Número poligonal centrado

Clase de serie de números figurados, cada uno con un punto central

Los números poligonales centrados son una clase de series de números figurados , cada uno formado por un punto central, rodeado de capas poligonales de puntos con un número constante de lados. Cada lado de una capa poligonal contiene un punto más que cada lado de la capa anterior; por lo que a partir de la segunda capa poligonal, cada capa de un número k -gonal centrado contiene k puntos más que la capa anterior.

Ejemplos

Prueba de que los números octogonales centrados son cuadrados impares

Cada número k -gonal centrado en la serie es k veces el número triangular anterior , más 1. Esto se puede formalizar con la expresión , donde n es el rango de la serie, comenzando con 0 para el 1 inicial. Por ejemplo, cada número cuadrado centrado en la serie es cuatro veces el número triangular anterior, más 1. Esto se puede formalizar con la expresión . ${\displaystyle {\frac {kn(n+1)}{2}}+1}$ ${\displaystyle {\frac {4n(n+1)}{2}}+1}$

Estas series se componen de:

• números triangulares centrados 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, ... ( OEIS : A005448 ),
• números cuadrados centrados 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, ... ( OEIS : A001844 ),
• números pentagonales centrados 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, ... ( OEIS : A005891 ),
• números hexagonales centrados 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, ... ( OEIS : A003215 ), que son exactamente la diferencia de cubos consecutivos, es decir, n ³ − ( n − 1) ³ ,
• números heptagonales centrados 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, ... ( OEIS : A069099 ),
• números octogonales centrados 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, ... ( OEIS : A016754 ), que son exactamente los cuadrados impares ,
• números nonagonales centrados 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, ... ( OEIS : A060544 ), que incluyen todos los números perfectos pares excepto el 6,
• números decagonales centrados 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, ... ( OEIS : A062786 ),
• números endecagonales centrados 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496, 606, 727, ... ( OEIS : A069125 ),
• números dodecagonales centrados 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, ... ( OEIS : A003154 ), que también son los números estrella ,

etcétera.

Los siguientes diagramas muestran algunos ejemplos de números poligonales centrados y su construcción geométrica. Compare estos diagramas con los diagramas de Número poligonal .

Números cuadrados centrados

Números hexagonales centrados

Como la suma de los primeros n números hexadecimales es n ³ , el n -ésimo número hexadecimal es n ³ − (n−1) ³

Fórmulas

Como se puede ver en los diagramas anteriores, el n -ésimo número k -gonal centrado se puede obtener colocando k copias del ( n −1)-ésimo número triangular alrededor de un punto central; por lo tanto, el n- ésimo número k -gonal centrado es igual a

${\displaystyle C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1.}$

La diferencia de los números k -gonales centrados consecutivos n -ésimo y ( n + 1) es k (2 n + 1).

El n -ésimo número k -gonal centrado es igual al n -ésimo número k -gonal regular más ( n -1) ² .

Tal como sucede con los números poligonales regulares, el primer número k -gonal centrado es 1. Por lo tanto, para cualquier k , 1 es tanto k -gonal como k -gonal centrado. El siguiente número que es tanto k -gonal como k -gonal centrado se puede hallar utilizando la fórmula:

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1}$

lo que nos dice que 10 es a la vez triangular y triangular centrado, 25 es a la vez cuadrado y cuadrado centrado, etc.

Mientras que un número primo p no puede ser un número poligonal (excepto en el caso trivial, es decir, cada p es el segundo número p -gonal), muchos números poligonales centrados son primos. De hecho, si k ≥ 3, k ≠ 8, k ≠ 9, entonces hay infinitos números k -gonales centrados que son primos (asumiendo la conjetura de Bunyakovsky ). Como todos los números octogonales centrados son también números cuadrados , y todos los números no-gonales centrados son también números triangulares (y no iguales a 3), entonces ninguno de ellos puede ser un número primo.

Suma de recíprocos

La suma de los recíprocos de los números k -gonales centrados es ^[1]

${\displaystyle {\frac {2\pi }{k{\sqrt {1-{\frac {8}{k}}}}}}\tan \left({\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-{\frac {8}{k}}}}\right)}$, si k ≠ 8

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}}$, si k = 8

Referencias

1. Números poligonales centrados en la wiki de la OEIS, contenido "Tabla de fórmulas y valores relacionados"

• Neil Sloane y Simon Plouffe (1995).La enciclopedia de secuencias de números enteros. San Diego: Prensa académica.: Figura M3826
• Weisstein, Eric W. "Número poligonal centrado". MathWorld .
• F. Tapson (1999). Diccionario de estudio de matemáticas de Oxford (2.ª edición). Oxford University Press. Págs. 88-89. ISBN 0-19-914-567-9.