ ab Dickson, LE (1919). Historia de la teoría de los números . Vol. 2. pág. 3. ISBN 978-0-8284-0086-2. Consultado el 15 de agosto de 2021 .
^ Simpson, JA; Weiner, ESC, eds. (1992). "Número figural". Diccionario Oxford de inglés compacto (2.ª ed.). Oxford, Inglaterra: Clarendon Press. pág. 587.
^ Heath, Sir Thomas (1921). Una historia de las matemáticas griegas . Vol. 1. Oxford, Clarendon Press.
^ Maziarz, Edward A.; Greenwood, Thomas (1968). Filosofía matemática griega . Libros de Barnes & Noble. ISBN 978-1-56619-954-4.
^ "Números figurados". Mathigon . Consultado el 15 de agosto de 2021 .
^ Taylor, Thomas (2006). La aritmética teórica de los pitagóricos . Prometheus Trust. ISBN 978-1-898910-29-9.
^ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). Una historia de las matemáticas (segunda edición). pág. 48.
^ Zhmud, Leonid (2019): Del simbolismo numérico a la aritmología . En: L. Schimmelpfennig (ed.): Sistemas numéricos y de letras al servicio de la educación religiosa . Tubinga: Seraphim, 2019. p.25-45
^ Kraitchik, Maurice (2006). Recreaciones matemáticas (2.ª edición revisada). Dover Books . ISBN 978-0-486-45358-3.
^ Beck, M.; De Loera, JA ; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, RP (2005). "Coeficientes y raíces de polinomios de Ehrhart". Puntos enteros en poliedros: geometría, teoría de números, álgebra, optimización . Contemp. Math. Vol. 374. Providence, RI: Amer. Math. Soc. págs. 15–36. MR 2134759.

Referencias

Gazalé, Midhat J. (1999), "Gnomon: De los faraones a los fractales", European Journal of Physics , 20 (6), Princeton University Press : 523, Bibcode :1999EJPh...20..523G, doi :10.1088/0143-0807/20/6/501, ISBN 978-0-691-00514-0
Deza, Elena ; Deza, Michel Marie (2012), Números figurados, Primera edición , World Scientific , ISBN 978-981-4355-48-3
Heath, Thomas Little (2000), Una historia de las matemáticas griegas: Volumen 1. De Tales a Euclides , Adamant Media Corporation, ISBN 978-0-543-97448-8
Heath, Thomas Little (2000), Una historia de las matemáticas griegas: volumen 2. De Aristarco a Diofanto , Adamant Media Corporation, ISBN 978-0-543-96877-7
Dickson, Leonard Eugene (1923), Historia de la teoría de los números , Chelsea Publishing Co, ASIN B000OKO3TK
Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C., Una historia de las matemáticas (2.ª ed.)