Número hexagonal centrado

Número que representa un hexágono con un punto en el centro.

Números hexagonales centrados que aparecen en el juego de mesa Catan :
19 fichas de tierra,
37 fichas en total

En matemáticas y combinatoria , un número hexagonal centrado , o número hexadecimal , ^{[1] [2]} es un número figurado centrado que representa un hexágono con un punto en el centro y todos los demás puntos que rodean el punto central en una red hexagonal . Las siguientes figuras ilustran esta disposición para los primeros cuatro números hexagonales centrados:

Los números hexagonales centrados no deben confundirse con los números hexagonales arqueados , que son números figurados en los que los hexágonos asociados comparten un vértice.

La secuencia de números hexagonales comienza de la siguiente manera (secuencia A003215 en la OEIS ):

1 , 7 , 19 , 37 , 61 , 91 , 127 , 169 , 217 , 271 , 331 , 397 , 469, 547, 631, 721, 817, 919.

Fórmula

Disección de un número hexagonal en seis triángulos con un resto de uno. Los triángulos pueden volver a ensamblarse de dos en dos para dar tres paralelogramos de n ( n −1) puntos cada uno.

El n- ésimo número hexagonal centrado viene dado por la fórmula ^[2]

${\displaystyle H(n)=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1=3n^{2}-3n+1.\,}$

Expresando la fórmula como

${\displaystyle H(n)=1+6\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)}$

muestra que el número hexagonal centrado para n es 1 más que 6 veces el ( n − 1) ésimo número triangular .

En sentido inverso, el índice n correspondiente al número hexagonal centrado se puede calcular mediante la fórmula ${\displaystyle H=H(n)}$

${\displaystyle n={\frac {3+{\sqrt {12H-3}}}{6}}.}$

Esto se puede utilizar como una prueba para determinar si un número H es hexagonal centrado: lo será si y solo si la expresión anterior es un número entero.

Función recurrente y generadora

Los números hexagonales centrados satisfacen la relación de recurrencia ^[2] ${\displaystyle H(n)}$

${\displaystyle H(n+1)=H(n)+6n.}$

A partir de esto podemos calcular la función generadora . La función generadora satisface ${\displaystyle F(x)=\sum _{n\geq 0}H(n)x^{n}}$

${\displaystyle F(x)=x+xF(x)+\sum _{n\geq 2}6nx^{n}.}$

El último término es la serie de Taylor de , por lo que obtenemos ${\displaystyle {\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x}$

${\displaystyle (1-x)F(x)=x+{\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{2}}}}$

y terminar en

${\displaystyle F(x)={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{3}}}.}$

Propiedades

Prueba sin palabras de la suma de los primeros n números hexadecimales al disponer n ³ bolas semitransparentes en un cubo y observarlas a lo largo de una diagonal espacial : el color indica la capa del cubo y el estilo de línea indica el número hexadecimal

En base 10 se puede observar que los dígitos más a la derecha (menos significativos) de los números hexagonales siguen el patrón 1–7–9–7–1 (repitiéndose con el período 5). Esto se desprende del último dígito de los números triangulares (secuencia A008954 en la OEIS ) que repiten 0-1-3-1-0 cuando se toman módulo 5. En base 6 el dígito más a la derecha es siempre 1: 1 ₆ , 11 ₆ , 31 ₆ , 101 ₆ , 141 ₆ , 231 ₆ , 331 ₆ , 441 ₆ ... Esto se desprende del hecho de que todo número hexagonal centrado módulo 6 (=10 ₆ ) es igual a 1.

La suma de los primeros n números hexagonales centrados es n 3 . Es decir, los números piramidales hexagonales centrados y los cubos son los mismos números, pero representan formas diferentes. Vistos desde la perspectiva opuesta, los números hexagonales centrados son diferencias de dos cubos consecutivos, de modo que los números hexagonales centrados son el gnomon de los cubos. (Esto se puede ver geométricamente en el diagrama). En particular, los números hexagonales centrados primos son primos cubanos .

La diferencia entre (2 n ) ² y el n -ésimo número hexagonal centrado es un número de la forma 3 n ² + 3 n − 1 , mientras que la diferencia entre (2 n − 1) ² y el n -ésimo número hexagonal centrado es un número pronico .

Aplicaciones

Ignorando los agujeros centrales, el número de segmentos de espejo en varios telescopios de espejo segmentado son números hexagonales centrados.

Muchos telescopios reflectores de espejo segmentado tienen espejos primarios que comprenden un número hexagonal centrado de segmentos (sin tener en cuenta el segmento central eliminado para permitir el paso de la luz) para simplificar el sistema de control. ^[3] Algunos ejemplos:

Referencias

1. Hindin, HJ (1983). "Estrellas, hexágonos, números triangulares y ternas pitagóricas". J. Rec. Math . 16 : 191–193.
2. Deza, Elena ; Deza, M. (2012). Números figurados. World Scientific. págs. 47–55. ISBN 978-981-4355-48-3.
3. Mast, TS y Nelson, JE Control de figura para un espejo de telescopio segmentado. Estados Unidos: N. p., 1979. Web. doi:10.2172/6194407.

Véase también

• Número hexagonal
• Hexágono mágico
• Número de estrella