Los espacios descritos en este artículo son espacios de clases de tono que modelan las relaciones entre las clases de tono en algún sistema musical. Estos modelos suelen ser gráficos , grupos o celosías . Estrechamente relacionado con el espacio de clases de tono está el espacio de tono , que representa tonos en lugar de clases de tono, y el espacio de acordes , que modela las relaciones entre acordes.
El modelo de espacio tonal más simple es la línea real. En el MIDI Tuning Standard , por ejemplo, las frecuencias fundamentales f se asignan a números p según la ecuación
Esto crea un espacio lineal en el que las octavas tienen el tamaño 12, los semitonos (la distancia entre teclas adyacentes en el teclado del piano) tienen el tamaño 1 y a A440 se le asigna el número 69 (lo que significa que al Do central se le asigna el número 60). Para crear un espacio de clases de tono circular , identificamos o "pegamos" los tonos p y p + 12. El resultado es un espacio de clases de tono circular continuo que los matemáticos llaman Z /12 Z.
Otros modelos de espacio de clases de tono, como el círculo de quintas , intentan describir la relación especial entre clases de tono relacionadas por quinta perfecta. En el temperamento igual , doce quintas sucesivas equivalen exactamente a siete octavas y, por lo tanto, en términos de clases de tono, se cierra sobre sí misma, formando un círculo. Decimos que la clase tonal de la quinta genera –o es un generador de– el espacio de doce clases tonales.
Al dividir la octava en n partes iguales y elegir un número entero m<n tal que myn sean primos relativos (es decir, que no tengan divisor común ) obtenemos círculos similares, todos los cuales tienen la estructura de grupos cíclicos finitos. Al trazar una línea entre dos clases de tono cuando difieren en un generador, podemos representar el círculo de generadores como un gráfico de ciclo , en forma de polígono regular . [ ejemplo necesario ]
Si dividimos la octava en n partes, donde n = rs es el producto de dos números enteros primos r y s, podemos representar cada elemento del espacio tonal como el producto de un cierto número de generadores "r" por un cierto número. de generadores "s"; en otras palabras, como la suma directa de dos grupos cíclicos de órdenes r y s. Ahora podemos definir un gráfico con n vértices sobre los cuales actúa el grupo, agregando una arista entre dos clases de tono siempre que difieran por un generador "r" o un generador "s" (el llamado gráfico de Cayley con generadores r ys ) . El resultado es una gráfica de género uno, es decir, una gráfica con forma de donut o toroide . Un gráfico de este tipo se llama gráfico toroidal .
Un ejemplo es el temperamento igualitario ; doce es el producto de 3 y 4, y podemos representar cualquier clase de tono como una combinación de tercios de octava, o tercios mayores, y cuartos de octava, o tercios menores, y luego dibujar un gráfico toroidal dibujando un borde siempre que Dos clases de tono se diferencian por una tercera mayor o menor.
Podemos generalizar inmediatamente a cualquier número de factores relativamente primos, produciendo gráficas que se pueden dibujar de manera regular en un n-toro .
Un temperamento lineal es un temperamento regular de rango dos generado por la octava y otro intervalo, comúnmente llamado "el" generador. El ejemplo más familiar, con diferencia, es el temperamento de tono medio , cuyo generador es una quinta de tono medio aplanada. Las clases de tono de cualquier temperamento lineal se pueden representar a lo largo de una cadena infinita de generadores; en significado, por ejemplo, esto sería -FCGDA- etc. Esto define un espacio modulador lineal.
Un temperamento de rango dos que no es lineal tiene un generador que es una fracción de octava, llamado período. Podemos representar el espacio modulador de tal temperamento como n cadenas de generadores en un círculo, formando un cilindro. Aquí n es el número de períodos en una octava.
Por ejemplo, el temperamento diasquístico es el temperamento que atenúa el diasquismo , o 2048/2025. Se puede representar como dos cadenas de quintas ligeramente agudas (3,25 a 3,55 centavos) separadas por media octava, que se pueden representar como dos cadenas perpendiculares a un círculo y en el lado opuesto del mismo. La apariencia cilíndrica de este tipo de espacio modulador se vuelve más evidente cuando el período es una fracción más pequeña de una octava; por ejemplo, el temperamento ennealimmal tiene un espacio modulador que consta de nueve cadenas de terceras menores en un círculo (donde las terceras pueden tener sólo entre 0,02 y 0,03 centavos de diferencia).
La entonación justa de cinco límites tiene un espacio modulador basado en el hecho de que sus clases de tono se pueden representar por 3 a 5 b , donde a y b son números enteros. Por lo tanto, es un grupo abeliano libre con los dos generadores 3 y 5, y puede representarse en términos de una red cuadrada con quintas a lo largo del eje horizontal y terceras mayores a lo largo del eje vertical.
En muchos sentidos, surge una imagen más esclarecedora si la representamos en términos de una red hexagonal ; Este es el Tonnetz de Hugo Riemann , descubierto de forma independiente casi al mismo tiempo por Shohé Tanaka . Las quintas están a lo largo del eje horizontal y las terceras mayores apuntan hacia la derecha en un ángulo de sesenta grados. Otros sesenta grados nos dan el eje de sextas mayores, apuntando hacia la izquierda. Los elementos que no son al unísono del diamante de tonalidad límite 5 , 3/2, 5/4, 5/3, 4/3, 8/5, 6/5 ahora están dispuestos en un hexágono regular alrededor de 1. Las tríadas son las triángulos equiláteros de esta red, siendo los triángulos que apuntan hacia arriba tríadas mayores y los triángulos que apuntan hacia abajo tríadas menores.
Esta imagen de espacio modulador de cinco límites es generalmente preferible ya que trata las consonancias de manera uniforme y no sugiere que, por ejemplo, una tercera mayor sea más consonante que una sexta mayor. Cuando dos puntos de la red están lo más cerca posible, a una distancia unitaria, entonces y sólo entonces están separados por un intervalo consonántico. Por tanto, la red hexagonal proporciona una imagen superior de la estructura del espacio modulador de cinco límites.
En términos matemáticos más abstractos, podemos describir esta red como los pares de enteros (a, b), donde en lugar de la distancia euclidiana habitual tenemos una distancia euclidiana definida en términos de la norma del espacio vectorial.
De manera similar, podemos definir un espacio modulador para entonación justa de siete límites , representando 3 a 5 b 7 c en términos de una red cúbica correspondiente . Una vez más, sin embargo, surge una imagen más esclarecedora si la representamos en términos del análogo tridimensional de la red hexagonal, una red llamada A 3 , que es equivalente a la red cúbica centrada en las caras , o D 3 . De manera abstracta, se puede definir como los triples enteros (a, b, c), asociados a 3 a 5 b 7 c , donde la medida de distancia no es la distancia euclidiana habitual sino la distancia euclidiana derivada de la norma del espacio vectorial.
En esta imagen, los doce elementos no al unísono del diamante de siete tonalidades límite están dispuestos alrededor de 1 en forma de cuboctaedro .
