En teoría de números , un número pentátopo es un número en la quinta celda de cualquier fila del triángulo de Pascal que comienza con la fila de 5 términos 1 4 6 4 1 , ya sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Se llama así porque representa la cantidad de esferas unitarias tridimensionales que se pueden empaquetar en un pentátopo (un tetraedro tetradimensional ) de longitudes laterales crecientes.
Los primeros números de este tipo son:
Los números pentátopos pertenecen a la clase de números figurados , que pueden representarse como patrones geométricos regulares y discretos. [1]
La fórmula para el n -ésimo número pentátopo está representada por el cuarto factorial ascendente de n dividido por el factorial de 4:
Los números pentátopos también se pueden representar como coeficientes binomiales :
que es el número de cuádruples distintos que se pueden seleccionar entre n + 3 objetos, y se lee en voz alta como " n más tres elige cuatro".
Dos de cada tres números pentátopos son también números pentagonales . Para ser precisos, el (3 k − 2) ésimo número pentátopo es siempre el ésimo número pentagonal y el (3 k − 1) ésimo número pentátopo es siempre el ésimo número pentagonal. El (3 k ) ésimo número pentátopo es el número pentagonal generalizado que se obtiene tomando el índice negativo en la fórmula para números pentagonales. (Estas expresiones siempre dan números enteros ). [2]
La suma infinita de los recíprocos de todos los números pentátopos es4/3 . [3] Esto se puede derivar utilizando series telescópicas .
Los números de pentátopos se pueden representar como la suma de los primeros n números tetraédricos : [2]
y también están relacionados con los propios números tetraédricos:
Ningún número primo es predecesor de un número pentátopo (solo se necesita verificar -1 y 4 = 2 ) , y el semiprimo más grande que es predecesor de un número pentátopo es 1819.
De manera similar, los únicos primos que preceden a un número 6-símplex son 83 y 461.
Podemos derivar esta prueba de la fórmula para el n -ésimo número pentátopo.
Dado un entero positivo x , para comprobar si es un número pentátopo podemos calcular la raíz positiva utilizando el método de Ferrari :
El número x es pentátopo si y solo si n es un número natural . En ese caso x es el n- ésimo número pentátopo.
La función generadora de números pentátopos es [4]
En bioquímica , los números de pentátopo representan el número de posibles disposiciones de n subunidades polipeptídicas diferentes en una proteína tetramérica (tetraédrica).