Medida de momento

En probabilidad y estadística , una medida de momento es una cantidad matemática , función o, más precisamente, medida que se define en relación con objetos matemáticos conocidos como procesos puntuales , que son tipos de procesos estocásticos que se utilizan a menudo como modelos matemáticos de fenómenos físicos representables como puntos posicionados aleatoriamente en el tiempo , el espacio o ambos. Las medidas de momento generalizan la idea de momentos (brutos) de variables aleatorias , por lo que surgen a menudo en el estudio de procesos puntuales y campos relacionados. ^[1]

Un ejemplo de una medida de momento es la primera medida de momento de un proceso puntual, a menudo llamada medida media o medida de intensidad , que da el número esperado o promedio de puntos del proceso puntual ubicados en alguna región del espacio. ^[2] En otras palabras, si el número de puntos de un proceso puntual ubicado en alguna región del espacio es una variable aleatoria, entonces la primera medida de momento corresponde al primer momento de esta variable aleatoria. ^[3]

Las medidas de momento ocupan un lugar destacado en el estudio de procesos puntuales ^{[1] [4] [5]} así como en los campos relacionados de la geometría estocástica ^[3] y las estadísticas espaciales ^{[5] [6]} cuyas aplicaciones se encuentran en numerosas disciplinas científicas y de ingeniería como la biología , la geología , la física y las telecomunicaciones . ^{[3] [4] [7]}

Notación de proceso de puntos

Los procesos puntuales son objetos matemáticos que se definen en un espacio matemático subyacente . Dado que estos procesos se utilizan a menudo para representar conjuntos de puntos dispersos aleatoriamente en el espacio físico, el tiempo o ambos, el espacio subyacente suele ser un espacio euclidiano de dimensión d , denotado aquí por , pero pueden definirse en espacios matemáticos más abstractos . ^[1] ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

Los procesos puntuales tienen varias interpretaciones, lo que se refleja en los distintos tipos de notación de procesos puntuales . ^{[3] [7]} Por ejemplo, si un punto pertenece o es miembro de un proceso puntual, denotado por , entonces esto se puede escribir como: ^[3] ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

y representa el proceso puntual que se interpreta como un conjunto aleatorio . Alternativamente, el número de puntos de ubicados en algún conjunto de Borel se escribe a menudo como: ^{[2] [3] [6]} ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

que refleja una interpretación de medida aleatoria para procesos puntuales. Estas dos notaciones se utilizan a menudo en paralelo o de forma intercambiable. ^{[2] [3] [6]}

Definiciones

norte-ésima potencia de un proceso puntual

Para algún entero , la potencia -ésima de un proceso puntual se define como: ^[2] ${\displaystyle \textstyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle {N}^{n}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}{N}(B_{i})}$

donde es una colección de conjuntos de Borel no necesariamente disjuntos (en ), que forman un producto cartesiano de conjuntos denotado por . El símbolo denota la multiplicación estándar . ${\displaystyle \textstyle B_{1},...,B_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \Pi }$

La notación refleja la interpretación del proceso puntual como una medida aleatoria. ^[3] ${\displaystyle \textstyle {N}(B_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

La potencia -ésima de un proceso puntual se puede definir de manera equivalente como: ^[3] ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle {N}^{n}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})}$

donde la suma se realiza sobre todas las - tuplas de puntos (posiblemente repetidos), y denota una función indicadora tal que es una medida de Dirac . Esta definición puede contrastarse con la definición de la potencia n -factorial de un proceso de puntos para el cual cada n - tuplas consta de n puntos distintos. ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}}$

norte-ésima medida del momento

La medida del momento -ésimo se define como: ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=E[{N}^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})],}$

donde E denota la expectativa ( operador ) del proceso puntual . En otras palabras, la medida del momento n -ésimo es la expectativa de la potencia n -ésima de algún proceso puntual. ${\displaystyle \textstyle {N}}$

La medida del momento n de un proceso puntual se define de manera equivalente ^[3] como: ${\displaystyle \textstyle n\,}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\dots ,x_{n})M^{n}(dx_{1},\dots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in {N}}f(x_{1},\dots ,x_{n})\right],}$

donde es cualquier función medible no negativa en y la suma es sobre - tuplas de puntos para los que se permite la repetición. ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{nd}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

Medida del primer momento

Para algún conjunto de Borel B , el primer momento de un proceso puntual N es:

${\displaystyle M^{1}(B)=E[{N}(B)],}$

donde se conoce, entre otros términos, como medida de intensidad ^[3] o medida media , ^[8] y se interpreta como el número esperado o promedio de puntos de encontrados o ubicados en el conjunto . ${\displaystyle \textstyle M^{1}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

Medida del segundo momento

La segunda medida del momento para dos conjuntos de Borel es : ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{2}(A\times B)=E[{N}(A){N}(B)],}$

que para un solo conjunto de Borel se convierte en ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=(E[{N}(B)])^{2}+{\text{Var}}[{N}(B)],}$

donde denota la varianza de la variable aleatoria . ${\displaystyle \textstyle {\text{Var}}[{N}(B)]}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$

El término de varianza anterior alude a cómo las medidas de momentos, como los momentos de variables aleatorias, pueden usarse para calcular cantidades como la varianza de procesos puntuales. Otro ejemplo es la covarianza de un proceso puntual para dos conjuntos de Borel y , que viene dada por: ^[2] ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle {\text{Cov}}[{N}(A),{N}(B)]=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A)M^{1}(B)}$

Ejemplo: Proceso de puntos de Poisson

Para un proceso puntual de Poisson general con medida de intensidad, la primera medida del momento es: ^[2] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

lo que para un proceso puntual de Poisson homogéneo con intensidad constante significa: ${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

donde es la longitud, área o volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de . ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

Para el caso de Poisson con medida, la segunda medida del momento definida en el conjunto del producto es: ^[5] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle (B\times B)}$

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=\Lambda (B)+\Lambda (B)^{2}.}$

que en el caso homogéneo se reduce a

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=\lambda |B|+(\lambda |B|)^{2}.}$

Véase también

• Momento factorial
• Medida del momento factorial
• Momento

Referencias

1. DJ Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de procesos puntuales. Vol. {II }. Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2008.
2. F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, volumen I – Teoría , volumen 3, n.º 3-4 de Fundamentos y tendencias en redes . NoW Publishers, 2009.
3. D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke y L. Ruschendorf. Geometría estocástica y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley Chichester, 1995.
4. DJ Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de procesos puntuales. Vol. I. Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2003.
5. A. Baddeley, I. Bárány y R. Schneider. Procesos puntuales espaciales y sus aplicaciones. Geometría estocástica: conferencias dictadas en la Escuela de verano del CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004 , páginas 1-75, 2007.
6. J. Moller y RP Waagepetersen. Inferencia estadística y simulación para procesos puntuales espaciales . CRC Press, 2003.
7. F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, volumen II – Aplicaciones , volumen 4, n.º 1-2 de Fundamentos y tendencias en redes . NoW Publishers, 2009.
8. JFC Kingman. Procesos de Poisson , volumen 3. Oxford University Press, 1992.