Número triangular cuadrado

Número entero que es a la vez un cuadrado perfecto y un número triangular.

Número triangular cuadrado 36 representado como un número triangular y como un número cuadrado.

En matemáticas , un número triangular cuadrado (o número cuadrado triangular ) es un número que es a la vez un número triangular y un número cuadrado . Hay una cantidad infinita de números triangulares cuadrados; los primeros son:

0, 1, 36,1225 ,41 616 ,1 413 721 ,48 024 900 ,1 631 432 881 ,55 420 693 056 ,1 882 672 131 025 (secuencia A001110 en la OEIS )

Fórmulas explícitas

Escribe para el número triangular cuadrado n°, y escribe y para los lados del cuadrado y triángulo correspondientes, de modo que ${\displaystyle N_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

Define la raíz triangular de un número triangular como . A partir de esta definición y de la fórmula cuadrática, ${\displaystyle N={\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

Por lo tanto, es triangular ( es un entero) si y solo si es cuadrado. En consecuencia, un número cuadrado también es triangular si y solo si es cuadrado, es decir, hay números y tales que . Esta es una instancia de la ecuación de Pell con . Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial para cualquier ; esto se llama la solución cero y se indexa como . Si denota la ésima solución no trivial para cualquier ecuación de Pell para un particular , se puede demostrar por el método de descenso que la siguiente solución es ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 8N+1}$ ${\displaystyle M^{2}}$ ${\displaystyle 8M^{2}+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle x=1,y=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(1,0)}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, hay infinitas soluciones para cualquier ecuación de Pell para la que exista una no trivial, que es verdadera siempre que no sea un cuadrado. La primera solución no trivial cuando es fácil de encontrar: es . Una solución para la ecuación de Pell para da como resultado un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares como sigue: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle (3,1)}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle n=8}$

${\displaystyle \displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de , es , y el siguiente, derivado de , es . ${\displaystyle (3,1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 6\cdot (3,1)-(1,0)-(17,6)}$ ${\displaystyle 36}$

Las secuencias , y son las secuencias OEIS OEIS : A001110 , OEIS : A001109 y OEIS : A001108 respectivamente. ${\displaystyle N_{k}}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

En 1778 Leonhard Euler determinó la fórmula explícita ^{[1] [2] : 12–13}

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Otras fórmulas equivalentes (obtenidas al expandir esta fórmula) que pueden ser convenientes incluyen

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

Las fórmulas explícitas correspondientes para y son: ^{[2] : 13} ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

Relaciones de recurrencia

Existen relaciones de recurrencia para los números cuadrados triangulares, así como para los lados del cuadrado y del triángulo involucrados. Tenemos ^{[3] : (12)}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

Tenemos ^{[1] [2] : 13}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}}$

Otras caracterizaciones

Todos los números triangulares cuadrados tienen la forma , donde es un convergente a la expansión fraccionaria continua de , la raíz cuadrada de 2 . ^[4] ${\displaystyle b^{2}c^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b}{c}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

AV Sylwester dio una breve prueba de que hay infinitos números triangulares cuadrados: Si el número triangular es cuadrado, entonces también lo es el número triangular mayor , ya que: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle 4n(n+1)}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

El lado izquierdo de esta ecuación tiene la forma de un número triangular y, como producto de tres cuadrados, el lado derecho es cuadrado. ^[5]

La función generadora de los números triangulares cuadrados es: ^[6]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

Véase también

• Problema de la bala de cañón , sobre números que son simultáneamente cuadrados y piramidales cuadrados
• Sexta potencia , números que son simultáneamente cuadrados y cúbicos

Notas

1. Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. Historia de la teoría de los números . Vol. 2. Providence: American Mathematical Society. pág. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
2. Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Regla fácil para problemas diofánticos que se resuelven rápidamente con números integrales)". Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (en latín). 4 : 3–17 . Consultado el 11 de mayo de 2009. Según los registros, fue presentada a la Academia de San Petersburgo el 4 de mayo de 1778.
3. Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado". MathWorld .
4. Ball, WW Rouse ; Coxeter, HSM (1987). Recreaciones y ensayos matemáticos . Nueva York: Dover Publications. p. 59. ISBN 978-0-486-25357-2.
5. Pietenpol, JL; Sylwester, AV; Just, Erwin; Warten, RM (febrero de 1962). "Problemas elementales y soluciones: E 1473, números cuadrados y triangulares". American Mathematical Monthly . 69 (2). Asociación Matemática de América: 168–169. doi :10.2307/2312558. ISSN  0002-9890. JSTOR  2312558.
6. Plouffe, Simon (agosto de 1992). "1031 Funciones generadoras" (PDF) . Universidad de Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. pag. A.129. Archivado desde el original (PDF) el 20 de agosto de 2012 . Consultado el 11 de mayo de 2009 .

Enlaces externos

• Números triangulares que también son cuadrados al cortar el nudo
• Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado". MathWorld .
• La solución de Michael Dummett