En teoría musical , los límites o límites armónicos son una forma de caracterizar la armonía que se encuentra en una pieza o género musical, o las armonías que se pueden lograr utilizando una escala particular . El término límite fue introducido por Harry Partch , [1] quien lo utilizó para dar un límite superior a la complejidad de la armonía; de ahí el nombre.
Harry Partch, Ivor Darreg y Ralph David Hill se encuentran entre los muchos microtonalistas que sugieren que la música ha ido evolucionando lentamente para emplear armónicos cada vez más altos en sus construcciones (véase emancipación de la disonancia ). [ cita requerida ] En la música medieval , solo los acordes formados por octavas y quintas perfectas (que implican relaciones entre los tres primeros armónicos ) se consideraban consonantes. En Occidente, la armonía triádica surgió ( contenance angloise ) alrededor de la época del Renacimiento , y las tríadas se convirtieron rápidamente en los bloques de construcción fundamentales de la música occidental. Las terceras mayores y menores de estas tríadas invocan relaciones entre los primeros cinco armónicos.
A principios del siglo XX, las tétradas debutaron como bloques de construcción fundamentales en la música afroamericana . [ cita requerida ] En la pedagogía de la teoría musical convencional, estos acordes de séptima generalmente se explican como cadenas de terceras mayores y menores. Sin embargo, también se pueden explicar como provenientes directamente de armónicos mayores que 5. Por ejemplo, el acorde de séptima dominante en 12-ET se aproxima a 4:5:6:7 (aunque muy mal), mientras que el acorde de séptima mayor se aproxima a 8:10:12:15.
En la entonación justa , los intervalos entre tonos se extraen de los números racionales . Desde Partch, han surgido dos formulaciones distintas del concepto de límite: límite impar y límite primo . El límite impar y el límite primo n no incluyen los mismos intervalos incluso cuando n es un primo impar.
Para un número impar positivo n , el límite n-impar contiene todos los números racionales tales que el número impar más grande que divide al numerador o al denominador no es mayor que n .
En Génesis de una música , Harry Partch consideró los racionales de entonación justos según el tamaño de sus numeradores y denominadores, módulo octavas. [2] Dado que las octavas corresponden a factores de 2, la complejidad de cualquier intervalo puede medirse simplemente por el factor impar más grande en su razón. La predicción teórica de Partch de la disonancia sensorial de los intervalos (su "Novia de un pie") es muy similar a las de teóricos como Hermann von Helmholtz , William Sethares y Paul Erlich . [3]
Véase el § Ejemplos, más abajo.
Una identidad es cada uno de los números impares que se indican a continuación, incluido el límite (impar) en una afinación. Por ejemplo, las identidades incluidas en la afinación de límite 5 son 1, 3 y 5. Cada número impar representa un nuevo tono en la serie armónica y, por lo tanto, puede considerarse una identidad:
C C G C E G B C D E F G ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
Según Partch: "El número 9, aunque no es primo , es sin embargo una identidad en la música, simplemente porque es un número impar". [4] Partch define "identidad" como "uno de los correlativos, ' mayor ' o ' menor ', en una tonalidad ; uno de los ingredientes de los números impares, uno o varios o todos los cuales actúan como un polo de la tonalidad". [5]
Odentity y udentity son las abreviaturas de over-identity y under-identity , respectivamente. [6] Según el productor de software musical Tonalsoft: "Una udentity es una identidad de una utonalidad ". [7]
Para un número primo n , el límite de n-primos contiene todos los números racionales que se pueden factorizar utilizando primos no mayores que n . En otras palabras, es el conjunto de números racionales con numerador y denominador ambos n - lisos .
Ajuste p-límite. Dado un número primo p , el subconjunto de los números racionales x cuya factorización prima tiene la forma con forma un subgrupo de ( ). ... Decimos que una escala o sistema de afinación utiliza un ajuste p-límite si todas las razones de intervalos entre tonos se encuentran en este subgrupo. [8]
A finales de la década de 1970, un nuevo género musical comenzó a tomar forma en la costa oeste de los Estados Unidos, conocido como la escuela gamelan americana . Inspirados por el gamelan indonesio , los músicos de California y otros lugares comenzaron a construir sus propios instrumentos de gamelan, a menudo afinándolos en entonación justa. La figura central de este movimiento fue el compositor estadounidense Lou Harrison [ cita requerida ] . A diferencia de Partch, que a menudo tomaba escalas directamente de la serie armónica, los compositores del movimiento gamelan americano tendían a extraer escalas de la red de entonación justa, de una manera similar a la utilizada para construir bloques de periodicidad de Fokker . Tales escalas a menudo contienen proporciones con números muy grandes, que sin embargo están relacionados por intervalos simples con otras notas de la escala.
A menudo, se hace referencia a la afinación y los intervalos de límite primo utilizando el término para el sistema de numeración basado en el límite. Por ejemplo, la afinación y los intervalos de límite 7 se denominan septimales, la afinación de límite 11 se denomina indecimal, y así sucesivamente.
En el temperamento musical , las proporciones simples de la entonación justa se asignan a aproximaciones irracionales cercanas. Esta operación, si tiene éxito, no cambia la complejidad armónica relativa de los diferentes intervalos, pero puede complicar el uso del concepto de límite armónico. Dado que algunos acordes (como el acorde de séptima disminuida en 12-ET ) tienen varias afinaciones válidas en la entonación justa, su límite armónico puede ser ambiguo.
