En geometría hiperbólica , un mosaico hiperbólico uniforme (o mosaico hiperbólico regular, cuasirregular o semirregular) es un relleno de borde a borde del plano hiperbólico que tiene polígonos regulares como caras y es transitivo en sus vértices ( transitivo en sus vértices , isogonal, es decir, hay una isometría que asigna cualquier vértice a cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son congruentes y el mosaico tiene un alto grado de simetría rotacional y traslacional .
Los mosaicos uniformes se pueden identificar por su configuración de vértices , una secuencia de números que representa la cantidad de lados de los polígonos alrededor de cada vértice. Por ejemplo, 7.7.7 representa el mosaico heptagonal que tiene 3 heptágonos alrededor de cada vértice. También es regular ya que todos los polígonos tienen el mismo tamaño, por lo que también se le puede dar el símbolo de Schläfli {7,3}.
Los mosaicos uniformes pueden ser regulares (si también son transitivos por las caras y las aristas), cuasiregulares (si son transitivos por las aristas pero no por las caras) o semirregulares (si no son transitivos por las aristas ni por las caras). Para los triángulos rectángulos ( p q 2 ), hay dos mosaicos regulares, representados por los símbolos de Schläfli { p , q } y { q , p }.
Hay un número infinito de teselados uniformes basados en los triángulos de Schwarz ( pqr ) donde 1/pag + 1/q + 1/a < 1, donde p , q y r son cada uno órdenes de simetría de reflexión en tres puntos del triángulo del dominio fundamental : el grupo de simetría es un grupo de triángulos hiperbólicos .
Cada familia de simetría contiene 7 teselas uniformes, definidas por un símbolo de Wythoff o un diagrama de Coxeter-Dynkin , 7 de las cuales representan combinaciones de 3 espejos activos. Una octava representa una operación de alternancia , que elimina vértices alternativos de la forma más alta con todos los espejos activos.
Las familias con r = 2 contienen teselaciones hiperbólicas regulares , definidas por un grupo de Coxeter como [7,3], [8,3], [9,3], ... [5,4], [6,4], ....
Las familias hiperbólicas con r = 3 o mayor se dan por ( pqr ) e incluyen (4 3 3), (5 3 3), (6 3 3) ... (4 4 3), (5 4 3), ... (4 4 4)....
Los triángulos hiperbólicos ( pqr ) definen teselas hiperbólicas uniformes y compactas. En el límite, cualquiera de p , q o r puede reemplazarse por ∞, lo que define un triángulo hiperbólico paracompacto y crea teselas uniformes con infinitas caras (llamadas apeirógonos ) que convergen a un único punto ideal, o figuras de vértices infinitas con infinitas aristas que divergen del mismo punto ideal.
Se pueden construir más familias de simetría a partir de dominios fundamentales que no sean triángulos.
A continuación se muestran familias seleccionadas de teselados uniformes (utilizando el modelo de disco de Poincaré para el plano hiperbólico). Tres de ellas (7 3 2), (5 4 2) y (4 3 3) y ninguna otra, son mínimas en el sentido de que si cualquiera de sus números definitorios se reemplaza por un entero menor, el patrón resultante es euclidiano o esférico en lugar de hiperbólico; a la inversa, cualquiera de los números se puede aumentar (incluso hasta el infinito) para generar otros patrones hiperbólicos.
Cada mosaico uniforme genera un mosaico uniforme dual , muchos de los cuales también se detallan a continuación.
Existen infinitas familias de grupos de triángulos ( pq 2 ) . Este artículo muestra la teselación regular hasta p , q = 8, y las teselación uniforme en 12 familias: (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2), (8 4 2), (5 5 2), (6 5 2) (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) y (8 8 2).
El conjunto más simple de teselas hiperbólicas son las teselas regulares { p , q }, que existen en una matriz con los poliedros regulares y las teselas euclidianas. La tesela regular { p , q } tiene una tesela dual { q , p } a lo largo del eje diagonal de la tabla. Las teselas autoduales {2,2}, {3,3} , {4,4} , {5,5} , etc. pasan por la diagonal de la tabla.
El grupo de triángulos (7 3 2) , grupo de Coxeter [7,3], orbifold (*732) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos (8 3 2) , grupo de Coxeter [8,3], orbifold (*832) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos (5 4 2) , grupo de Coxeter [5,4], orbifold (*542) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos (6 4 2) , grupo de Coxeter [6,4], orbifold (*642) contiene estos teselados uniformes. Como todos los elementos son pares, cada teselado uniforme dual representa el dominio fundamental de una simetría reflexiva: *3333, *662, *3232, *443, *222222, *3222 y *642 respectivamente. Además, los 7 teselados uniformes se pueden alternar y estos también tienen duales.
El grupo de triángulos (7 4 2) , grupo de Coxeter [7,4], orbifold (*742) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos (8 4 2) , grupo de Coxeter [8,4], orbifold (*842) contiene estos teselados uniformes. Como todos los elementos son pares, cada teselado uniforme dual representa el dominio fundamental de una simetría reflexiva: *4444, *882, *4242, *444, *22222222, *4222 y *842 respectivamente. Además, los 7 teselados uniformes se pueden alternar y estos también tienen duales.
El grupo de triángulos (5 5 2) , grupo de Coxeter [5,5], orbifold (*552) contiene estos teselados uniformes:
El grupo de triángulos (6 5 2) , grupo de Coxeter [6,5], orbifold (*652) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos (6 6 2) , grupo de Coxeter [6,6], orbifold (*662) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos (8 6 2) , grupo de Coxeter [8,6], orbifold (*862) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos (7 7 2) , grupo de Coxeter [7,7], orbifold (*772) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos (8 8 2) , grupo de Coxeter [8,8], orbifold (*882) contiene estas teselaciones uniformes:
Existen infinitas familias de grupos de triángulos generales ( pqr ). Este artículo muestra teselación uniforme en 9 familias: (4 3 3), (4 4 3), (4 4 4), (5 3 3), (5 4 3), (5 4 4), (6 3 3), (6 4 3) y (6 4 4).
El grupo de triángulos (4 3 3) , grupo de Coxeter [(4,3,3)], orbifold (*433) contiene estos teselados uniformes. Sin ángulos rectos en el triángulo fundamental, las construcciones de Wythoff son ligeramente diferentes. Por ejemplo, en la familia de triángulos (4,3,3) , la forma romada tiene seis polígonos alrededor de un vértice y su dual tiene hexágonos en lugar de pentágonos. En general, la figura del vértice de un teselado romado en un triángulo ( p , q , r ) es p. 3.q.3.r.3, siendo 4.3.3.3.3.3 en este caso a continuación.
El grupo de triángulos (4 4 3) , grupo de Coxeter [(4,4,3)], orbifold (*443) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos (4 4 4) , grupo de Coxeter [(4,4,4)], orbifold (*444) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos (5 3 3) , grupo de Coxeter [(5,3,3)], orbifold (*533) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos (5 4 3) , grupo de Coxeter [(5,4,3)], orbifold (*543) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos (5 4 4) , grupo de Coxeter [(5,4,4)], orbifold (*544) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos (6 3 3) , grupo de Coxeter [(6,3,3)], orbifold (*633) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos (6 4 3) , grupo de Coxeter [(6,4,3)], orbifold (*643) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos (6 4 4) , grupo de Coxeter [(6,4,4)], orbifold (*644) contiene estas teselaciones uniformes.
Para una tabla de todos los teselados hiperbólicos uniformes con dominios fundamentales ( pqr ), donde 2 ≤ p , q , r ≤ 8.
Los dominios fundamentales cuadriláteros también existen en el plano hiperbólico, con el orbifold *3222 (notación de Coxeter [∞,3,∞]) como la familia más pequeña. Hay 9 lugares de generación para el teselado uniforme dentro de los dominios cuadriláteros. La figura de vértice se puede extraer de un dominio fundamental como 3 casos (1) Esquina (2) Arista media y (3) Centro. Cuando los puntos generadores son esquinas adyacentes a esquinas de orden 2, existen caras digonas degeneradas {2} en esas esquinas, pero se pueden ignorar. También se pueden generar teselados uniformes alternados y romos (no se muestra) si una figura de vértice contiene solo caras de lados pares.
Los diagramas de Coxeter de dominios cuadriláteros se tratan como un gráfico tetraédrico degenerado con 2 de 6 aristas etiquetadas como infinito o como líneas de puntos. Un requisito lógico de que al menos uno de los dos espejos paralelos esté activo limita los casos uniformes a 9, y otros patrones en anillo no son válidos.
Existen infinitas familias de grupos de triángulos, incluidos infinitos órdenes. Este artículo muestra teselación uniforme en 9 familias: (∞ 3 2), (∞ 4 2), (∞ ∞ 2), (∞ 3 3), (∞ 4 3), (∞ 4 4), (∞ ∞ 3), (∞ ∞ 4) y (∞ ∞ ∞).
El grupo de triángulos ideal (∞ 3 2) , grupo de Coxeter [∞,3], orbifold (*∞32) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ 4 2) , grupo de Coxeter [∞,4], orbifold (*∞42) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ 5 2) , grupo de Coxeter [∞,5], orbifold (*∞52) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ ∞ 2) , grupo de Coxeter [∞,∞], orbifold (*∞∞2) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ 3 3) , grupo de Coxeter [(∞,3,3)], orbifold (*∞33) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos ideal (∞ 4 3) , grupo de Coxeter [(∞,4,3)], orbifold (*∞43) contiene estas teselaciones uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ 4 4) , grupo de Coxeter [(∞,4,4)], orbifold (*∞44) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos ideal (∞ ∞ 3) , grupo de Coxeter [(∞,∞,3)], orbifold (*∞∞3) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos ideal (∞ ∞ 4) , grupo de Coxeter [(∞,∞,4)], orbifold (*∞∞4) contiene estas teselaciones uniformes.
El grupo de triángulos ideal (∞ ∞ ∞) , grupo de Coxeter [(∞,∞,∞)], orbifold (*∞∞∞) contiene estas teselaciones uniformes.
Para una tabla de todos los teselados hiperbólicos uniformes con dominios fundamentales ( pqr ), donde 2 ≤ p , q , r ≤ 8 y uno o más como ∞.