Ecuación cuártica

Ecuación polinómica

En matemáticas , una ecuación de cuarto grado es aquella que se puede expresar como una función de cuarto grado igual a cero. La forma general de una ecuación de cuarto grado es

Gráfica de una función polinómica de grado 4, con sus 4 raíces y 3 puntos críticos .

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

donde a  ≠ 0.

La cuártica es la ecuación polinómica de orden más alto que se puede resolver mediante radicales en el caso general (es decir, uno en el que los coeficientes pueden tomar cualquier valor).

Historia

A Lodovico Ferrari se le atribuye el descubrimiento de la solución de la cuártica en 1540, pero como esta solución, como todas las soluciones algebraicas de la cuártica, requiere la solución de una cúbica , no pudo publicarse inmediatamente. ^[1] La solución de la cuártica fue publicada junto con la de la cúbica por el mentor de Ferrari, Gerolamo Cardano, en el libro Ars Magna (1545).

La prueba de que este era el polinomio general de orden más alto para el cual se podían encontrar tales soluciones se dio por primera vez en el teorema de Abel-Ruffini en 1824, lo que demostraba que todos los intentos de resolver los polinomios de orden superior serían inútiles. Las notas dejadas por Évariste Galois antes de su muerte en un duelo en 1832 condujeron más tarde a una elegante teoría completa de las raíces de los polinomios, de la cual este teorema fue uno de los resultados. ^[2]

Solución de una ecuación de cuarto grado, casos especiales

Consideremos una ecuación cuártica expresada en la forma : ${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0}$

Existe una fórmula general para hallar las raíces de ecuaciones de cuarto grado, siempre que el coeficiente del término principal no sea cero. Sin embargo, dado que el método general es bastante complejo y susceptible de errores en la ejecución, es mejor aplicar uno de los casos especiales que se enumeran a continuación, si es posible.

Caso degenerado

Si el término constante a ₄  = 0, entonces una de las raíces es x  = 0, y las otras raíces se pueden encontrar dividiendo por x y resolviendo la ecuación cúbica resultante .

${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,}$

Raíces evidentes: 1 y −1 y −a

Llamemos a nuestro polinomio cuártico Q ( x ) . Como 1 elevado a cualquier potencia es 1,

${\displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\ .}$

Por lo tanto, si Q (1) = 0 y por lo tanto x = 1 es una raíz de Q ( x ) . De manera similar, se puede demostrar que si x = −1 es una raíz. ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}\ ,}$

En cualquier caso, el cuártico completo se puede dividir por el factor ( x − 1) o ( x + 1) respectivamente, obteniéndose un nuevo polinomio cúbico , que se puede resolver para encontrar las otras raíces del cuártico.

Si y entonces es una raíz de la ecuación, el cuártico completo se puede factorizar de esta manera: ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{2}=0\ }$ ${\displaystyle \ a_{4}=a_{3}k\ ,}$ ${\displaystyle \ x=-k\ }$

${\displaystyle \ a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k)\ .}$

Alternativamente, si y entonces x = 0 y x = − k se convierten en dos raíces conocidas. Q ( x ) dividido por x ( x + k ) es un polinomio cuadrático. ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{3}=a_{2}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{4}=0\ ,}$

Ecuaciones bicuadráticas

Una ecuación cuártica donde un ₃ y un ₁ son iguales a 0 toma la forma

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!}$

y por lo tanto es una ecuación bicuadrática , que es fácil de resolver: sea , por lo que nuestra ecuación se convierte en ${\displaystyle z=x^{2}}$

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0\,\!}$

que es una ecuación cuadrática simple, cuyas soluciones se encuentran fácilmente utilizando la fórmula cuadrática:

${\displaystyle z={\frac {-a_{2}\pm {\sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}}\,\!}$

Cuando lo hayamos resuelto (es decir, hayamos encontrado estos dos valores z ), podemos extraer x de ellos.

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

Si cualquiera de las soluciones z fueran números negativos o complejos, entonces algunas de las soluciones x son números complejos.

Ecuaciones cuasi-simétricas

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0\,}$

Pasos:

1. Dividir por x  ² .
2. Utilice el cambio de variable z = x + m / x .
3. Entonces, z  ² = x  ² + ( m / x )  ² + 2 m .

Esto conduce a:

${\displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle z^{2}+(a_{1}/a_{0})z+(a_{2}/a_{0}-2m)=0}$(una ecuación cuadrática en z = x + m / x )

Raíces múltiples

Si la ecuación de segundo grado tiene raíz doble , se puede hallar tomando el máximo común divisor del polinomio con su derivada. Luego se pueden dividir y resolver la ecuación de segundo grado resultante.

En general, sólo existen cuatro casos posibles de ecuaciones cuárticas con raíces múltiples, que se enumeran a continuación: ^[3]

1. Multiplicidad-4 (M4): cuando la ecuación general de segundo grado puede expresarse como , para algún número real . Este caso siempre puede reducirse a una ecuación bicuadrática. ${\displaystyle a(x-l)^{4}=0}$ ${\displaystyle l}$
2. Multiplicidad-3 (M3): cuando la ecuación general de cuarto grado se puede expresar como , donde  y  son un par de dos números reales diferentes. Este es el único caso que nunca se puede reducir a una ecuación bicuadrática. ${\displaystyle a(x-l)^{3}(x-m)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
3. Doble multiplicidad-2 (DM2): cuando la ecuación general de cuarto grado se puede expresar como , donde  y  son un par de dos números reales diferentes o un par de números complejos conjugados no reales. Este caso también se puede reducir siempre a una ecuación bicuadrática. ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)^{2}=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
4. Multiplicidad simple-2 (SM2): cuando la ecuación general de cuarto grado puede expresarse como , donde ,  y  son tres números reales diferentes o es un número real y  y son un par de números complejos conjugados no reales. Este caso se divide en dos subcasos, aquellos que pueden reducirse a una ecuación bicuadrática y aquellos en los que esto es imposible. ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)(x-n)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Así, si los tres coeficientes no mónicos de la ecuación cuártica deprimida, , en términos de los cinco coeficientes de la ecuación cuártica general se dan como sigue: ,  y , entonces los criterios para identificar a priori cada caso de ecuaciones cuárticas con raíces múltiples y sus respectivas soluciones se exponen a continuación. ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$ ${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$ ${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$ ${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$

• M4. La ecuación cuártica general corresponde a este caso siempre que , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera: . ${\displaystyle p=q=r=0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{\frac {b}{4a}}}$
• M3. La ecuación cuártica general corresponde a este caso siempre que y , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera:   y  , ya sea ; en caso contrario,   y  . ${\displaystyle p^{2}=-12r>0}$ ${\displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}>0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}={\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• DM2. La ecuación cuártica general corresponde a este caso siempre que , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera:  y . ${\displaystyle p^{2}=4r>0=q}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• SM2 bicuadrático. La ecuación cuártica general corresponde a este subcaso de las ecuaciones SM2 siempre que , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera: ,  y . ${\displaystyle p\neq q=r=0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{3}={\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$
• SM2 no bicuadrático. La ecuación cuártica general corresponde a este subcaso de las ecuaciones SM2 siempre que , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación están dadas por la siguiente fórmula: ^[4] , donde , y . ${\displaystyle (p^{2}+12r)^{3}=[p(p^{2}-36r)+{\frac {27}{2}}q^{2}]^{2}>0\neq {q}}$ ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\xi {\sqrt {s_{1}}}\pm {\sqrt {2{\biggl (}s_{2}-{\frac {\xi q}{\sqrt {s_{1}}}}{\biggr )}}}\right]-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle s_{1}={\frac {9q^{2}-32pr}{p^{2}+12r}}>0}$ ${\displaystyle s_{2}=-{\frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}\neq 0}$ ${\displaystyle \xi =\pm 1}$

El caso general

La fórmula cuártica.

Para comenzar, el cuartico primero debe convertirse en un cuartico deprimido .

Conversión a un cuartico deprimido

Dejar

sea ​​la ecuación general de cuarto grado que se desea resolver. Dividir ambos lados por A ,

${\displaystyle \ x^{4}+{B \over A}x^{3}+{C \over A}x^{2}+{D \over A}x+{E \over A}=0\ .}$

El primer paso, si B no es ya cero, debe ser eliminar el término x ³ . Para ello, cambie las variables de x a u , de modo que

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ .}$

Entonces

${\displaystyle \ \left(u-{B \over 4A}\right)^{4}+{B \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{3}+{C \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{2}+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Ampliando las potencias de los binomios se obtiene

${\displaystyle \ \left(u^{4}-{B \over A}u^{3}+{6u^{2}B^{2} \over 16A^{2}}-{4uB^{3} \over 64A^{3}}+{B^{4} \over 256A^{4}}\right)+{B \over A}\left(u^{3}-{3u^{2}B \over 4A}+{3uB^{2} \over 16A^{2}}-{B^{3} \over 64A^{3}}\right)+{C \over A}\left(u^{2}-{uB \over 2A}+{B^{2} \over 16A^{2}}\right)+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Recolectando las mismas potencias de u se obtiene

${\displaystyle \ u^{4}+\left({-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\right)u^{2}+\left({B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\right)u+\left({-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\right)=0\ .}$

Ahora renombra los coeficientes de u . Sea

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\ ,\\b&={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\ ,\\c&={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\ .\end{aligned}}}$

La ecuación resultante es

que es una ecuación cuártica deprimida .

Si tenemos entonces el caso especial de una ecuación bicuadrática, que se resuelve fácilmente, como se explicó anteriormente. Nótese que la solución general, dada a continuación, no funcionará para el caso especial . La ecuación debe resolverse como bicuadrática. ${\displaystyle \ b=0\ }$ ${\displaystyle \ b=0\ .}$

En cualquier caso, una vez que se resuelve el cuártico deprimido para u , sustituyendo esos valores en

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ }$

produce los valores de x que resuelven el cuartico original.

Resolver un problema cuártico deprimido cuandob≠ 0

Después de convertir a una ecuación cuártica deprimida

${\displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}$

y excluyendo el caso especial b = 0, que se resuelve como bicuadrático, asumimos de aquí en adelante que b ≠ 0 .

Separaremos los términos izquierda y derecha como

${\displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}$

y sumamos términos a ambos lados, lo que los convierte en cuadrados perfectos .

Sea y cualquier solución de esta ecuación cúbica :

${\displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{\tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0\ .}$

Entonces (ya que b ≠ 0)

${\displaystyle 2y-a\neq 0}$

Así que podemos dividir por ello, dando

${\displaystyle y^{2}-c={\frac {b^{2}}{4(2y-a)}}\ .}$

Entonces

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{\ 4(2y-a)\ }}=\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}\ .}$

Restando, obtenemos la diferencia de dos cuadrados que es el producto de la suma por la diferencia de sus raíces.

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}-\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}=\left(u^{2}+y+{\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)\left(u^{2}+y-{\sqrt {2y-a\ }}\,u+{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)=0}$

que se puede resolver aplicando la fórmula cuadrática a cada uno de los dos factores. Por lo tanto, los posibles valores de u son:

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$o

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ .}$

Si se utiliza otra y entre las tres raíces de la cúbica, simplemente se provoca que estos mismos cuatro valores de u aparezcan en un orden diferente. Las soluciones de la cúbica son:

${\displaystyle \ y={\frac {a}{6}}+w-{\frac {p}{3w}}\ }$

${\displaystyle \ w={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\ }}\ }}}$

Utilizando cualquiera de las tres posibles raíces cúbicas. Una estrategia inteligente es elegir el signo de la raíz cuadrada que haga que el valor absoluto de w sea lo más grande posible.

${\displaystyle \ p=-{\frac {a^{2}}{12}}-c\ ,}$

${\displaystyle \ q=-{\frac {a^{3}}{108}}+{\frac {ac}{3}}-{\frac {b^{2}}{8}}\ .}$

La solución de Ferrari

De lo contrario, la cuártica deprimida se puede resolver mediante un método descubierto por Lodovico Ferrari . Una vez obtenida la cuártica deprimida, el siguiente paso es agregar la identidad válida

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}-u^{4}-2au^{2}=a^{2}}$

a la ecuación ( 1 ), obteniendo

El efecto ha sido plegar el término u ⁴ en un cuadrado perfecto : ( u ²  + a) ² . El segundo término, au ^{2 ,} no ha desaparecido, pero su signo ha cambiado y se ha movido al lado derecho.

El siguiente paso es insertar una variable y en el cuadrado perfecto del lado izquierdo de la ecuación ( 2 ), y una 2 y correspondiente ^en el coeficiente de u2 del lado derecho. Para lograr estas inserciones, se agregarán las siguientes fórmulas válidas a la ecuación ( 2 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+a+y)^{2}-(u^{2}+a)^{2}&=2y(u^{2}+a)+y^{2}\ \ \\&=2yu^{2}+2ya+y^{2},\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle 0=(a+2y)u^{2}-2yu^{2}-au^{2}\,}$

Estas dos fórmulas, sumadas, producen

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}-\left(u^{2}+a\right)^{2}=\left(a+2y\right)u^{2}-au^{2}+2ya+y^{2}\qquad \qquad (y{\hbox{-insertion}})\,}$

que sumado a la ecuación ( 2 ) produce

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}+bu+c=\left(a+2y\right)u^{2}+\left(2ya+y^{2}+a^{2}\right).\,}$

Esto es equivalente a

El objetivo ahora es elegir un valor para y tal que el lado derecho de la ecuación ( 3 ) se convierta en un cuadrado perfecto. Esto se puede hacer haciendo que el discriminante de la función cuadrática se convierta en cero. Para explicar esto, primero desarrolle un cuadrado perfecto de modo que sea igual a una función cuadrática:

${\displaystyle \left(su+t\right)^{2}=\left(s^{2}\right)u^{2}+\left(2st\right)u+\left(t^{2}\right).\,}$

La función cuadrática del lado derecho tiene tres coeficientes. Se puede verificar que elevando al cuadrado el segundo coeficiente y luego restando cuatro veces el producto del primero y el tercero, se obtiene cero:

${\displaystyle \left(2st\right)^{2}-4\left(s^{2}\right)\left(t^{2}\right)=0.\,}$

Por lo tanto, para convertir el lado derecho de la ecuación ( 3 ) en un cuadrado perfecto, se debe resolver la siguiente ecuación:

${\displaystyle (-b)^{2}-4\left(2y+a\right)\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=0.\,}$

Multiplica el binomio por el polinomio,

${\displaystyle b^{2}-4\left(2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac\right)\right)=0\,}$

Divide ambos lados por −4 y mueve el − b ² /4 hacia la derecha.

${\displaystyle 2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0}$

Dividir ambos lados por 2,

Esta es una ecuación cúbica en y . Resuelva y utilizando cualquier método para resolver este tipo de ecuaciones (por ejemplo, conversión a una ecuación cúbica reducida y aplicación de la fórmula de Cardano). Cualquiera de las tres raíces posibles servirá.

Doblando el segundo cuadrado perfecto

Con el valor de y así seleccionado, ahora se sabe que el lado derecho de la ecuación ( 3 ) es un cuadrado perfecto de la forma

${\displaystyle \left(s^{2}\right)u^{2}+(2st)u+\left(t^{2}\right)=\left(\left({\sqrt {s^{2}}}\right)u+{(2st) \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}}$

(Esto es correcto para ambos signos de raíz cuadrada, siempre que se tome el mismo signo para ambas raíces cuadradas. Un ± es redundante, ya que sería absorbido por otro ± unas cuantas ecuaciones más abajo en esta página).

para que se pueda plegar:

${\displaystyle (a+2y)u^{2}+(-b)u+\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=\left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u+{(-b) \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)^{2}.}$

Nota: Si b ≠ 0 entonces a + 2 y ≠ 0. Si b = 0, entonces esta sería una ecuación bicuadrática, que resolvimos anteriormente.

Por lo tanto, la ecuación ( 3 ) se convierte en

La ecuación ( 5 ) tiene un par de cuadrados perfectos plegados, uno en cada lado de la ecuación. Los dos cuadrados perfectos se equilibran entre sí.

Si dos cuadrados son iguales, entonces los lados de los dos cuadrados también son iguales, como lo demuestra:

La recolección de poderes similares produce

Nota: El subíndice s de y sirve para indicar que son dependientes. ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \mp _{s}}$

La ecuación ( 6 ) es una ecuación cuadrática para u . Su solución es

${\displaystyle u={\frac {\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {(a+2y)-4\left(a+y\pm _{s}{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)}}}{2}}.}$

Simplificando, se obtiene

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over {\sqrt {a+2y}}}\right)}} \over 2}.}$

Esta es la solución de la ecuación cuártica deprimida, por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuártica original son

Recuerde: los dos provienen del mismo lugar en la ecuación ( 5' ), y ambos deben tener el mismo signo, mientras que el signo de es independiente. ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \pm _{t}}$

Resumen del método Ferrari

Dada la ecuación cuártica

${\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,\,}$

Su solución se puede encontrar mediante los siguientes cálculos:

${\displaystyle a=-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}$

${\displaystyle b={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}$

${\displaystyle c=-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}.}$

Si entonces ${\displaystyle \,b=0,}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-a\pm _{t}{\sqrt {a^{2}-4c}} \over 2}}\qquad {\mbox{(for }}b=0{\mbox{ only)}}.}$

De lo contrario, continúe con

${\displaystyle P=-{a^{2} \over 12}-c,}$

${\displaystyle Q=-{a^{3} \over 108}+{ac \over 3}-{b^{2} \over 8},}$

${\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}},}$

(cualquier signo de la raíz cuadrada servirá)

${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}},}$

(hay 3 raíces complejas, cualquiera de ellas servirá)

${\displaystyle y=-{5 \over 6}a+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad }$

${\displaystyle W={\sqrt {a+2y}}}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over W}\right)}} \over 2}.}$

Los dos ± _s deben tener el mismo signo, el ± _t es independiente. Para obtener todas las raíces, calcule x para ± _s ,± _t = +,+ y para +,−; y para −,+ y para −,−. Esta fórmula maneja raíces repetidas sin problema.

Ferrari fue el primero en descubrir una de estas soluciones laberínticas ^{[ cita requerida ]} . La ecuación que resolvió fue

${\displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0}$

que ya estaba en forma deprimida. Tiene un par de soluciones que se pueden encontrar con el conjunto de fórmulas que se muestran arriba.

Solución de Ferrari en el caso especial de coeficientes reales

Si los coeficientes de la ecuación cuártica son reales, entonces la ecuación cúbica deprimida anidada ( 5 ) también tiene coeficientes reales, por lo tanto tiene al menos una raíz real.

Además la función cúbica

${\displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}$

donde P y Q están dados por ( 5 ) tiene las propiedades que

${\displaystyle C\left({a \over 3}\right)={-b^{2} \over 8}<0}$y

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }C(v)=\infty ,}$donde a y b se dan por ( 1 ).

Esto significa que ( 5 ) tiene una raíz real mayor que , y por lo tanto que ( 4 ) tiene una raíz real mayor que . ${\displaystyle a \over 3}$ ${\displaystyle -a \over 2}$

Usando esta raíz el término en ( 8 ) es siempre real, lo que asegura que las dos ecuaciones cuadráticas ( 8 ) tienen coeficientes reales. ^[5] ${\displaystyle {\sqrt {a+2y}}}$

Obtener soluciones alternativas por el camino difícil

Podría suceder que uno solo obtuviera una solución a través de las fórmulas anteriores, porque no se prueban todos los cuatro patrones de signos para cuatro soluciones, y la solución obtenida es compleja . También puede darse el caso de que uno solo esté buscando una solución real. Sea x ₁ la solución compleja. Si todos los coeficientes originales A , B , C , D y E son reales, lo que debería ser el caso cuando uno desea solo soluciones reales, entonces hay otra solución compleja x ₂ que es el conjugado complejo de x ₁ . Si las otras dos raíces se denotan como x ₃ y x ₄ entonces la ecuación cuártica puede expresarse como

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,\,}$

pero esta ecuación cuártica es equivalente al producto de dos ecuaciones cuadráticas:

y

Desde

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\\&=x^{2}-2\operatorname {Re} (x_{1})x+[\operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[\operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.\end{aligned}}}$

Dejar

${\displaystyle a=-2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}}$

de modo que la ecuación ( 9 ) se convierte en

Además, sean variables (desconocidas) w y v tales que la ecuación ( 10 ) se convierte en

Multiplicando las ecuaciones ( 11 ) y ( 12 ) se obtiene

Comparando la ecuación ( 13 ) con la ecuación cuártica original, se puede ver que

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

y

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

Por lo tanto

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={\frac {E}{A\left(\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}\right)}}.}$

La ecuación ( 12 ) se puede resolver para x obteniendo

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

Una de estas dos soluciones debería ser la solución real deseada.

Métodos alternativos

Solución rápida y memorable desde los primeros principios.

La mayoría de las soluciones de los libros de texto de la ecuación de cuarto grado requieren una sustitución que es difícil de memorizar. Aquí hay un enfoque que facilita la comprensión. El trabajo está hecho si podemos factorizar la ecuación de cuarto grado en un producto de dos ecuaciones cuadráticas . Sea

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\\&=\left(x^{2}+px+q\right)\left(x^{2}+rx+s\right)\\&=x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+s+pr)x^{2}+(ps+qr)x+qs\end{aligned}}}$

Al igualar los coeficientes, se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=p+r\\c&=q+s+pr\\d&=ps+qr\\e&=qs\end{aligned}}}$

Esto es más difícil de resolver de lo que parece, pero si comenzamos nuevamente con un cuartico deprimido donde , que se puede obtener sustituyendo por , entonces , y: ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle (x-b/4)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r=-p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c+p^{2}&=s+q\\d/p&=s-q\\e&=sq\end{aligned}}}$

Ahora es fácil eliminar ambos haciendo lo siguiente: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(c+p^{2}\right)^{2}-(d/p)^{2}&=(s+q)^{2}-(s-q)^{2}\\&=4sq\\&=4e\end{aligned}}}$

Si establecemos , entonces esta ecuación se convierte en la ecuación cúbica : ${\displaystyle P=p^{2}}$

${\displaystyle P^{3}+2cP^{2}+\left(c^{2}-4e\right)P-d^{2}=0}$

que se resuelve en otro lugar. Una vez que tengas , entonces: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=-p\\2s&=c+p^{2}+d/p\\2q&=c+p^{2}-d/p\end{aligned}}}$

Las simetrías en esta solución son fáciles de ver. Hay tres raíces de la cúbica, que corresponden a las tres formas en que una cuártica puede factorizarse en dos cuadráticas, y elegir valores positivos o negativos de para la raíz cuadrada de simplemente intercambia las dos cuadráticas entre sí. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$

Teoría de Galois y factorización

El grupo simétrico S ₄ de cuatro elementos tiene como subgrupo normal el cuatrigrupo de Klein . Esto sugiere utilizar un resolvente cuyas raíces pueden describirse de diversas maneras como una transformada de Fourier discreta o una transformada matricial de Hadamard de las raíces. Supongamos que r _i para i de 0 a 3 son raíces de

${\displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad (1)}$

Si ahora establecemos

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\\s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\\s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\\s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),\end{aligned}}}$

Entonces, como la transformación es una involución , podemos expresar las raíces en términos de los cuatro s _i exactamente de la misma manera. Como conocemos el valor s ₀ = − b /2, en realidad solo necesitamos los valores de s ₁ , s ₂ y s ₃ . Podemos encontrarlos desarrollando el polinomio

${\displaystyle \left(z^{2}-s_{1}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{2}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{3}^{2}\right)\qquad (2)}$

que si hacemos la suposición simplificada de que b  = 0, es igual a

${\displaystyle z^{6}+2cz^{4}+\left(c^{2}-4e\right)z^{2}-d^{2}\qquad (3)}$

Este polinomio es de grado seis, pero sólo de grado tres en z ² , por lo que la ecuación correspondiente es solucionable. Mediante tanteo podemos determinar cuáles son las tres raíces correctas y, por lo tanto, encontrar las soluciones del cuártico.

Podemos eliminar cualquier requisito de prueba utilizando una raíz del mismo polinomio resolutivo para factorizar; si w es cualquier raíz de (3), y si

${\displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}-{\frac {cw^{3}}{d}}+2{\frac {ew}{d}}}$

${\displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}+{\frac {cw^{3}}{d}}-2{\frac {ew}{d}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}}$

entonces

${\displaystyle F_{1}F_{2}=x^{4}+cx^{2}+dx+e\qquad \qquad (4)}$

Por lo tanto, podemos resolver la ecuación cuártica resolviendo w y luego resolviendo las raíces de los dos factores usando la fórmula cuadrática.

Métodos aproximados

Los métodos descritos anteriormente son, en principio, métodos exactos de búsqueda de raíces. También es posible utilizar métodos de aproximación sucesiva que convergen iterativamente hacia las raíces, como el método de Durand-Kerner . Los métodos iterativos son los únicos disponibles para ecuaciones de quinto grado y de orden superior, más allá de casos triviales o especiales.

Véase también

• Ecuación lineal
• Ecuación cuadrática
• Ecuación cúbica
• Ecuación quíntica
• Polinomio
• El método de Newton

Referencias

• El logro de Ferrari
• Fórmula cuartica como cuatro ecuaciones simples en PlanetMath .

Notas

1. "Ludovico Ferrari".
2. Stewart, Ian, Teoría de Galois, tercera edición (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
3. Chávez-Pichardo, Mauricio; Martínez-Cruz, Miguel A.; Trejo-Martínez, Alfredo; Martínez-Carbajal, Daniel; Arenas-Resendiz, Tanya (julio de 2022). "Una revisión completa de la ecuación cuártica general con coeficientes reales y raíces múltiples". Matemáticas . 10 (14): 2377. doi : 10.3390/math10142377 . ISSN  2227-7390.
4. Chávez-Pichardo, Mauricio; Martínez-Cruz, Miguel A.; Trejo-Martínez, Alfredo; Vega-Cruz, Ana Beatriz; Arenas-Resendiz, Tanya (marzo de 2023). "Sobre la practicidad de las soluciones analíticas para todas las ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado con coeficientes reales". Matemáticas . 11 (6): 1447. doi : 10.3390/math11061447 . ISSN  2227-7390.
5. Carstensen, Jens, Komplekse tal, primera edición , (Systime 1981), ISBN 87-87454-71-8 . (en danés) 

Enlaces externos

• Calculadora para resolver ecuaciones cuárticas