Comprender la estructura del núcleo atómico es uno de los desafíos centrales de la física nuclear .
El modelo de cúmulo describe el núcleo como una colección similar a una molécula de grupos protón-neutrón (p. ej., partículas alfa ) con uno o más neutrones de valencia ocupando orbitales moleculares. [1] [2] [3] [4]
El modelo de gota de líquido es uno de los primeros modelos de estructura nuclear , propuesto por Carl Friedrich von Weizsäcker en 1935. [5] Describe el núcleo como un fluido semiclásico formado por neutrones y protones , con una fuerza electrostática interna de repulsión proporcional a la número de protones. La naturaleza mecánica cuántica de estas partículas aparece a través del principio de exclusión de Pauli , que establece que no pueden haber dos nucleones del mismo tipo en el mismo estado . Por tanto, el fluido es en realidad lo que se conoce como líquido de Fermi . En este modelo, la energía de enlace de un núcleo con protones y neutrones está dada por
donde es el número total de nucleones ( número de masa ). Los términos proporcionales a y representan el volumen y la energía superficial de la gota de líquido, el término proporcional a representa la energía electrostática, el término proporcional a representa el principio de exclusión de Pauli y el último término es el término de emparejamiento, que reduce la energía para números pares. de protones o neutrones. Los coeficientes y la fuerza del término de emparejamiento pueden estimarse teóricamente o ajustarse a los datos. Este sencillo modelo reproduce las principales características de la energía de enlace de los núcleos.
La suposición del núcleo como una gota de líquido de Fermi todavía se utiliza ampliamente en forma de modelo de gotas de rango finito (FRDM), debido a la posible buena reproducción de la energía de enlace nuclear en todo el gráfico, con la precisión necesaria para predicciones de núcleos desconocidos. . [6]
La expresión "modelo de caparazón" es ambigua porque se refiere a dos elementos diferentes. Anteriormente se utilizaba para describir la existencia de capas de nucleones según un enfoque más cercano a lo que ahora se llama teoría del campo medio. Hoy en día, se refiere a un formalismo análogo al formalismo de interacción de configuración utilizado en la química cuántica .
Las mediciones sistemáticas de la energía de enlace de los núcleos atómicos muestran desviaciones sistemáticas con respecto a las estimadas a partir del modelo de gota de líquido. En particular, algunos núcleos que tienen ciertos valores para el número de protones y/o neutrones están unidos más estrechamente de lo que predice el modelo de gota de líquido. Estos núcleos se llaman simple/doblemente mágicos . Esta observación llevó a los científicos a suponer la existencia de una estructura de capa de nucleones (protones y neutrones) dentro del núcleo, como la de los electrones dentro de los átomos.
De hecho, los nucleones son objetos cuánticos . Estrictamente hablando, no se debe hablar de energías de nucleones individuales, porque todos están correlacionados entre sí. Sin embargo, como aproximación se puede imaginar un núcleo promedio, dentro del cual los nucleones se propagan individualmente. Debido a su carácter cuántico, sólo pueden ocupar niveles de energía discretos . Estos niveles no están distribuidos de manera uniforme; algunos intervalos de energía están llenos y otros están vacíos, generando una brecha en las energías posibles. Un caparazón es un conjunto de niveles separados de los demás por un amplio espacio vacío.
Los niveles de energía se encuentran resolviendo la ecuación de Schrödinger para un solo nucleón que se mueve en el potencial promedio generado por todos los demás nucleones. Cada nivel puede estar ocupado por un nucleón o vacío. Algunos niveles acomodan varios estados cuánticos diferentes con la misma energía; se dice que son degenerados . Esto ocurre en particular si el núcleo medio presenta una cierta simetría , como una forma esférica.
El concepto de caparazón permite comprender por qué algunos núcleos están más unidos que otros. Esto se debe a que dos nucleones del mismo tipo no pueden estar en el mismo estado ( principio de exclusión de Pauli ). Werner Heisenberg extendió el principio de exclusión de Pauli a los nucleones, mediante la introducción del concepto de iso-espín. [7] Se cree que los nucleones están compuestos de dos tipos de partículas, el neutrón y el protón, que se diferencian por su propiedad intrínseca, asociada con su número cuántico de iso-espín. Este concepto permite explicar el estado ligado del deuterio , en el que el protón y el neutrón pueden acoplar su espín e iso-espín de dos maneras diferentes. Entonces, el estado de menor energía del núcleo es aquel en el que los nucleones llenan todos los niveles de energía desde abajo hasta cierto nivel. Los núcleos que exhiben un número impar de protones o neutrones están menos unidos que los núcleos con un número par. Un núcleo con capas completas es excepcionalmente estable, como se explicará más adelante.
Al igual que con los electrones en el modelo de capa electrónica , los protones en la capa más externa están relativamente unidos al núcleo si solo hay unos pocos protones en esa capa, porque están más alejados del centro del núcleo. Por lo tanto, los núcleos que tienen una capa exterior completa de protones estarán más estrechamente unidos y tendrán una mayor energía de enlace que otros núcleos con un número total similar de protones. Esto también es válido para los neutrones.
Además, la energía necesaria para excitar el núcleo (es decir, mover un nucleón a un nivel superior, previamente desocupado) es excepcionalmente alta en dichos núcleos. Siempre que este nivel desocupado es el siguiente después de una capa llena, la única forma de excitar el núcleo es elevar un nucleón a través del espacio , gastando así una gran cantidad de energía. De lo contrario, si el nivel de energía ocupado más alto se encuentra en una capa parcialmente llena, se requiere mucha menos energía para elevar un nucleón a un estado superior en la misma capa.
Se espera cierta evolución de la estructura de capa observada en núcleos estables fuera del valle de estabilidad . Por ejemplo, las observaciones de isótopos inestables han mostrado cambios e incluso un reordenamiento de los niveles de partículas individuales que componen la estructura de la capa. [8] Esto a veces se observa como la creación de una isla de inversión o en la reducción de las brechas de energía de excitación por encima de los números mágicos tradicionales.
Se plantean algunas hipótesis básicas con el fin de darle un marco conceptual preciso al modelo de caparazón:
El proceso general utilizado en los cálculos del modelo de caparazón es el siguiente. Primero se define un hamiltoniano para el núcleo. Por lo general, por motivos prácticos computacionales, en esta definición solo se tienen en cuenta los términos de uno y dos cuerpos. La interacción es una teoría eficaz : contiene parámetros libres que deben equipararse con datos experimentales.
El siguiente paso consiste en definir una base para los estados de una sola partícula, es decir, un conjunto de funciones de onda que describan todos los estados posibles de los nucleones. La mayoría de las veces, esta base se obtiene mediante un cálculo de Hartree-Fock . Con este conjunto de estados de una partícula se construyen determinantes de Slater , es decir, funciones de onda para Z variables de protones o N variables de neutrones, que son productos antisimetrizados de funciones de onda de una sola partícula (antisimetrizado significa que bajo intercambio de variables para cualquier par de nucleones, la función de onda sólo cambia de signo).
En principio, el número de estados cuánticos disponibles para un solo nucleón con una energía finita es finito, digamos n . El número de nucleones en el núcleo debe ser menor que el número de estados disponibles; de lo contrario, el núcleo no puede contener todos sus nucleones. Por tanto, existen varias formas de elegir Z (o N ) estados entre los n posibles. En matemáticas combinatorias , el número de opciones de Z objetos entre n es el coeficiente binomial C.z
norte. Si n es mucho mayor que Z (o N ) , esto aumenta aproximadamente como n Z. En la práctica, este número llega a ser tan grande que cualquier cálculo es imposible para A = N + Z mayor que 8.
Para obviar esta dificultad, el espacio de posibles estados de una sola partícula se divide en núcleo y valencia, por analogía con la química (ver electrón del núcleo y electrón de valencia ). El núcleo es un conjunto de partículas individuales que se supone que están inactivas, en el sentido de que son los estados de menor energía bien unidos y que no hay necesidad de reexaminar su situación. No aparecen en los determinantes de Slater, a diferencia de los estados en el espacio de valencia, que es el espacio de todos los estados de una sola partícula que no están en el núcleo , pero que posiblemente deban considerarse en la elección de la construcción de ( Z -) Función de onda N -cuerpo. El conjunto de todos los determinantes de Slater posibles en el espacio de valencia define una base para ( Z -) N -estados del cuerpo.
El último paso consiste en calcular la matriz del Hamiltoniano dentro de esta base y diagonalizarla. A pesar de la reducción de las dimensiones de la base debido a la fijación del núcleo, las matrices a diagonalizar alcanzan fácilmente dimensiones del orden de 10 9 y exigen técnicas de diagonalización específicas.
Los cálculos del modelo de capa dan en general un ajuste excelente con los datos experimentales. Sin embargo, dependen en gran medida de dos factores principales:
La interacción entre nucleones , que es consecuencia de interacciones fuertes y une a los nucleones dentro del núcleo, exhibe el comportamiento peculiar de tener un rango finito: desaparece cuando la distancia entre dos nucleones se vuelve demasiado grande; es atractivo a media distancia y repulsivo a muy pequeña distancia. Esta última propiedad se correlaciona con el principio de exclusión de Pauli según el cual dos fermiones (los nucleones son fermiones) no pueden estar en el mismo estado cuántico. Esto da como resultado un camino libre medio muy grande previsto para un nucleón dentro del núcleo. [9]
La idea principal del enfoque de la partícula independiente es que un nucleón se mueve dentro de un cierto pozo de potencial (que lo mantiene unido al núcleo) independientemente de los otros nucleones. Esto equivale a reemplazar un problema de N cuerpos ( N partículas que interactúan) por N problemas de un solo cuerpo. Esta simplificación esencial del problema es la piedra angular de las teorías del campo medio. También se utilizan ampliamente en física atómica , donde los electrones se mueven en un campo medio debido al núcleo central y a la propia nube de electrones.
El modelo de partículas independientes y las teorías del campo medio (veremos que existen varias variantes) tienen un gran éxito a la hora de describir las propiedades del núcleo a partir de una interacción efectiva o de un potencial efectivo, por lo que son parte básica de la teoría del núcleo atómico. También se debe notar que son lo suficientemente modulares, en el sentido de que es bastante fácil extender el modelo para introducir efectos como el emparejamiento nuclear o movimientos colectivos del nucleón como la rotación o la vibración , agregando los términos de energía correspondientes en el formalismo. Esto implica que en muchas representaciones, el campo medio es sólo un punto de partida para una descripción más completa que introduce correlaciones que reproducen propiedades como excitaciones colectivas y transferencia de nucleones. [10] [11]
Una gran parte de las dificultades prácticas que se encuentran en las teorías del campo medio es la definición (o cálculo) del potencial del propio campo medio. Se puede distinguir de manera muy aproximada entre dos enfoques:
En el caso de los enfoques de Hartree-Fock, el problema no es encontrar la función matemática que describa mejor el potencial nuclear, sino la que describa mejor la interacción nucleón-nucleón. De hecho, a diferencia de la física atómica, donde se conoce la interacción (es la interacción de Coulomb ), la interacción nucleón-nucleón dentro del núcleo no se conoce analíticamente.
Hay dos razones principales para este hecho. En primer lugar, la interacción fuerte actúa esencialmente entre los quarks que forman los nucleones. La interacción nucleón-nucleón en el vacío es una mera consecuencia de la interacción quark-quark. Si bien esto último se entiende bien en el marco del Modelo Estándar a altas energías, es mucho más complicado en bajas energías debido al confinamiento del color y la libertad asintótica . Por lo tanto, todavía no existe una teoría fundamental que permita deducir la interacción nucleón-nucleón a partir de la interacción quark-quark. Además, incluso si se resolviera este problema, seguiría existiendo una gran diferencia entre el caso ideal (y conceptualmente más simple) de dos nucleones que interactúan en el vacío y el de estos nucleones que interactúan en la materia nuclear. Para ir más allá, fue necesario inventar el concepto de interacción efectiva. Esta última es básicamente una función matemática con varios parámetros arbitrarios, que se ajustan para concordar con los datos experimentales.
La mayoría de las interacciones modernas son de alcance cero, por lo que actúan sólo cuando los dos nucleones están en contacto, como lo introdujo Tony Skyrme . [12] En un artículo fundamental [13] de Dominique Vautherin y David M. Brink se demostró que una fuerza de Skyrme que depende de la densidad puede reproducir propiedades básicas de los núcleos atómicos. Otra interacción comúnmente utilizada es la fuerza de Gogny de rango finito, [14]
En el enfoque de Hartree-Fock del problema de los n -cuerpos , el punto de partida es un hamiltoniano que contiene n términos de energía cinética y términos potenciales. Como se mencionó anteriormente, una de las hipótesis de la teoría del campo medio es que solo se debe tener en cuenta la interacción de dos cuerpos. El término potencial del hamiltoniano representa todas las posibles interacciones de dos cuerpos en el conjunto de n fermiones . Es la primera hipótesis.
El segundo paso consiste en suponer que la función de onda del sistema puede escribirse como un determinante de Slater de orbitales de espín de una partícula . Esta afirmación es la traducción matemática del modelo de partículas independientes. Ésta es la segunda hipótesis.
Queda ahora por determinar los componentes de este determinante de Slater, es decir, las funciones de onda individuales de los nucleones. Para ello, se supone que la función de onda total (el determinante de Slater) es tal que la energía es mínima. Ésta es la tercera hipótesis.
Técnicamente, significa que se debe calcular el valor medio del (conocido) hamiltoniano de dos cuerpos sobre el determinante (desconocido) de Slater, e imponer que su variación matemática desaparezca. Esto conduce a un conjunto de ecuaciones donde las incógnitas son las funciones de onda individuales: las ecuaciones de Hartree-Fock. Al resolver estas ecuaciones se obtienen las funciones de onda y los niveles de energía individuales de los nucleones y, por tanto, la energía total del núcleo y su función de onda.
Esta breve descripción del método Hartree-Fock explica por qué también se le llama enfoque variacional . Al principio del cálculo, la energía total es una "función de las funciones de onda individuales" (lo que se llama funcional), y luego se hace todo lo posible para optimizar la elección de estas funciones de onda, de modo que la función tenga un mínimo - con suerte absoluta y no sólo local. Para ser más precisos, cabe mencionar que la energía es una función de la densidad , definida como la suma de las funciones de onda cuadradas individuales. El método Hartree-Fock también se utiliza en física atómica y física de la materia condensada como teoría del funcional de densidad, DFT.
El proceso de resolución de las ecuaciones de Hartree-Fock sólo puede ser iterativo, ya que éstas son en realidad una ecuación de Schrödinger en la que el potencial depende de la densidad , es decir, precisamente de las funciones de onda a determinar. En la práctica, el algoritmo comienza con un conjunto de funciones de onda individuales groseramente razonables (en general, las funciones propias de un oscilador armónico ). Estos permiten calcular la densidad y, a partir de ahí, el potencial de Hartree-Fock. Una vez hecho esto, se resuelve de nuevo la ecuación de Schrödinger, y así sucesivamente. El cálculo se detiene (se alcanza la convergencia) cuando la diferencia entre funciones de onda, o niveles de energía, para dos iteraciones sucesivas es menor que un valor fijo. Entonces el potencial de campo medio se determina por completo y las ecuaciones de Hartree-Fock se convierten en ecuaciones estándar de Schrödinger. El hamiltoniano correspondiente se denomina hamiltoniano de Hartree-Fock.
Nacidos por primera vez en la década de 1970 con los trabajos de John Dirk Walecka sobre hadrodinámica cuántica , los modelos relativistas del núcleo fueron perfeccionados hacia finales de la década de 1980 por P. Ring y sus colaboradores. El punto de partida de estos enfoques es la teoría cuántica de campos relativista . En este contexto, las interacciones de los nucleones se producen mediante el intercambio de partículas virtuales llamadas mesones . La idea es, en un primer paso, construir un Lagrangiano que contenga estos términos de interacción. En segundo lugar, mediante la aplicación del principio de mínima acción , se obtiene un conjunto de ecuaciones de movimiento. Las partículas reales (aquí los nucleones) obedecen a la ecuación de Dirac , mientras que las virtuales (aquí los mesones) obedecen a las ecuaciones de Klein-Gordon .
En vista de la naturaleza no perturbativa de la interacción fuerte, y también dado que la forma potencial exacta de esta interacción entre grupos de nucleones es relativamente poco conocida, el uso de tal enfoque en el caso de núcleos atómicos requiere aproximaciones drásticas. La principal simplificación consiste en sustituir en las ecuaciones todos los términos de campo (que son operadores en el sentido matemático) por su valor medio (que son funciones ). De esta manera, se obtiene un sistema de ecuaciones integrodiferenciales acopladas , que pueden resolverse numéricamente, si no analíticamente.
El modelo de bosones interactivos (IBM) es un modelo de física nuclear en el que los nucleones se representan como pares, actuando cada uno de ellos como una partícula bosónica, con espín integral de 0, 2 o 4. Esto hace que los cálculos sean factibles para núcleos más grandes. Hay varias ramas de este modelo: en una de ellas (IBM-1) se pueden agrupar todos los tipos de nucleones en pares, en otras (por ejemplo, IBM-2) se consideran los protones y neutrones en pares por separado.
Uno de los puntos focales de toda la física es la simetría . La interacción nucleón-nucleón y todas las interacciones efectivas utilizadas en la práctica tienen ciertas simetrías. Son invariantes por traslación (cambiar el marco de referencia para que las direcciones no se alteren), por rotación (girar el marco de referencia alrededor de algún eje) o por paridad (cambiar el sentido de los ejes) en el sentido de que la interacción no cambia. en cualquiera de estas operaciones. Sin embargo, en el enfoque de Hartree-Fock pueden aparecer soluciones que no son invariantes bajo tal simetría. Se habla entonces de ruptura espontánea de la simetría .
Cualitativamente, estas rupturas espontáneas de simetría se pueden explicar de la siguiente manera: en la teoría del campo medio, el núcleo se describe como un conjunto de partículas independientes. La mayoría de las correlaciones adicionales entre nucleones que no entran en el campo medio se ignoran. Sin embargo, pueden aparecer por una ruptura de la simetría del campo medio hamiltoniano, que es sólo aproximada. Si la densidad utilizada para iniciar las iteraciones del proceso Hartree-Fock rompe ciertas simetrías, el hamiltoniano final de Hartree-Fock puede romper estas simetrías, si es ventajoso mantenerlas rotas desde el punto de vista de la energía total.
También puede converger hacia una solución simétrica. En cualquier caso, si la solución final rompe la simetría, por ejemplo la simetría rotacional, de modo que el núcleo parece no esférico sino elíptico, todas las configuraciones deducidas de este núcleo deformado por una rotación son igual de buenas soluciones para el Hartree. –Problema de mierda. El estado fundamental del núcleo se degenera entonces .
Un fenómeno similar ocurre con el emparejamiento nuclear, que viola la conservación del número de bariones (ver más abajo).
La extensión más común de la teoría del campo medio es el emparejamiento nuclear. Los núcleos con un número par de nucleones están sistemáticamente más unidos que aquellos con uno impar. Esto implica que cada nucleón se une a otro para formar un par, en consecuencia el sistema no puede describirse como partículas independientes sometidas a un campo medio común. Cuando el núcleo tiene un número par de protones y neutrones, cada uno de ellos encuentra una pareja. Para excitar un sistema de este tipo, es necesario al menos utilizar tal energía como para romper un par. Por el contrario, en el caso de un número impar de protones o neutrones, existe un nucleón desapareado, que necesita menos energía para excitarse.
Este fenómeno es muy análogo al de la superconductividad de tipo 1 en la física del estado sólido. La primera descripción teórica del emparejamiento nuclear fue propuesta a finales de los años 1950 por Aage Bohr , Ben Mottelson y David Pines (lo que contribuyó a la recepción del Premio Nobel de Física en 1975 por Bohr y Mottelson). [15] Estaba cerca de la teoría BCS de Bardeen, Cooper y Schrieffer, que explica la superconductividad de los metales. Teóricamente, el fenómeno de emparejamiento descrito por la teoría BCS se combina con la teoría del campo medio: los nucleones están sujetos tanto al potencial de campo medio como a la interacción de emparejamiento.
El método Hartree-Fock-Bogolyubov (HFB) es un enfoque más sofisticado, [16] que permite considerar el emparejamiento y las interacciones medias de campo de manera consistente en pie de igualdad. El HFB es ahora el estándar de facto en el tratamiento medio de campo de los sistemas nucleares.
La peculiaridad de los métodos de campo medio es el cálculo de la propiedad nuclear mediante ruptura explícita de simetría . El cálculo del campo medio con métodos autoconsistentes (por ejemplo, Hartree-Fock) rompe la simetría rotacional, y el cálculo de la propiedad de emparejamiento rompe el número de partículas.
Se han desarrollado varias técnicas para restaurar la simetría mediante la proyección de buenos números cuánticos. [17]
Los métodos de campo medio (considerando eventualmente la restauración de la simetría) son una buena aproximación al estado fundamental del sistema, incluso postulando un sistema de partículas independientes. Las correcciones de orden superior consideran el hecho de que las partículas interactúan entre sí mediante correlación. Estas correlaciones pueden introducirse teniendo en cuenta el acoplamiento de grados de libertad de partículas independientes y la excitación colectiva de baja energía de sistemas con un número par de protones y neutrones.
De este modo se pueden reproducir estados excitados mediante aproximación de fase aleatoria (RPA) y, eventualmente, calcular de forma coherente correcciones al estado fundamental (p. ej. mediante la teoría del campo nuclear [11] ).
