Elementos maximos y minimos

Elemento que no es ≤ (o ≥) ningún otro elemento

Diagrama de Hasse del conjunto P de divisores de 60, parcialmente ordenado por la relación " x divide a y ". El subconjunto rojo = {1,2,3,4} tiene dos elementos máximos, a saber, 3 y 4, y un elemento mínimo, a saber, 1, que es también su elemento menor. ${\displaystyle S}$

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , un elemento maximalista de un subconjunto de un conjunto preordenado es un elemento de que no es menor que cualquier otro elemento en . Un elemento minimal de un subconjunto de un conjunto preordenado se define dualmente como un elemento de que no es mayor que cualquier otro elemento en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Las nociones de elementos máximos y mínimos son más débiles que las de elemento mayor y elemento menor , que también se conocen, respectivamente, como máximo y mínimo. El máximo de un subconjunto de un conjunto preordenado es un elemento de que es mayor o igual que cualquier otro elemento de y el mínimo de se define nuevamente de manera dual. En el caso particular de un conjunto parcialmente ordenado , si bien puede haber como máximo un máximo y como máximo un mínimo, puede haber múltiples elementos máximos o mínimos. ^{[1] [2]} Especializándose aún más en conjuntos totalmente ordenados , las nociones de elemento maximal y máximo coinciden, y las nociones de elemento minimal y mínimo coinciden. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$

Como ejemplo, en la colección ordenada por contención , el elemento { d , o } es mínimo ya que no contiene conjuntos en la colección, el elemento { g , o , a , d } es máximo ya que no hay conjuntos en la colección que lo contengan, el elemento { d , o , g } no es ninguno de los dos, y el elemento { o , a , f } es tanto mínimo como máximo. Por el contrario, no existe ni un máximo ni un mínimo para $${\displaystyle S:=\left\{\{d,o\},\{d,o,g\},\{g,o,a,d\},\{o,a,f\}\right\}}$$ ${\displaystyle S.}$

El lema de Zorn establece que todo conjunto parcialmente ordenado para el cual todo subconjunto totalmente ordenado tiene una cota superior contiene al menos un elemento maximalista. Este lema es equivalente al teorema de buen ordenamiento y al axioma de elección ^[3] e implica resultados importantes en otras áreas matemáticas como el teorema de Hahn-Banach , el teorema de Kirszbraun , el teorema de Tichonoff , la existencia de una base de Hamel para cada espacio vectorial y la existencia de una clausura algebraica para cada cuerpo .

Definición

Sea un conjunto preordenado y sea Un elemento máximo de con respecto a es un elemento tal que ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle m\in S}$

Si satisface entonces necesariamente ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$

De manera similar, unaelemento mínimo decon respecto a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$es un elementotal que ${\displaystyle m\in S}$

Si satisface entonces necesariamente ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\leq m,}$ ${\displaystyle m\leq s.}$

Equivalentemente, es un elemento mínimo de con respecto a si y solo si es un elemento máximo de con respecto a donde por definición, si y solo si (para todo ). ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ ${\displaystyle q\geq p}$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p,q\in P}$

Si no se especifica el subconjunto , se debe asumir que , explícitamente, un ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S:=P.}$elemento máximo (respectivamente,elemento mínimo)de ${\displaystyle (P,\leq )}$es un elemento máximo (respectivamente, mínimo) decon respecto a ${\displaystyle S:=P}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Si el conjunto preordenado también resulta ser un conjunto parcialmente ordenado (o más generalmente, si la restricción es un conjunto parcialmente ordenado), entonces es un elemento maximalista de si y solo si no contiene ningún elemento estrictamente mayor que explícitamente, esto significa que no existe ningún elemento tal que y La caracterización para elementos mínimos se obtiene usando en lugar de ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle (S,\leq )}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m;}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle m\neq s.}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Existencia y singularidad

Una valla se compone únicamente de elementos mínimos y máximos (Ejemplo 3).

No es necesario que existan elementos máximos.

• Ejemplo 1: Sea donde denota los números reales . Para todos excepto (es decir, pero no ). ${\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\in S,}$ ${\displaystyle s=m+1\in S}$ ${\displaystyle m<s}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle m=s}$
• Ejemplo 2: Sea donde denota los números racionales y donde es irracional. ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

En general, solo hay un orden parcial en Si es un elemento maximo y entonces sigue siendo posible que ni ni Esto deja abierta la posibilidad de que existan más de un elemento maximo. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s\leq m}$ ${\displaystyle m\leq s.}$

• Ejemplo 3: En la valla todos son mínimos y todos son máximos, como se muestra en la imagen. ${\displaystyle a_{1}<b_{1}>a_{2}<b_{2}>a_{3}<b_{3}>\ldots ,}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$
• Ejemplo 4: Sea A un conjunto con al menos dos elementos y sea el subconjunto del conjunto potencia que consiste en subconjuntos singleton , parcialmente ordenados por Este es el conjunto poset discreto donde no hay dos elementos comparables y, por lo tanto, cada elemento es máximo (y mínimo); además, para cualquier conjunto distinto ni ni ${\displaystyle S=\{\{a\}~:~a\in A\}}$ ${\displaystyle \wp (A)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .}$ ${\displaystyle \{a\}\in S}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle \{a\}\subseteq \{b\}}$ ${\displaystyle \{b\}\subseteq \{a\}.}$

Elementos mayores y menores

Para un conjunto parcialmente ordenado, el núcleo irreflexivo de se denota como y se define por si y Para miembros arbitrarios se aplica exactamente uno de los siguientes casos: ${\displaystyle (P,\leq ),}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x,y\in P,}$

1. ${\displaystyle x<y}$;
2. ${\displaystyle x=y}$;
3. ${\displaystyle y<x}$;
4. ${\displaystyle x}$y son incomparables. ${\displaystyle y}$

Dado un subconjunto y algunos ${\displaystyle S\subseteq P}$ ${\displaystyle x\in S,}$

• si el caso 1 nunca se aplica a ninguno , entonces es un elemento máximo de como se define anteriormente; ${\displaystyle y\in S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$
• Si los casos 1 y 4 nunca se aplican para ninguno, entonces se llama el mayor elemento de ${\displaystyle y\in S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Por lo tanto, la definición de un elemento mayor es más fuerte que la de un elemento máximo.

De manera equivalente, un elemento mayor de un subconjunto puede definirse como un elemento de que es mayor que cualquier otro elemento de Un subconjunto puede tener como máximo un elemento mayor. ^{[prueba 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

El mayor elemento de si existe, es también un elemento maximal de ^{[prueba 2]} y el único. ^{[prueba 3]} Por contraposición , si tiene varios elementos maximalistas, no puede tener un elemento mayor; véase el ejemplo 3. Si satisface la condición de cadena ascendente , un subconjunto de tiene un elemento mayor si, y solo si , tiene un elemento maximal. ^{[prueba 4]} ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$

Cuando la restricción de a es un orden total ( en la imagen superior hay un ejemplo), entonces las nociones de elemento máximo y elemento máximo coinciden. ^{[prueba 5]} Esto no es una condición necesaria: siempre que tiene un elemento máximo, las nociones coinciden también, como se dijo anteriormente. Si las nociones de elemento máximo y elemento máximo coinciden en cada subconjunto de dos elementos de entonces es un orden total en ^{[prueba 6]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{1,2,4\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle P.}$

Dual a mayor es la noción de elemento menor que se relaciona con mínimo de la misma manera que mayor con máximo .

Conjuntos dirigidos

En un conjunto totalmente ordenado , los términos elemento maximal y elemento mayor coinciden, por lo que ambos términos se usan indistintamente en campos como el análisis donde solo se consideran los órdenes totales. Esta observación se aplica no solo a subconjuntos totalmente ordenados de cualquier conjunto parcialmente ordenado, sino también a su generalización teórica del orden a través de conjuntos dirigidos . En un conjunto dirigido, cada par de elementos (particularmente pares de elementos incomparables) tiene un límite superior común dentro del conjunto. Si un conjunto dirigido tiene un elemento maximal, también es su elemento mayor ^{[prueba 7]} y, por lo tanto, su único elemento maximal. Para un conjunto dirigido sin elementos maximal o mayor, véanse los ejemplos 1 y 2 anteriores.

Conclusiones similares son válidas para los elementos mínimos.

Puede encontrar más información introductoria en el artículo sobre la teoría del orden .

Propiedades

• Cada subconjunto finito no vacío tiene elementos tanto máximos como mínimos. Un subconjunto infinito no necesita tener ninguno de ellos, por ejemplo, los números enteros con el orden habitual. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El conjunto de elementos máximos de un subconjunto es siempre una anticadena , es decir, no hay dos elementos máximos diferentes de que sean comparables. Lo mismo se aplica a los elementos mínimos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

• En la eficiencia de Pareto , un óptimo de Pareto es un elemento máximo con respecto al orden parcial de mejora de Pareto, y el conjunto de elementos máximos se denomina frontera de Pareto.
• En la teoría de la decisión , una regla de decisión admisible es un elemento máximo con respecto al orden parcial de la regla de decisión dominante .
• En la teoría de cartera moderna , el conjunto de elementos máximos con respecto al orden del producto en riesgo y rendimiento se denomina frontera eficiente .
• En la teoría de conjuntos , un conjunto es finito si y sólo si cada familia no vacía de subconjuntos tiene un elemento mínimo cuando se ordena por la relación de inclusión .
• En álgebra abstracta , se necesita el concepto de divisor común máximo para generalizar los máximos divisores comunes a sistemas numéricos en los que los divisores comunes de un conjunto de elementos pueden tener más de un elemento máximo.
• En geometría computacional , los máximos de un conjunto de puntos son máximos con respecto al orden parcial de dominancia coordinada.

Teoría del consumidor

En economía, se puede flexibilizar el axioma de antisimetría, utilizando preórdenes (generalmente preórdenes totales ) en lugar de órdenes parciales; la noción análoga al elemento máximo es muy similar, pero se utiliza una terminología diferente, como se detalla a continuación.

En la teoría del consumidor, el espacio de consumo es un conjunto , normalmente el ortante positivo de un espacio vectorial, de modo que cada uno representa una cantidad de consumo especificada para cada producto existente en la economía. Las preferencias de un consumidor suelen estar representadas por un preorden total , de modo que y se lee: es como máximo tan preferido como . Cuando y se interpreta que el consumidor es indiferente entre y pero no hay razón para concluir que las relaciones de preferencia nunca se suponen antisimétricas. En este contexto, para cualquier un elemento se dice que es un elemento maximalista si implica donde se interpreta como un paquete de consumo que no está dominado por ningún otro paquete en el sentido de que es y no ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in B}$ $${\displaystyle y\in B}$$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x\prec y,}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x.}$

Cabe señalar que la definición formal se parece mucho a la de un elemento máximo para un conjunto ordenado. Sin embargo, cuando es solo un preorden, un elemento con la propiedad anterior se comporta de manera muy similar a un elemento máximo en un ordenamiento. Por ejemplo, un elemento máximo no es único para no excluye la posibilidad de que (mientras que y no implican sino simplemente indiferencia ). La noción de elemento máximo para un preorden de preferencia sería la de elección más preferida . Es decir, algunos con implica ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x\in B}$ $${\displaystyle y\in B}$$ ${\displaystyle y\prec x.}$

Una aplicación obvia es la definición de correspondencia de demanda. Sea la clase de funcionales en . Un elemento se denomina funcional de precio o sistema de precios y asigna cada paquete de consumo a su valor de mercado . La correspondencia presupuestaria es una correspondencia que asigna cualquier sistema de precios y cualquier nivel de ingresos a un subconjunto ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \Gamma \colon P\times \mathbb {R} _{+}\rightarrow X}$ $${\displaystyle \Gamma (p,m)=\{x\in X~:~p(x)\leq m\}.}$$

La correspondencia de demanda asigna cualquier precio y cualquier nivel de ingreso al conjunto de elementos -máximos de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \Gamma (p,m)}$ $${\displaystyle D(p,m)=\left\{x\in X~:~x{\text{ is a maximal element of }}\Gamma (p,m)\right\}.}$$

Se llama correspondencia de demanda porque la teoría predice que para un conjunto dado, la elección racional de un consumidor será algún elemento ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}\in D(p,m).}$

Nociones relacionadas

Se dice que un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es cofinal si para cada existe alguno tal que Todo subconjunto cofinal de un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos debe contener todos los elementos máximos. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in P}$ ${\displaystyle y\in Q}$ ${\displaystyle x\leq y.}$

Se dice que un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un conjunto inferior de si está cerrado hacia abajo: si y entonces Todo conjunto inferior de un conjunto ordenado finito es igual al conjunto inferior más pequeño que contiene todos los elementos máximos de ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\in L.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L.}$

Véase también

• Elemento mayor y elemento menor  : elemento ≥ (o ≤) cada uno de los otros elementos
• Ínfimo y supremo  : límite inferior máximo y límite superior mínimo
• Límites superior e inferior  : mayor y menor en matemáticas

Notas

Pruebas

1. Si y son ambos mayores, entonces y y por lo tanto por antisimetría . ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}\leq g_{2}}$ ${\displaystyle g_{2}\leq g_{1},}$ ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Si es el mayor elemento de y entonces Por antisimetría , esto hace que ( y ) sea imposible. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s\leq g.}$ ${\displaystyle g\leq s}$ ${\displaystyle g\neq s}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. Si es un elemento maximal entonces (porque es el mayor) y por lo tanto dado que es maximal. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\leq g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle m=g}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
4. Sólo si : ver arriba. — Si : Supongamos por contradicción que tiene solo un elemento maximalista, pero ningún elemento mayor. Como no es mayor, debe existir alguno que sea incomparable con Por lo tanto no puede ser maximalista, es decir, debe cumplirse para algún Este último también debe ser incomparable con, ya que contradice la maximalidad de mientras que contradice la incomparabilidad de y Repitiendo este argumento, se puede encontrar una cadena ascendente infinita (tal que cada uno sea incomparable con y no maximalista). Esto contradice la condición de cadena ascendente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}}$ ${\displaystyle s_{2}\in S.}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m<s_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{2}\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}.}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{n}<\cdots }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
5. Sea un elemento maximo, para cualquier o En el segundo caso, la definición de elemento maximo requiere que por lo que se sigue que En otras palabras, es un elemento mayor. ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\leq m}$ ${\displaystyle m\leq s.}$ ${\displaystyle s=m,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
6. Si fueran incomparables, entonces habría dos elementos máximos, pero ningún elemento mayor, contradiciendo la coincidencia. ${\displaystyle a,b\in P}$ ${\displaystyle S=\{a,b\}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
7. Sea maximalista. Sea arbitrario. Entonces, el límite superior común de y satisface , por lo que, por maximalidad. Como se cumple por definición de , tenemos . Por lo tanto, es el elemento más grande. ${\displaystyle m\in D}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u\geq m}$ ${\displaystyle u=m}$ ${\displaystyle x\leq u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

• Portal de matemáticas

1. Richmond, Bettina ; Richmond, Thomas (2009), Una transición discreta a las matemáticas avanzadas, American Mathematical Society, pág. 181, ISBN 978-0-8218-4789-3.
2. Scott, William Raymond (1987), Teoría de grupos (2.ª ed.), Dover, pág. 22, ISBN 978-0-486-65377-8
3. Jech, Thomas (2008) [publicado originalmente en 1973]. El axioma de la elección . Dover Publications . ISBN 978-0-486-46624-8.