En geometría , un mosaico pentagonal es un mosaico del plano donde cada pieza individual tiene la forma de un pentágono .
Un mosaico pentagonal regular en el plano euclidiano es imposible porque el ángulo interno de un pentágono regular , 108°, no es divisor de 360°, la medida del ángulo de una vuelta entera . Sin embargo, los pentágonos regulares pueden mosaico el plano hiperbólico con cuatro pentágonos alrededor de cada vértice ( o más ) y la esfera con tres pentágonos ; este último produce un mosaico que es topológicamente equivalente al dodecaedro . [1]
Se conocen quince tipos de pentágonos convexos que recubren el plano monoédricamente (es decir, con un tipo de mosaico). [2] El más reciente se descubrió en 2015. Rao (2017) ha demostrado que esta lista está completa (resultado sujeto a revisión por pares). Bagina (2011) demostró que solo existen ocho tipos convexos de borde a borde , resultado obtenido de forma independiente por Sugimoto (2012).
Michaël Rao, de la École normale supérieure de Lyon , afirmó en mayo de 2017 haber encontrado la prueba de que, de hecho, no existen pentágonos convexos que superpongan estos 15 tipos. [3] Hasta el 11 de julio de 2017, la primera mitad de la prueba de Rao había sido verificada de forma independiente (código de computadora disponible [4] ) por Thomas Hales, profesor de matemáticas en la Universidad de Pittsburgh. [5] En diciembre de 2017, la prueba aún no había sido revisada por pares en su totalidad.
Cada familia de mosaicos enumerada contiene pentágonos que no pertenecen a ningún otro tipo; sin embargo, algunos pentágonos individuales pueden pertenecer a varios tipos. Además, algunos de los pentágonos de los tipos de mosaicos conocidos también permiten patrones de mosaicos alternativos más allá del mosaico estándar exhibido por todos los miembros de su tipo.
Los lados de longitud a , b , c , d , e están directamente en el sentido de las agujas del reloj desde los ángulos en los vértices A , B , C , D , E respectivamente. (Por lo tanto, A , B , C , D , E son opuestos a d , e , a , b , c respectivamente.)
Muchos de estos tipos de mosaicos monoédricos tienen grados de libertad. Estas libertades incluyen variaciones de ángulos internos y longitudes de bordes. En el límite, los bordes pueden tener longitudes cercanas a cero o ángulos cercanos a 180°. Los tipos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 13 permiten posibilidades paramétricas con prototipos no convexos.
Los mosaicos periódicos se caracterizan por la simetría del grupo de papel tapiz ; por ejemplo, p2 (2222) está definido por cuatro puntos de giro dobles. Esta nomenclatura se utiliza en los diagramas siguientes, donde las baldosas también están coloreadas según sus posiciones k -isoédricas dentro de la simetría.
Una unidad primitiva es una sección del mosaico que genera el mosaico completo utilizando solo traslaciones y es lo más pequeña posible.
Reinhardt (1918) encontró los primeros cinco tipos de tejas pentagonales. Los cinco pueden crear mosaicos isédricos , lo que significa que las simetrías del mosaico pueden llevar cualquier mosaico a cualquier otro mosaico (más formalmente, el grupo de automorfismo actúa transitivamente sobre los mosaicos).
B. Grünbaum y GC Shephard han demostrado que existen exactamente veinticuatro "tipos" distintos de teselaciones isoédricas del plano por pentágonos según su esquema de clasificación. [6] Todos utilizan mosaicos de Reinhardt, generalmente con condiciones adicionales necesarias para el mosaico. Hay dos mosaicos para todos los mosaicos de tipo 2 y uno para cada uno de los otros cuatro tipos. Quince de los otros dieciocho mosaicos corresponden a casos especiales de mosaicos de tipo 1. Nueve de los veinticuatro mosaicos están de borde a borde. [7]
También hay mosaicos biisoédricos para casos especiales de mosaicos tipo 1, tipo 2 y tipo 4, y mosaicos triisoédricos, todos de borde a borde, para casos especiales de mosaicos tipo 1. No existe un límite superior en k para los mosaicos k-isoédricos de ciertos mosaicos que son tanto de tipo 1 como de tipo 2 y, por lo tanto, tampoco existe un límite superior para el número de mosaicos en una unidad primitiva.
Se proporciona la simetría del grupo de papel tapiz para cada mosaico, con notación orbifold entre paréntesis. Se proporciona un segundo grupo de simetría inferior si existe quiralidad del mosaico , donde las imágenes especulares se consideran distintas. En esos casos, estos se muestran como mosaicos amarillos y verdes.
Hay muchas topologías de mosaico que contienen pentágonos de tipo 1. A continuación se ofrecen cinco topologías de ejemplo.
Estos ejemplos de tipo 2 son isoédricos. La segunda es una variación de borde a borde. Ambos tienen simetría pgg (22×). Si los mosaicos de imagen especular (amarillo y verde) se consideran distintos, la simetría es p2 (2222).
Kershner (1968) encontró tres tipos más de tejas pentagonales, con lo que el total asciende a ocho. Afirmó incorrectamente que esta era la lista completa de pentágonos que pueden colocar mosaicos en el avión.
Estos ejemplos son 2-isoédricos y de borde a borde. Los tipos 7 y 8 tienen pares quirales de mosaicos, que están coloreados como pares en amarillo verdoso y el otro como dos tonos de azul. La simetría pgg se reduce a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos.
En 1975, Richard E. James III encontró un noveno tipo, después de leer acerca de los resultados de Kershner en la columna " Mathematical Games " de Martin Gardner en la revista Scientific American de julio de 1975 (reimpresa en Gardner (1988)). [8] Está indexado como tipo 10. El mosaico es triisoédrico y no de borde a borde.
Marjorie Rice , una matemática aficionada, descubrió cuatro nuevos tipos de pentágonos teselado en 1976 y 1977. [7] [9]
Los cuatro mosaicos son 2-isoédricos. Los pares quirales de mosaicos están coloreados en amarillo y verde para un conjunto isoédrico y en dos tonos de azul para el otro conjunto. La simetría pgg se reduce a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos.
El alicatado de baldosas tipo 9 es de borde a borde, pero el resto no.
Cada unidad primitiva contiene ocho fichas.
Rolf Stein encontró un tipo de pentágono convexo decimocuarto en 1985. [10]
El mosaico es triisoédrico y no de borde a borde. Tiene mosaicos completamente determinados, sin grados de libertad. Las proporciones exactas están especificadas por y el ángulo B obtuso con . Se pueden deducir fácilmente otras relaciones.
Las unidades primitivas contienen seis fichas respectivamente. Tiene simetría p2 (2222).
Los matemáticos Bothell de la Universidad de Washington Casey Mann , Jennifer McLoud-Mann y David Von Derau descubrieron un decimoquinto pentágono convexo en mosaico monoédrico en 2015 utilizando un algoritmo informático . [11] [12] Es triisoédrico y no de borde a borde, dibujado con 6 colores, 2 tonos de 3 colores, que representan pares quirales de las tres posiciones isoédricas. La simetría pgg se reduce a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos. Tiene mosaicos completamente determinados, sin grados de libertad. Las unidades primitivas contienen doce fichas. Tiene simetría pgg (22 ×) y p2 (2222) si los pares quirales se consideran distintos.
En julio de 2017, Michaël Rao completó una prueba asistida por computadora que muestra que no existen otros tipos de pentágonos convexos que puedan formar mosaicos en el plano. La lista completa de polígonos convexos que pueden formar mosaicos en el plano incluye los 15 pentágonos anteriores, tres tipos de hexágonos y todos los cuadriláteros y triángulos. [5] Una consecuencia de esta prueba es que no existe ningún polígono convexo que mosaico el plano sólo de forma aperiódica, ya que todos los tipos anteriores permiten un mosaico periódico.
También se pueden construir mosaicos pentagonales monoédricos no periódicos, como el siguiente ejemplo con simetría rotacional de 6 veces de Michael Hirschhorn. Los ángulos son A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°. [13] [14]
En 2016, Bernhard Klaassen pudo demostrar que cada tipo de simetría rotacional discreta puede representarse mediante un mosaico pentagonal monoédrico de la misma clase de pentágonos. [15] A continuación se muestran ejemplos de simetría de 5 y 7 veces. Tales mosaicos son posibles para cualquier tipo de simetría rotacional n veces con n >2.
Hay tres mosaicos pentagonales isoédricos generados como duales de los mosaicos uniformes , aquellos con vértices de 5 valencias. Representan casos especiales de simetría superior de los 15 mosaicos monoédricos anteriores. Los mosaicos uniformes y sus duales están todos de borde a borde. Estos mosaicos duales también se denominan mosaicos Laves . La simetría de los mosaicos duales uniformes es la misma que la de los mosaicos uniformes. Debido a que los mosaicos uniformes son isogonales , los duales son isoédricos .
Los mosaicos k -uniformes con vértices de valencia-5 también tienen mosaicos duales pentagonales, que contienen los mismos pentágonos de tres formas que los duales semirregulares anteriores, pero contienen una mezcla de tipos pentagonales. Un mosaico k -uniforme tiene un mosaico dual k -isoédrico y está representado por diferentes colores y tonos de colores a continuación.
Por ejemplo, estos duales de 2, 3, 4 y 5 uniformes son todos pentagonales: [18] [19]
Los pentágonos tienen una relación peculiar con los hexágonos. Como se demuestra gráficamente a continuación, algunos tipos de hexágonos se pueden subdividir en pentágonos. Por ejemplo, un hexágono regular se bisecta en dos pentágonos tipo 1. La subdivisión de hexágonos convexos también es posible con tres (tipo 3), cuatro (tipo 4) y nueve (tipo 3) pentágonos.
Por extensión de esta relación, un plano puede ser teselado por una única forma de prototilo pentagonal de manera que genere superposiciones hexagonales. Por ejemplo:
Con pentágonos que no necesitan ser convexos , son posibles tipos adicionales de mosaicos. Un ejemplo es el mosaico de la esfinge , un mosaico aperiódico formado por un mosaico de reptiles pentagonal . [20] La esfinge también puede colocar mosaicos en el plano periódicamente, colocando dos mosaicos de esfinge juntos para formar un paralelogramo y luego colocando mosaicos en el plano mediante traslaciones de este paralelogramo, [20] un patrón que se puede extender a cualquier pentágono no convexo que tenga dos ángulos consecutivos que suman 2 π .
Es posible dividir un triángulo equilátero en tres pentágonos no convexos congruentes, que se encuentran en el centro del triángulo, y revestir el plano con la unidad de tres pentágonos resultante. [21] Se puede utilizar un método similar para subdividir cuadrados en cuatro pentágonos no convexos congruentes, o hexágonos regulares en seis pentágonos no convexos congruentes, y luego mosaico el plano con la unidad resultante.
Un dodecaedro puede considerarse un mosaico regular de 12 pentágonos sobre la superficie de una esfera , con símbolo de Schläfli {5,3}, teniendo tres pentágonos alrededor de cada vértice.
En el plano hiperbólico , hay mosaicos de pentágonos regulares, por ejemplo, mosaicos pentagonales de orden 4 , {5,4}, que tienen cuatro pentágonos alrededor de cada vértice. Se pueden construir mosaicos regulares de orden superior {5,n} en el plano hiperbólico, que terminan en {5,∞}.
Hay un número infinito de mosaicos duales uniformes en un plano hiperbólico con caras pentagonales irregulares isogonales. Tienen configuraciones de cara como V3.3. pág.3 . q .
Una versión del mosaico binario , con sus mosaicos delimitados por segmentos de línea hiperbólicos en lugar de arcos de horociclos , forma mosaicos pentagonales que deben ser no periódicos, en el sentido de que sus grupos de simetría pueden ser unidimensionales pero no bidimensionales. [22]
