Medida aleatoria

En la teoría de la probabilidad , una medida aleatoria es un elemento aleatorio con valor de medida . ^{[1] [2]} Las medidas aleatorias se utilizan, por ejemplo, en la teoría de procesos aleatorios , donde forman muchos procesos puntuales importantes , como los procesos puntuales de Poisson y los procesos de Cox .

Definición

Las medidas aleatorias se pueden definir como núcleos de transición o como elementos aleatorios . Ambas definiciones son equivalentes. Para las definiciones, sea un espacio métrico completo separable y sea su álgebra de Borel . (El ejemplo más común de un espacio métrico completo separable es ) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Como núcleo de transición

Una medida aleatoria es un núcleo de transición localmente finito desde un espacio de probabilidad abstracto a . ^[3] ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Ser un núcleo de transición significa que

• Para cualquier fijo , el mapeo ${\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}}$

${\displaystyle \omega \mapsto \zeta (\omega ,B)}$

es medible de a ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

• Para cada fijo , el mapeo ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})}$

es una medida sobre ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Ser localmente finito significa que las medidas

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)}$

satisfacer para todos los conjuntos mensurables acotados y para todos excepto algunos - conjunto nulo ${\displaystyle \zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty }$ ${\displaystyle {\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle P}$

En el contexto de los procesos estocásticos existe el concepto relacionado de núcleo estocástico, núcleo de probabilidad o núcleo de Markov .

Como elemento aleatorio

Definir

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ is measure on }}(E,{\mathcal {E}})\}}$

y el subconjunto de medidas localmente finitas por

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ for all bounded measurable }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}}$

Para todos los valores medibles acotados , defina las asignaciones ${\displaystyle {\tilde {B}}}$

${\displaystyle I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})}$

de a . Sea la -álgebra inducida por las aplicaciones en y la -álgebra inducida por las aplicaciones en . Nótese que . ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M} }$

Una medida aleatoria es un elemento aleatorio de a que casi con seguridad toma valores en ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle ({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\mathbb {M} )}$

Conceptos básicos relacionados

Medida de intensidad

Para una medida aleatoria , la medida que satisface ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}$

Para cada función medible positiva se denomina medida de intensidad de . La medida de intensidad existe para cada medida aleatoria y es una medida s-finita . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \zeta }$

Medida de apoyo

Para una medida aleatoria , la medida que satisface ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}$

Para todas las funciones medibles positivas se denomina medida de apoyo de . La medida de apoyo existe para todas las medidas aleatorias y puede elegirse que sea finita. ${\displaystyle \zeta }$

Transformada de Laplace

Para una medida aleatoria , la transformada de Laplace se define como ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]}$

para cada función medible positiva . ${\displaystyle f}$

Propiedades básicas

Medibilidad de integrales

Para una medida aleatoria , las integrales ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

y ${\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

para los positivos -medibles son mensurables, por lo que son variables aleatorias . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle f}$

Unicidad

La distribución de una medida aleatoria está determinada únicamente por las distribuciones de

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

para todas las funciones continuas con soporte compacto en . Para un semianillo fijo que genera en el sentido de que , la distribución de una medida aleatoria también está determinada de forma única por la integral sobre todas las funciones simples medibles positivas . ^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle f}$

Descomposición

Una medida generalmente podría descomponerse de la siguiente manera:

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

Aquí hay una medida difusa sin átomos, mientras que es una medida puramente atómica. ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle \mu _{a}}$

Medida de conteo aleatorio

Una medida aleatoria de la forma:

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},}$

donde es la medida de Dirac , y son variables aleatorias, se denomina proceso puntual ^{[1] [2]} o medida de conteo aleatoria . Esta medida aleatoria describe el conjunto de N partículas, cuyas ubicaciones están dadas por las variables aleatorias (generalmente de valor vectorial) . El componente difuso es nulo para una medida de conteo. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$

En la notación formal de arriba, una medida de conteo aleatoria es una función de un espacio de probabilidad al espacio medible ( ,  ) ${\displaystyle N_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(N_{X})}$ un espacio medible . Aquí está el espacio de todas las medidas de valores enteros finitos acotados (llamadas medidas de conteo ). ${\displaystyle N_{X}}$ ${\displaystyle N\in M_{X}}$

Las definiciones de medida de expectativa, funcional de Laplace, medidas de momento y estacionariedad para medidas aleatorias siguen las de los procesos puntuales . Las medidas aleatorias son útiles en la descripción y análisis de métodos de Monte Carlo , como la cuadratura numérica de Monte Carlo y los filtros de partículas . ^[7]

Véase también

• Medida aleatoria de Poisson
• Medida vectorial
• Conjunto

Referencias

1. Kallenberg, O. , Random Measures , 4.ª edición. Academic Press, Nueva York, Londres; Akademie-Verlag, Berlín (1986). ISBN  0-12-394960-2 MR 854102. Una referencia autorizada pero bastante difícil.
2. Jan Grandell, Procesos puntuales y medidas aleatorias, Advances in Applied Probability 9 (1977) 502-526. MR 0478331 JSTOR Una introducción agradable y clara.
3. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. p. 1. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
4. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 526. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
5. Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Introducción a la teoría de procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/b97277. ISBN 0-387-95541-0.
6. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. p. 52. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
7. "Crisan, D., Filtros de partículas: una perspectiva teórica , en Monte Carlo secuencial en la práctica, Doucet, A., de Freitas, N. y Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, ISBN 0-387-95146-6