En teoría musical y afinación , un diamante de tonalidad es un diagrama bidimensional de proporciones en el que una dimensión es la Otonalidad y otra la Utonalidad . [1] Por lo tanto, el diamante de tonalidad n-límite ("límite" aquí está en el sentido de límite impar, no de límite primo) es una disposición en forma de diamante del conjunto de números racionales r , , tal que la parte impar tanto del numerador como del denominador de r , cuando se reduce a los términos más bajos, es menor o igual que el número impar fijo n . Equivalentemente, el diamante puede considerarse como un conjunto de clases de tonos , donde una clase de tono es una clase de equivalencia de tonos bajo equivalencia de octava . El diamante de tonalidad a menudo se considera que comprende el conjunto de consonancias del n-límite. Aunque originalmente fue inventado por Max Friedrich Meyer , [2] el diamante de tonalidad ahora se asocia más con Harry Partch ("Muchos teóricos de la entonación justa consideran que el diamante de tonalidad es la mayor contribución de Partch a la teoría microtonal". [3] ).
Partch dispuso los elementos del rombo de tonalidades en forma de rombo , y los subdividió en (n+1) 2 /4 rombos más pequeños. A lo largo del lado superior izquierdo del rombo se colocaron los números impares del 1 al n, cada uno reducido a la octava (dividido por la potencia mínima de 2 tal que ). Luego, estos intervalos se ordenaron en orden ascendente. A lo largo del lado inferior izquierdo se colocaron los recíprocos correspondientes, 1 a 1/n, también reducidos a la octava (aquí, multiplicados por la potencia mínima de 2 tal que ). Estos se colocaron en orden descendente. En todas las demás ubicaciones se colocó el producto de los intervalos diagonalmente superior e inferior izquierdo, reducidos a la octava. Esto da todos los elementos del rombo de tonalidades, con alguna repetición. Las diagonales inclinadas en una dirección forman Otonalidades y las diagonales en la otra dirección forman Utonalidades. Uno de los instrumentos de Partch, la marimba de diamante , está organizado según la tonalidad del diamante.
Un nexo numerario es una identidad compartida por dos o más razones de intervalo en su numerador o denominador , con identidades diferentes en el otro. [1] Por ejemplo, en la Otonalidad el denominador es siempre 1, por lo tanto 1 es el nexo numerario:
En la Utonalidad el numerador es siempre 1 y por tanto el nexo numerario también es 1:
Por ejemplo, en un diamante de tonalidad, como el diamante de límite 11 de Harry Partch , cada proporción de una fila inclinada hacia la derecha comparte un numerador y cada proporción de una fila inclinada hacia la izquierda comparte un denominador. Cada proporción de la fila superior izquierda tiene 7 como denominador, mientras que cada proporción de la fila superior derecha tiene 7 (o 14) como numerador.
Este diamante contiene tres identidades (1, 3, 5).
Este diamante contiene cuatro identidades (1, 3, 5, 7).
Este diamante contiene seis identidades (1, 3, 5, 7, 9, 11). Harry Partch utilizó el diamante con tonalidad límite de 11, pero lo giró 90 grados.
Este diamante contiene ocho identidades (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).
Los diamantes de tonalidad de cinco y siete límites exhiben una geometría altamente regular dentro del espacio modulatorio , lo que significa que todos los elementos no unísonos del diamante están a solo una unidad del unísono. El diamante de cinco límites se convierte entonces en un hexágono regular que rodea al unísono, y el diamante de siete límites en un cuboctaedro que rodea al unísono. [ cita requerida ] . Erv Wilson ha realizado otros ejemplos de redes de diamantes que van desde el diamante triádico al ogdoádico, donde a cada intervalo se le da su propia dirección única. [4]
Tres propiedades del diamante de tonalidad y las proporciones que contiene:
Por ejemplo:
Si φ( n ) es la función totiente de Euler , que da el número de números enteros positivos menores que n y primos entre sí con n, es decir, cuenta los números enteros menores que n que no comparten ningún factor común con n, y si d(n) denota el tamaño del diamante de tonalidad límite n, tenemos la fórmula
De esto podemos concluir que la tasa de crecimiento del diamante de tonalidad es asintóticamente igual a . Los primeros valores son los importantes, y el hecho de que el tamaño del diamante crezca como el cuadrado del tamaño del límite impar nos dice que se vuelve grande con bastante rapidez. Hay siete miembros en el diamante de límite 5, 13 en el diamante de límite 7, 19 en el diamante de límite 9, 29 en el diamante de límite 11, 41 en el diamante de límite 13 y 49 en el diamante de límite 15; estos son suficientes para la mayoría de los propósitos.
Yuri Landman publicó un diagrama de otonalidad y utonalidad que aclara la relación de los diamantes de tonalidad de Partch con las series armónicas y las longitudes de cuerdas (como Partch también utilizó en sus Kitharas) y el instrumento Moodswinger de Landman . [6]
En las proporciones de Partch, el número superior corresponde a la cantidad de divisiones iguales de una cuerda vibrante y el número inferior corresponde a la división a la que se acorta la longitud de la cuerda. 5 ⁄ 4 , por ejemplo, se obtiene dividiendo la cuerda en 5 partes iguales y acortando la longitud a la cuarta parte desde abajo. En el diagrama de Landman, estos números se invierten, cambiando las proporciones de frecuencia en proporciones de longitud de cuerda.
