Medida del momento factorial

En probabilidad y estadística , una medida de momento factorial es una cantidad matemática , función o, más precisamente, medida que se define en relación con objetos matemáticos conocidos como procesos puntuales , que son tipos de procesos estocásticos que se utilizan a menudo como modelos matemáticos de fenómenos físicos representables como puntos posicionados aleatoriamente en el tiempo , el espacio o ambos. Las medidas de momento generalizan la idea de los momentos factoriales , que son útiles para estudiar variables aleatorias de valor entero no negativo . ^[1]

La primera medida de momento factorial de un proceso puntual coincide con su primera medida de momento o medida de intensidad , ^[2] que da el número esperado o promedio de puntos del proceso puntual ubicados en alguna región del espacio. En general, si el número de puntos en alguna región se considera como una variable aleatoria, entonces la medida factorial de momento de esta región es el momento factorial de esta variable aleatoria. ^[3] Las medidas de momento factorial caracterizan completamente una amplia clase de procesos puntuales, lo que significa que pueden usarse para identificar de forma única un proceso puntual.

Si una medida de momento factorial es absolutamente continua , entonces con respecto a la medida de Lebesgue se dice que tiene una densidad (que es una forma generalizada de una derivada ), y esta densidad se conoce por varios nombres como densidad de momento factorial y densidad de producto , así como densidad de coincidencia , ^[1] intensidad conjunta ^[4] , función de correlación o espectro de frecuencia multivariado ^[5]. Las densidades de momento factorial primera y segunda de un proceso puntual se utilizan en la definición de la función de correlación de pares , que proporciona una forma de cuantificar estadísticamente la fuerza de interacción o correlación entre puntos de un proceso puntual. ^[6]

Las medidas de momento factorial sirven como herramientas útiles en el estudio de procesos puntuales ^{[1] [6] [7]} así como en los campos relacionados de la geometría estocástica ^[3] y la estadística espacial ^{[6] [8]} que se aplican en diversas disciplinas científicas y de ingeniería como la biología , la geología , la física y las telecomunicaciones . ^{[1] [3] [9]}

Notación de proceso de puntos

Los procesos puntuales son objetos matemáticos que se definen en un espacio matemático subyacente . Dado que estos procesos se utilizan a menudo para representar conjuntos de puntos dispersos aleatoriamente en el espacio, el tiempo o ambos, el espacio subyacente suele ser un espacio euclidiano d -dimensional denotado aquí por ^Rd , pero se pueden definir en espacios matemáticos más abstractos . ^[7]

Los procesos puntuales tienen varias interpretaciones, lo que se refleja en los distintos tipos de notación de procesos puntuales . ^{[3] [9]} Por ejemplo, si un punto pertenece o es miembro de un proceso puntual, denotado por N , entonces esto se puede escribir como: ^[3] ${\displaystyle \textstyle x}$

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

y representa el proceso puntual que se interpreta como un conjunto aleatorio . Alternativamente, el número de puntos de N ubicados en algún conjunto de Borel B se escribe a menudo como: ^{[2] [3] [8]}

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

que refleja una interpretación de medida aleatoria para procesos puntuales. Estas dos notaciones se utilizan a menudo en paralelo o de forma intercambiable. ^{[3] [8] [2]}

Definiciones

norteLa potencia factorial de un proceso puntual

Para algún entero positivo , la potencia factorial -ésima de un proceso puntual en se define como: ^[2] ${\displaystyle \textstyle n=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle {N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1}\neq \dots \neq x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})}$

donde es una colección de conjuntos de Borel no necesariamente disjuntos en , que forman un producto cartesiano de conjuntos denotado por: ${\displaystyle \textstyle B_{1},...,B_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}.}$

El símbolo denota una función indicadora tal que es una medida de Dirac para el conjunto . La suma en la expresión anterior se realiza sobre todas las - tuplas de puntos distintos, incluidas las permutaciones , que pueden contrastarse con la definición de la n -ésima potencia de un proceso puntual . El símbolo denota multiplicación mientras que la existencia de varias notaciones de procesos puntuales significa que la n -ésima potencia factorial de un proceso puntual a veces se define utilizando otra notación. ^[2] ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}}$ ${\displaystyle \textstyle B_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle \Pi }$

norteLa medida del momento factorial

La medida del momento factorial de n -ésimo orden o medida del momento factorial de n -ésimo orden se define como:

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=E[{N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})],}$

donde E denota la expectativa ( operador ) del proceso puntual N. En otras palabras, la medida del momento factorial n- ésimo es la expectativa de la potencia factorial n- ésima de algún proceso puntual.

La n- ésima medida del momento factorial de un proceso puntual N se define de manera equivalente ^[3] por:

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})M^{(n)}(dx_{1},\ldots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right],}$

donde es cualquier función medible no negativa en , y la suma anterior se realiza sobre todas las tuplas de puntos distintos, incluidas las permutaciones. En consecuencia, la medida del momento factorial se define de modo que no haya puntos que se repitan en el conjunto del producto, a diferencia de la medida del momento. ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}^{nd}}$ ${\displaystyle n}$

Primera medida del momento factorial

La primera medida del momento factorial coincide con la primera medida del momento : ^[2] ${\displaystyle \textstyle M^{1}}$

${\displaystyle M^{(1)}(B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)],}$

donde se conoce, entre otros términos, como medida de intensidad ^[3] o medida media , ^[10] y se interpreta como el número esperado de puntos encontrados o ubicados en el conjunto ${\displaystyle \textstyle M^{1}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

Segunda medida del momento factorial

La segunda medida del momento factorial para dos conjuntos de Borel es : ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{(2)}(A\times B)=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A\cap B).}$

Explicación del nombre

Para algún conjunto de Borel , el nombre de esta medida se revela cuando la medida del momento factorial n se reduce a: ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle n\,}$

${\displaystyle M^{(n)}(B\times \cdots \times B)=E[{N}(B)({N}(B)-1)\cdots ({N}(B)-n+1)],}$

que es el -ésimo momento factorial de la variable aleatoria . ^[3] ${\displaystyle \textstyle n\,}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$

Densidad de momentos factoriales

Si una medida de momento factorial es absolutamente continua , entonces tiene una densidad (o más precisamente, una derivada o densidad de Radon–Nikodym ) con respecto a la medida de Lebesgue y esta densidad se conoce como densidad de momento factorial o densidad de producto , intensidad conjunta , función de correlación o espectro de frecuencia multivariante . Denotando la -ésima densidad de momento factorial por , se define con respecto a la ecuación: ^[3] ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=\int _{B_{1}}\cdots \int _{B_{n}}\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

Además, esto significa la siguiente expresión

${\displaystyle E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right]=\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n},}$

donde es cualquier función medible acotada no negativa definida en . ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{n}}$

Función de correlación de pares

En estadística espacial y geometría estocástica, para medir la relación de correlación estadística entre puntos de un proceso puntual, la función de correlación de pares de un proceso puntual se define como: ^{[3] [6]} ${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})={\frac {\mu ^{(2)}(x_{1},x_{2})}{\mu ^{(1)}(x_{1})\mu ^{(1)}(x_{2})}},}$

donde los puntos . En general, mientras que corresponde a que no hay correlación (entre puntos) en el sentido estadístico típico. ^[6] ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in R^{d}}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})\geq 0}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1}$

Ejemplos

Proceso de puntos de Poisson

Para un proceso puntual de Poisson general con medida de intensidad, la medida del momento factorial -ésimo viene dada por la expresión: ^[3] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

donde es la medida de intensidad o medida del primer momento de , que para algún conjunto de Borel viene dada por: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)].}$

Para un proceso puntual de Poisson homogéneo, la medida del momento factorial -ésimo es simplemente: ^[2] ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

donde es la longitud, el área o el volumen (o, de manera más general, la medida de Lebesgue ) de . Además, la densidad de momento factorial -ésima es: ^[3] ${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

La función de correlación de pares del proceso de puntos de Poisson homogéneo es simplemente

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1,}$

lo que refleja la falta de interacción entre puntos de este proceso puntual.

Expansión del momento factorial

Las expectativas de funcionales generales de procesos puntuales simples, siempre que se cumplan ciertas condiciones matemáticas, tienen expansiones o series (posiblemente infinitas) que consisten en las medidas de momento factorial correspondientes. ^{[11] [12]} En comparación con la serie de Taylor , que consiste en una serie de derivadas de alguna función, la n ésima medida de momento factorial cumple el mismo papel que la n ésima derivada de la serie de Taylor. En otras palabras, dado un funcional general f de algún proceso puntual simple, entonces este teorema similar al de Taylor para procesos puntuales que no son de Poisson significa que existe una expansión para la esperanza de la función E , siempre que se cumpla alguna condición matemática que asegure la convergencia de la expansión.

Véase también

• Momento factorial
• Momento
• Medida de momento

Referencias

1. DJ Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de procesos puntuales. Vol. I. Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2003.
2. Baccelli, François (2009). "Geometría estocástica y redes inalámbricas: Volumen I Teoría" (PDF) . Fundamentos y tendencias en redes . 3 (3–4): 249–449. doi :10.1561/1300000006. ISSN  1554-057X.
3. D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke y L. Ruschendorf. Geometría estocástica y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley Chichester, 1995.
4. Hough, J. Ben; Krishnapur, Manjunath; Peres, Yuval ; Virág, Balint (2006). "Procesos determinantes e independencia". Encuestas de probabilidad . 3 : 206–229. arXiv : matemáticas/0503110 . doi :10.1214/154957806000000078. S2CID  9604112.
5. K. Handa. El proceso puntual de dos parámetros {Poisson-Dirichlet}. Bernoulli , 15(4):1082–1116, 2009.
6. A. Baddeley, I. B{\'a}r{\'a}ny y R. Schneider. Procesos puntuales espaciales y sus aplicaciones. Geometría estocástica: conferencias dictadas en la Escuela de verano del CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004 , páginas 1 a 75, 2007.
7. DJ Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de procesos puntuales. Vol. {II }. Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2008
8. Møller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus Plenge (2003). Inferencia estadística y simulación para procesos puntuales espaciales . C&H/CRC Monografías sobre estadística y probabilidad aplicada. Vol. 100. CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi :10.1201/9780203496930. ISBN .  978-1-58488-265-7.
9. F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, volumen II – Aplicaciones , volumen 4, n.º 1–2 de Fundamentos y tendencias en redes . NoW Publishers, 2009.
10. JFC Kingman. Procesos de Poisson , volumen 3. Oxford University Press, 1992.
11. B. Blaszczyszyn. Expansión de momento factorial para sistemas estocásticos. Stoch. Proc. Appl. , 56:321–335, 1995.
12. Kroese, Dirk P.; Schmidt, Volker (1996). "Análisis de tráfico ligero para colas con llegadas distribuidas espacialmente". Matemáticas de la investigación de operaciones . 21 (1): 135–157. doi :10.1287/moor.21.1.135.