Número cuántico azimutal

Número cuántico que denota momento angular orbital

Las funciones de onda orbitales atómicas de un átomo de hidrógeno : el número cuántico azimutal ( ℓ ) se indica con una letra en la parte superior de cada columna. El número cuántico principal ( n ) se muestra a la derecha de cada fila.

En mecánica cuántica , el número cuántico azimutal ℓ es un número cuántico de un orbital atómico que determina su momento angular orbital y describe aspectos de la forma angular del orbital. El número cuántico azimutal es el segundo de un conjunto de números cuánticos que describen el estado cuántico único de un electrón (los otros son el número cuántico principal n , el número cuántico magnético m _ℓ y el número cuántico de espín m _s ).

Para un valor dado del número cuántico principal n ( capa electrónica ), los valores posibles de ℓ son los números enteros de 0 a n -1 . Por ejemplo, la capa n = 1  solo tiene orbitales con , y la capa n = 2  solo tiene orbitales con , y . ${\displaystyle \ell =0}$ ${\displaystyle \ell =0}$ ${\displaystyle \ell =1}$

Para un valor dado del número cuántico azimutal ℓ , los valores posibles del número cuántico magnético m _ℓ son los números enteros desde m _ℓ =-ℓ hasta m _ℓ =+ℓ , incluido 0. Además, el número cuántico de espín m _s puede tomar dos valores distintos. El conjunto de orbitales asociados con un valor particular de  ℓ a veces se denomina colectivamente subcapa .

Aunque originalmente se usaban solo para átomos aislados, los orbitales de tipo atómico desempeñan un papel clave en la configuración de electrones en compuestos que incluyen gases, líquidos y sólidos. El número cuántico ℓ juega aquí un papel importante debido a la relación con la dependencia angular de los armónicos esféricos de los diferentes orbitales alrededor de cada átomo.

Nomenclatura

El término "número cuántico azimutal" fue introducido por Arnold Sommerfeld en 1915 ^{[1] : II:132} como parte de una descripción ad hoc de la estructura energética de los espectros atómicos. Sólo más tarde, con el modelo cuántico del átomo, se comprendió que este número, ℓ , surge de la cuantificación del momento angular orbital. Algunos libros de texto ^{[2] : 199} y la norma ISO 80000-10:2019 ^[3] llaman a ℓ el número cuántico del momento angular orbital .

Los niveles de energía de un átomo en un campo magnético externo dependen del valor de m _ℓ , por lo que a veces se le llama número cuántico magnético. ^{[4] : 240}

La letra minúscula ℓ se utiliza para indicar el momento angular orbital de una sola partícula. Para un sistema con múltiples partículas, se utiliza la letra L mayúscula. ^[3]

Relación con los orbitales atómicos

Hay cuatro números cuánticos ( n , ℓ , mℓ _, m s ₎ relacionados con los estados energéticos de los electrones de un átomo aislado. Estos cuatro números especifican el estado cuántico único y completo de cualquier electrón en el átomo , y se combinan para componer la función de onda u orbital del electrón .

Al resolver para obtener la función de onda, la ecuación de Schrödinger se resuelve en tres ecuaciones que conducen a los primeros tres números cuánticos, lo que significa que las tres ecuaciones están interrelacionadas. El número cuántico azimutal surge al resolver la parte polar de la ecuación de onda, basándose en el sistema de coordenadas esféricas , que generalmente funciona mejor con modelos que tienen suficientes aspectos de simetría esférica .

Número cuántico azimutal: ilustra (cinco) formas alternativas de momento angular orbital como "conos"; aquí se representan (cinco) valores alternativos para la constante de Planck reducida, ħ .

El momento angular de un electrón, L , está relacionado con su número cuántico ℓ mediante la siguiente ecuación:

$${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\Psi ,}$$

ħconstante de Planck reducidaLoperador del momento angularℓLℓ ${\displaystyle \Psi }$

Los orbitales atómicos tienen formas distintivas (ver gráfico superior) en las que las letras s , p , d , f , etc. (empleando una convención originada en la espectroscopia ) denotan la forma del orbital atómico . Las funciones de onda de estos orbitales toman la forma de armónicos esféricos , por lo que se describen mediante polinomios de Legendre . Los diversos orbitales relacionados con los diferentes valores (enteros) de ℓ a veces se denominan subcapas , denominadas letras latinas minúsculas elegidas por razones históricas, como se muestra en la tabla "Subcapas cuánticas para el número cuántico azimutal".

Cada uno de los diferentes estados de momento angular puede tomar 2 (2 ℓ  + 1) electrones. Esto se debe a que el tercer número cuántico m _ℓ (que puede considerarse en términos generales como la proyección cuantificada del vector de momento angular en el eje z) va de − ℓ a ℓ en unidades enteras, por lo que hay 2 ℓ  + 1 posibles. estados. Cada _orbital n , ℓ , mℓ distinto puede estar ocupado por dos electrones con espines opuestos (dado por el número cuántico m _s  = ± 1 ⁄ 2 ), dando 2 (2 ℓ  + 1) electrones en total. Los orbitales con ℓ superiores a los indicados en la tabla son perfectamente permisibles, pero estos valores cubren todos los átomos descubiertos hasta ahora.

Para un valor dado del número cuántico principal n , los valores posibles de ℓ oscilan entre 0 y n − 1 ; por lo tanto, la capa n = 1 solo posee una subcapa s y solo puede tomar 2 electrones, la capa n = 2 posee una subcapa s y una p y puede tomar 8 electrones en total, la capa n = 3 posee s , p y d subcapas y tiene un máximo de 18 electrones, y así sucesivamente.

Un modelo simplista de un electrón da como resultado niveles de energía que dependen únicamente del número principal. En átomos más complejos, estos niveles de energía se dividen para todo n > 1 , colocando los estados de ℓ superior por encima de los estados de ℓ inferior . Por ejemplo, la energía de 2p es mayor que la de 2s, 3d ocurre por encima de 3p, que a su vez está por encima de 3s, etc. Este efecto eventualmente forma la estructura de bloques de la tabla periódica. Ningún átomo conocido posee un electrón que tenga un ℓ superior a tres ( f ) en su estado fundamental .

El número cuántico del momento angular, ℓ y el armónico esférico correspondiente gobiernan el número de nodos planos que atraviesan el núcleo. Un nodo plano se puede describir en una onda electromagnética como el punto medio entre la cresta y el valle, que tiene magnitudes cero. En un orbital s, ningún nodo pasa por el núcleo, por lo tanto, el número cuántico azimutal correspondiente ℓ toma el valor de 0. En un orbital p , un nodo atraviesa el núcleo y, por lo tanto, ℓ tiene el valor de 1. tiene el valor . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\hbar }$

Dependiendo del valor de n , existe un número cuántico de momento angular ℓ y la siguiente serie. Las longitudes de onda enumeradas son para un átomo de hidrógeno :

• ${\displaystyle n=1,L=0}$, Serie Lyman (ultravioleta)
• ${\displaystyle n=2,L={\sqrt {2}}\hbar }$, Serie Balmer (visible)
• ${\displaystyle n=3,L={\sqrt {6}}\hbar }$, Serie Ritz-Paschen ( infrarrojo cercano )
• ${\displaystyle n=4,L=2{\sqrt {3}}\hbar }$, Serie Brackett ( infrarrojo de longitud de onda corta )
• ${\displaystyle n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar }$, Serie Pfund ( infrarrojo de longitud de onda media ).

Adición de momentos angulares cuantificados.

Dado un momento angular total cuantificado que es la suma de dos momentos angulares cuantificados individuales y , ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\ell }}_{1}+{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$$

número cuántico ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle |\ell _{1}-\ell _{2}|}$ ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$

Momento angular total de un electrón en el átomo.

"Conos vectoriales" del momento angular total J (púrpura), orbital L (azul) y giro S (verde). Los conos surgen debido a la incertidumbre cuántica entre la medición del componente del momento angular.

Debido a la interacción espín-órbita en un átomo, el momento angular orbital ya no conmuta con el hamiltoniano , ni tampoco el espín . Por lo tanto, estos cambian con el tiempo. Sin embargo, el momento angular total J conmuta con el hamiltoniano de un electrón y, por tanto, es constante. J se define como

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$$

L el momento angular orbital S relaciones de conmutación que el momento angular orbital

$${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}J_{k}}$$

$${\displaystyle \left[J_{i},J^{2}\right]=0}$$

JiJ _xJ _yJ _z​

Los números cuánticos que describen el sistema, que son constantes en el tiempo, ahora son j y m _j , definidos mediante la acción de J sobre la función de onda. ${\displaystyle \Psi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}\Psi &=\hbar ^{2}j(j+1)\Psi \\[1ex]\mathbf {J} _{z}\Psi &=\hbar m_{j}\Psi \end{aligned}}}$$

De modo que j está relacionado con la norma del momento angular total y m _j con su proyección a lo largo de un eje específico. El número j tiene una importancia particular para la química cuántica relativista , y a menudo aparece en subíndice para estados más profundos cerca del núcleo para los cuales el acoplamiento espín-órbita es importante.

Como ocurre con cualquier momento angular en mecánica cuántica , la proyección de J a lo largo de otros ejes no puede codefinirse con Jz , porque no conmutan _. Los vectores propios de j , s , m _j y la paridad, que también son vectores propios del hamiltoniano, son combinaciones lineales de los vectores propios de ℓ , s , m _ℓ y m _s .

Más allá de los átomos aislados

Ejemplo de datos EELS del borde de ionización de la capa interna (pérdida del núcleo) de La _0,7 Sr _0,3 MnO ₃ , adquiridos en un microscopio electrónico de transmisión de barrido .

Los números cuánticos de momento angular se refieren estrictamente a átomos aislados. Sin embargo, tienen usos más amplios para los átomos en sólidos, líquidos o gases. El número cuántico de ℓ m corresponde a armónicos esféricos específicos y se usa comúnmente para describir características observadas en métodos espectroscópicos como la espectroscopia de fotoelectrones de rayos X ^[5] y la espectroscopia de pérdida de energía de electrones . ^[6] (La notación es ligeramente diferente, con notación de rayos X donde K, L, M se usan para excitaciones fuera de estados electrónicos con .) ${\displaystyle n=0,1,2}$

Los números cuánticos de momento angular también se utilizan cuando los estados de los electrones se describen en métodos como la teoría funcional de la densidad de Kohn-Sham ^[7] o con orbitales gaussianos . ^[8] Por ejemplo, en el silicio , las propiedades electrónicas utilizadas en dispositivos semiconductores se deben a los estados tipo p centrados en cada átomo, mientras que muchas propiedades de los metales de transición dependen de los estados tipo d con . ^[9] ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle l=2}$

Historia

El número cuántico azimutal fue heredado del modelo atómico de Bohr y fue propuesto por Arnold Sommerfeld . ^[10] El modelo de Bohr se derivó del análisis espectroscópico de átomos en combinación con el modelo atómico de Rutherford . Se descubrió que el nivel cuántico más bajo tenía un momento angular de cero. Las órbitas con momento angular cero se consideraban cargas oscilantes en una dimensión y, por lo tanto, se describían como órbitas "pendulares", pero no se encontraban en la naturaleza. ^[11] En tres dimensiones, las órbitas se vuelven esféricas sin ningún nodo que cruce el núcleo, similar (en el estado de menor energía) a una cuerda para saltar que oscila en un gran círculo.

Ver también

• Introducción a la mecánica cuántica.
• Partícula en un potencial esféricamente simétrico.
• Acoplamiento de momento angular
• Operador de momento angular
• Coeficientes de Clebsch-Gordan

Referencias

1. Whittaker, Edmund Taylor (1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad . Clásicos de Dover de ciencias y matemáticas. Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-26126-3.
2. Schiff, Leonard (1949). Mecánica cuántica . McGraw-Hill.
3. "Plataforma de navegación en línea ISO". 10-13.3 . Consultado el 20 de febrero de 2024 .
4. Eisberg, Robert M.; Resnick, Robert (2009). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2. ed., 37. [Nachdr.] ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-87373-0.
5. Hüfner, Stefan (2003). Espectroscopia de fotoelectrones. Textos Avanzados en Física. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. doi :10.1007/978-3-662-09280-4. ISBN 978-3-642-07520-9.
6. Egerton, RF (2011). Espectroscopia electrónica de pérdida de energía en el microscopio electrónico. Boston, MA: Springer EE. UU. doi :10.1007/978-1-4419-9583-4. ISBN 978-1-4419-9582-7.
7. Kohn, W.; Sham, LJ (1965). "Ecuaciones autoconsistentes que incluyen efectos de intercambio y correlación". Revisión física . 140 (4A): A1133–A1138. doi :10.1103/PhysRev.140.A1133. ISSN  0031-899X.
8. Gill, Peter MW (1994), "Integrales moleculares sobre funciones de base gaussiana", Avances en química cuántica , vol. 25, Elsevier, págs. 141–205, doi :10.1016/s0065-3276(08)60019-2, ISBN 978-0-12-034825-1, recuperado 2024-02-20
9. Pettifor, DG (1996). Enlace y estructura de moléculas y sólidos . Publicaciones científicas de Oxford (Reimpresión con ed. corregida). Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-851786-3.
10. Eisberg, Robert (1974). Física Cuántica de Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos y Partículas . Nueva York: John Wiley & Sons Inc. págs. 114-117. ISBN 978-0-471-23464-7.
11. RB Lindsay (1927). "Nota sobre las órbitas" pendulares "en modelos atómicos". Proc. Nacional. Acad. Ciencia . 13 (6): 413–419. Código bibliográfico : 1927PNAS...13..413L. doi : 10.1073/pnas.13.6.413 . PMC 1085028 . PMID  16587189. 

enlaces externos

• Desarrollo del átomo de Bohr
• La ecuación azimutal explicada.