conjunto de mandelbrot

Fractal que lleva el nombre del matemático Benoit Mandelbrot

El Mandelbrot ambientado en un entorno continuamente coloreado

El conjunto de Mandelbrot ( / ˈ m æ n d əl b r oʊ t , - b r ɒ t / ) ^{[1] [2] es un} conjunto bidimensional con una definición relativamente simple que exhibe una gran complejidad, especialmente cuando se amplía . Es popular por su atractivo estético y estructuras fractales. El conjunto se define en el plano complejo como los números complejos para los cuales la función no diverge hasta el infinito cuando se itera comenzando en , es decir, para los cuales la secuencia , , etc., permanece acotada en valor absoluto . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle f_{c}(0)}$ ${\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}$

Este conjunto fue definido y dibujado por primera vez por Robert W. Brooks y Peter Matelski en 1978, como parte de un estudio de los grupos kleinianos . ^[3] Posteriormente, en 1980, Benoit Mandelbrot obtuvo visualizaciones de alta calidad del decorado mientras trabajaba en el Centro de Investigación Thomas J. Watson de IBM en Yorktown Heights, Nueva York .

Acercándonos al límite del conjunto de Mandelbrot

Las imágenes del conjunto de Mandelbrot exhiben un límite infinitamente complicado que revela detalles recursivos cada vez más finos a aumentos crecientes; Matemáticamente, el límite del conjunto de Mandelbrot es una curva fractal . El "estilo" de este detalle recursivo depende de la región del límite establecido que se examina. Las imágenes del conjunto de Mandelbrot se pueden crear muestreando los números complejos y probando, para cada punto de muestra , si la secuencia llega al infinito . Al tratar las partes real e imaginaria de como coordenadas de imagen en el plano complejo , los píxeles pueden colorearse según qué tan pronto la secuencia cruza un umbral elegido arbitrariamente (el umbral debe ser al menos 2, ya que -2 es el número complejo con el mayor magnitud dentro del conjunto, pero por lo demás el umbral es arbitrario). Si se mantiene constante y en su lugar se varía el valor inicial de, se obtiene el conjunto de Julia correspondiente para el punto . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

El conjunto de Mandelbrot se ha vuelto popular fuera de las matemáticas tanto por su atractivo estético como como ejemplo de una estructura compleja que surge de la aplicación de reglas simples. Es uno de los ejemplos más conocidos de visualización matemática , belleza matemática y motivo .

Historia

La primera fotografía publicada del set de Mandelbrot, por Robert W. Brooks y Peter Matelski en 1978.

El conjunto de Mandelbrot tiene su origen en la dinámica compleja , campo investigado por primera vez por los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia a principios del siglo XX. El fractal fue definido y dibujado por primera vez en 1978 por Robert W. Brooks y Peter Matelski como parte de un estudio de los grupos kleinianos . ^[3] El 1 de marzo de 1980, en el Centro de Investigación Thomas J. Watson de IBM en Yorktown Heights , Nueva York , Benoit Mandelbrot visualizó por primera vez el decorado. ^[4]

Mandelbrot estudió el espacio de parámetros de polinomios cuadráticos en un artículo que apareció en 1980. ^[5] El estudio matemático del conjunto de Mandelbrot realmente comenzó con el trabajo de los matemáticos Adrien Douady y John H. Hubbard (1985), ^[6] quienes establecieron muchos de sus propiedades fundamentales y nombró al conjunto en honor a Mandelbrot por su influyente trabajo en geometría fractal .

Los matemáticos Heinz-Otto Peitgen y Peter Richter se hicieron conocidos por promover el conjunto con fotografías, libros (1986), ^[7] y una exposición itinerante internacional del Goethe-Institut alemán (1985). ^{[8] [9]}

El artículo de portada de Scientific American de agosto de 1985 presentó el algoritmo para calcular el conjunto de Mandelbrot. La portada fue creada por Peitgen, Richter y Saupe en la Universidad de Bremen . ^[10] El set de Mandelbrot se hizo prominente a mediados de la década de 1980 como demostración de gráficos por computadora , cuando las computadoras personales se volvieron lo suficientemente potentes como para trazar y mostrar el set en alta resolución. ^[11]

El trabajo de Douady y Hubbard se produjo durante un aumento del interés por la dinámica compleja y las matemáticas abstractas , ^[12] y el estudio del conjunto de Mandelbrot ha sido una pieza central de este campo desde entonces. ^{[ cita necesaria ]}

Definicion formal

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores de c en el plano complejo para el cual la órbita del punto crítico bajo iteración del mapa cuadrático ${\textstyle z=0}$

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$ ^[13]

permanece acotado . ^[14] Por lo tanto, un número complejo c es miembro del conjunto de Mandelbrot si, al comenzar y aplicar la iteración repetidamente, el valor absoluto de permanece acotado para todos . ${\displaystyle z_{0}=0}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle n>0}$

Por ejemplo, para c = 1, la secuencia es 0, 1, 2, 5, 26,..., que tiende al infinito , por lo que 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. Por otro lado, para , la secuencia es 0, −1, 0, −1, 0, ..., que está acotada, por lo que −1 sí pertenece al conjunto. ${\displaystyle c=-1}$

El conjunto de Mandelbrot también se puede definir como el lugar de conectividad de la familia de polinomios cuadráticos , el subconjunto del espacio de parámetros para el cual el conjunto de Julia del polinomio correspondiente forma un conjunto conexo . De la misma manera, el límite del conjunto de Mandelbrot puede definirse como el lugar de bifurcación de esta familia cuadrática, el subconjunto de parámetros cerca del cual el comportamiento dinámico del polinomio (cuando se itera repetidamente) cambia drásticamente. ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

Propiedades básicas

El conjunto de Mandelbrot es un conjunto compacto , ya que está cerrado y contenido en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen . Un punto pertenece al conjunto de Mandelbrot si y sólo si para todos . En otras palabras, el valor absoluto de debe permanecer en 2 o menos para estar en el conjunto de Mandelbrot, y si ese valor absoluto excede 2, la secuencia escapará al infinito. De lo que se deduce que , estableciendo que siempre estará en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen. ^[15] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |z_{n}|\leq 2}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c=z_{1}}$ ${\displaystyle |c|\leq 2}$ ${\displaystyle c}$

Correspondencia entre el conjunto de Mandelbrot y el diagrama de bifurcación del mapa cuadrático

Con las iteraciones trazadas en el eje vertical, se puede ver que el conjunto de Mandelbrot se bifurca en los componentes del período 2 ^{k .} ${\displaystyle z_{n}}$

La intersección de con el eje real es el intervalo . Los parámetros a lo largo de este intervalo se pueden poner en correspondencia uno a uno con los de la familia logística real . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left[-2,{\frac {1}{4}}\right]}$

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad r\in [1,4].}$

La correspondencia está dada por

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right),\quad c={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right).}$

Esto da una correspondencia entre todo el espacio de parámetros de la familia logística y el del conjunto de Mandelbrot. ^[dieciséis]

Douady y Hubbard demostraron que el conjunto de Mandelbrot está conexo . Construyeron un isomorfismo conforme explícito entre el complemento del conjunto de Mandelbrot y el complemento del disco unitario cerrado . Mandelbrot había conjeturado originalmente que el conjunto de Mandelbrot está desconectado . Esta conjetura se basó en imágenes de computadora generadas por programas que son incapaces de detectar los finos filamentos que conectan diferentes partes de . Tras más experimentos, revisó su conjetura y decidió que debía estar relacionada. Jeremy Kahn descubrió en 2001 una prueba topológica de la conexión . ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Rayos externos de estelas cerca del continente del período 1 en el conjunto de Mandelbrot

La fórmula dinámica para la uniformización del complemento del conjunto de Mandelbrot, que surge de la prueba de la conectividad de Douady y Hubbard , da lugar a los rayos externos del conjunto de Mandelbrot. Estos rayos se pueden utilizar para estudiar el conjunto de Mandelbrot en términos combinatorios y formar la columna vertebral del parapuzzle de Yoccoz . ^[18] ${\displaystyle M}$

El límite del conjunto de Mandelbrot es el lugar de bifurcación de la familia de polinomios cuadráticos. En otras palabras, el límite del conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los parámetros para los cuales la dinámica del mapa cuadrático exhibe una dependencia sensible de, es decir, cambios abruptos bajo cambios arbitrariamente pequeños. Puede construirse como el conjunto límite de una secuencia de planos algebraicos. curvas , las curvas de Mandelbrot , del tipo general conocido como lemniscatas polinómicas . Las curvas de Mandelbrot se definen estableciendo y luego interpretando el conjunto de puntos en el plano complejo como una curva en el plano cartesiano real de grado en x e y . ^[19] Cada curva es el mapeo de un círculo inicial de radio 2 bajo . Estas curvas algebraicas aparecen en imágenes del conjunto de Mandelbrot calculadas utilizando el "algoritmo de tiempo de escape" que se menciona a continuación. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z_{n}=z_{n-1}^{2}+c}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle p_{0}=z,\ p_{n+1}=p_{n}^{2}+z}$ ${\displaystyle |p_{n}(z)|=2}$ ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p_{n}}$

Otras propiedades

Principales bulbos cardioides y de época.

Períodos de componentes hiperbólicos.

El cardioide principal es el continente del período 1. Es la región de parámetros para los cuales el mapa ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$

tiene un punto fijo de atracción . Consta de todos los parámetros del formulario.

${\displaystyle c(\mu ):={\frac {\mu }{2}}\left(1-{\frac {\mu }{2}}\right)}$

para algunos en el disco de la unidad abierta . ${\displaystyle \mu }$

A la izquierda del cardioide principal, unido a él en el punto , se ve una bombilla circular, la bombilla del período 2 . El bulbo consta de un ciclo de atracción de período 2 . Es el círculo relleno de radio 1/4 centrado alrededor de −1. ${\displaystyle c=-3/4}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$

De manera más general, para cada número entero positivo , hay bulbos circulares tangentes al cardioide principal llamados bulbos de período-q (donde denota la función phi de Euler ), que consisten en parámetros para los cuales tiene un ciclo de atracción de período . Más específicamente, para cada raíz primitiva de la unidad (donde ), hay un bulbo del período q llamado bulbo, que es tangente al cardioide principal en el parámetro ${\displaystyle q>2}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r=e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$ ${\displaystyle 0<{\frac {p}{q}}<1}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$

${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}:=c(r)={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right),}$

Ciclo de atracción en 2/5 bombillas trazado sobre el conjunto de Julia (animación)

y que contiene parámetros con ciclos que tienen un número de rotación combinatorio . Más precisamente, los componentes periódicos de Fatou que contienen el ciclo de atracción se tocan en un punto común (comúnmente llamado punto fijo ). Si etiquetamos estos componentes en sentido antihorario, asignamos el componente al componente . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle U_{0},\dots ,U_{q-1}}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle U_{j+p\,(\operatorname {mod} q)}}$

Ciclos de atracción y conjuntos de Julia para parámetros en las bombillas 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 y 1/5

El cambio de comportamiento que se produce en se conoce como bifurcación : el punto fijo atractivo "choca" con un período repelente- ciclo q . A medida que pasamos a través del parámetro de bifurcación hacia el bulbo, el punto fijo atractivo se convierte en un punto fijo repelente (el punto fijo), y el ciclo del período q se vuelve atractivo. ${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Componentes hiperbólicos

Los bulbos que son componentes interiores del conjunto de Mandelbrot en los que las aplicaciones tienen un ciclo periódico de atracción se denominan componentes hiperbólicos . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle f_{c}}$

Se conjetura que estas son las únicas regiones interiores de y que son densas en . Este problema, conocido como densidad de hiperbolicidad , es uno de los problemas abiertos más importantes en dinámica compleja . ^[20] Los componentes hipotéticos no hiperbólicos del conjunto de Mandelbrot a menudo se denominan componentes "queer" o fantasmas. ^{[21] [22]} Para polinomios cuadráticos reales, esta cuestión fue probada en la década de 1990 de forma independiente por Lyubich y por Graczyk y Świątek. (Tenga en cuenta que los componentes hiperbólicos que intersectan el eje real corresponden exactamente a ventanas periódicas en el diagrama de Feigenbaum . Por lo tanto, este resultado establece que dichas ventanas existen cerca de todos los parámetros del diagrama). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

No todos los componentes hiperbólicos pueden alcanzarse mediante una secuencia de bifurcaciones directas del cardioide principal del conjunto de Mandelbrot. Se puede alcanzar dicho componente mediante una secuencia de bifurcaciones directas desde el cardioide principal de una pequeña copia de Mandelbrot (ver más abajo).

Centros de 983 componentes hiperbólicos del conjunto de Mandelbrot.

Cada uno de los componentes hiperbólicos tiene un centro , que es un punto c tal que el dominio interno de Fatou tiene un ciclo de superatracción, es decir, que la atracción es infinita. Esto significa que el ciclo contiene el punto crítico 0, de modo que 0 vuelve a sí mismo después de algunas iteraciones. Por lo tanto, para algunos n . Si llamamos a este polinomio (dejándolo depender de c en lugar de z ), tenemos eso y que el grado de es . Por tanto, construir los centros de las componentes hiperbólicas es posible resolviendo sucesivamente las ecuaciones . ^{[ cita necesaria ]} El número de nuevos centros producidos en cada paso viene dado por OEIS de Sloane : A000740 . ${\displaystyle f_{c}(z)}$ ${\displaystyle f_{c}^{n}(0)=0}$ ${\displaystyle Q^{n}(c)}$ ${\displaystyle Q^{n+1}(c)=Q^{n}(c)^{2}+c}$ ${\displaystyle Q^{n}(c)}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle Q^{n}(c)=0,n=1,2,3,...}$

Conectividad local

Se conjetura que el conjunto de Mandelbrot está localmente conexo . Esta conjetura se conoce como MLC (por Mandelbrot localmente conectado ). Según el trabajo de Adrien Douady y John H. Hubbard , esta conjetura daría como resultado un modelo abstracto simple de "disco pellizcado" del conjunto de Mandelbrot. En particular, implicaría la importante conjetura de hiperbolicidad mencionada anteriormente. ^{[ cita necesaria ]}

El trabajo de Jean-Christophe Yoccoz estableció la conectividad local del conjunto de Mandelbrot en todos los parámetros finitamente renormalizables ; es decir, en términos generales, aquellos contenidos sólo en un número finito de copias pequeñas de Mandelbrot. ^[23] Desde entonces, la conectividad local ha sido probada en muchos otros puntos de , pero la conjetura completa aún está abierta. ${\displaystyle M}$

autosimilitud

La autosimilitud en el conjunto de Mandelbrot se muestra al hacer zoom en una característica redonda mientras se realiza una panorámica en la dirección x negativa . El centro de la pantalla se desplaza hacia la izquierda desde la quinta a la séptima ronda con (-1,4002, 0) a (-1,4011, 0), mientras que la vista se amplía en un factor de 21,78 para aproximarse al cuadrado de la relación de Feigenbaum .

El conjunto de Mandelbrot es autosimilar bajo aumento en las proximidades de los puntos de Misiurewicz . También se conjetura que es autosimilar alrededor de puntos de Feigenbaum generalizados (por ejemplo, −1,401155 o −0,1528 + 1,0397 i ), en el sentido de converger a un conjunto límite. ^{[24] [25]} El conjunto de Mandelbrot en general es casi autosimilar, ya que se pueden encontrar pequeñas versiones ligeramente diferentes de sí mismo en escalas arbitrariamente pequeñas. Estas copias del conjunto de Mandelbrot son todas ligeramente diferentes, principalmente debido a los finos hilos que las conectan al cuerpo principal del conjunto. ^{[ cita necesaria ]}

Otros resultados

La dimensión de Hausdorff del límite del conjunto de Mandelbrot es igual a 2 según lo determinado por un resultado de Mitsuhiro Shishikura . ^[26] El hecho de que esto sea mayor en un número entero que su dimensión topológica, que es 1, refleja la naturaleza fractal extrema del límite del conjunto de Mandelbrot. En términos generales, el resultado de Shishikura establece que el límite establecido por Mandelbrot es tan "movible" que localmente llena el espacio con tanta eficiencia como una región plana bidimensional. Las curvas con dimensión de Hausdorff 2, a pesar de ser (topológicamente) unidimensionales, a menudo son capaces de tener un área distinta de cero (más formalmente, una medida de Lebesgue plana distinta de cero ). Si este es el caso de la frontera del conjunto de Mandelbrot es un problema no resuelto. ^{[ cita necesaria ]}

Se ha demostrado que el conjunto de Mandelbrot generalizado en espacios numéricos hipercomplejos de dimensiones superiores (es decir, cuando la potencia de la variable iterada tiende al infinito) es convergente a la esfera unitaria (-1). ^[27] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha }$

En el modelo de cálculo real de Blum-Shub-Smale , el conjunto de Mandelbrot no es computable, pero su complemento sí es computable . Muchos objetos simples (por ejemplo, el gráfico de exponenciación) tampoco son computables en el modelo BSS. En la actualidad, se desconoce si el conjunto de Mandelbrot es computable en modelos de computación real basados ​​en análisis computable , que corresponden más estrechamente a la noción intuitiva de "trazar el conjunto mediante una computadora". Hertling ha demostrado que el conjunto de Mandelbrot es computable en este modelo si la conjetura de hiperbolicidad es cierta. ^{[ cita necesaria ]}

Relación con Julia establece

Un mosaico hecho haciendo coincidir los conjuntos de Julia con sus valores de c en el plano complejo. El conjunto de Mandelbrot es un mapa de conjuntos de Julia conectados.

Como consecuencia de la definición del conjunto de Mandelbrot, existe una estrecha correspondencia entre la geometría del conjunto de Mandelbrot en un punto dado y la estructura del conjunto de Julia correspondiente . Por ejemplo, un valor de c pertenece al conjunto de Mandelbrot si y sólo si el conjunto de Julia correspondiente es conexo. Por tanto, el conjunto de Mandelbrot puede verse como un mapa de los conjuntos de Julia conectados. ^{[ cita necesaria ]}

Este principio se explota prácticamente en todos los resultados profundos del conjunto de Mandelbrot. Por ejemplo, Shishikura demostró que, para un conjunto denso de parámetros en el límite del conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia tiene dimensión dos de Hausdorff y luego transfiere esta información al plano de parámetros. ^[26] De manera similar, Yoccoz demostró por primera vez la conectividad local de los conjuntos de Julia, antes de establecerla para el conjunto de Mandelbrot en los parámetros correspondientes. ^[23]

Geometría

Para cada número racional , donde p y q son primos relativos , un componente hiperbólico del período q se bifurca del cardioide principal en un punto en el borde del cardioide correspondiente a un ángulo interno de . ^[28] La parte del conjunto de Mandelbrot conectada al cardioide principal en este punto de bifurcación se llama rama p / q . Los experimentos por computadora sugieren que el diámetro de la extremidad tiende a cero como . La mejor estimación actual conocida es la desigualdad de Yoccoz, que establece que el tamaño tiende a cero como . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q^{2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$

Un miembro de época q tendrá "antenas" en la parte superior de su miembro. El período de una bombilla determinada se determina contando estas antenas. El numerador del número de rotación, p , se encuentra numerando cada antena en el sentido contrario a las agujas del reloj desde el extremo del 1 al y encontrando qué antena es la más corta. ^[28] ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle q-1}$

Pi en el conjunto de Mandelbrot

En un intento de demostrar que el grosor de la rama p / q es cero, David Boll llevó a cabo un experimento informático en 1991, donde calculó el número de iteraciones necesarias para que la serie divergiese ( siendo la ubicación de la misma). Como la serie no diverge para el valor exacto de , el número de iteraciones requeridas aumenta con un pequeño . Resulta que multiplicar el valor de por el número de iteraciones requeridas produce una aproximación de que mejora cuanto más pequeño es . Por ejemplo, para = 0,0000001, el número de iteraciones es 31415928 y el producto es 3,1415928. ^[29] En 2001, Aaron Klebanoff demostró el descubrimiento de Boll. ^[30] ${\displaystyle z=-{\tfrac {3}{4}}+i\varepsilon }$ ${\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle z=-{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Secuencia de Fibonacci en el conjunto de Mandelbrot

El conjunto Mandelbrot presenta una forma cardioide fundamental adornada con numerosas bombillas directamente adheridas a él. ^[31] Comprender la disposición de estos bulbos requiere un examen detallado del límite del Conjunto Mandelbrot. A medida que uno se acerca a porciones específicas con una perspectiva geométrica, emerge información deducible precisa sobre la ubicación dentro del límite y el comportamiento dinámico correspondiente para los parámetros extraídos de las bombillas asociadas. ^[32]

La iteración del polinomio cuadrático , donde  es un parámetro extraído de uno de los bulbos adjuntos al cardioide principal dentro del Conjunto de Mandelbrot, da lugar a mapas que presentan ciclos de atracción de un período específico  y un número de rotación . En este contexto, el ciclo de atracción de exhibe un movimiento de rotación alrededor de un punto fijo central, completando un promedio de  revoluciones en cada iteración. ^{[32] [33]} ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p/q}$

Los bulbos del Conjunto Mandelbrot se distinguen tanto por sus ciclos de atracción como por las características geométricas de su estructura. Cada bombilla se caracteriza por una antena adherida que emana de un punto de unión y muestra un cierto número de radios indicativos de su período. Por ejemplo, la bombilla se identifica por su ciclo de atracción con un número de rotación de . Su distintiva estructura en forma de antena comprende un punto de unión del que emanan cinco radios. Entre estos radios, el llamado radio principal está directamente unido a la bombilla, y el radio no principal "más pequeño" está colocado aproximadamente a una vuelta en sentido antihorario del radio principal, lo que proporciona una identificación distintiva como una bombilla. ^[34] Esto plantea la pregunta: ¿cómo se puede discernir cuál de estos radios es el "más pequeño"? ^{[31] [34]} En la teoría de los rayos externos desarrollada por Douady y Hubbard. ^[35] hay precisamente dos rayos externos que aterrizan en el punto raíz de un componente hiperbólico satélite del Conjunto de Mandelbrot. Cada uno de estos rayos posee un ángulo externo que se duplica bajo el mapa de duplicación de ángulos . Según este teorema, cuando dos rayos llegan al mismo punto, ningún otro rayo entre ellos puede cruzarse. Por tanto, el "tamaño" de esta región se mide determinando la longitud del arco entre los dos ángulos. ^[32] ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle \theta \mapsto }$ ${\displaystyle 2\theta }$

Si el punto raíz del cardioide principal es la cúspide en , entonces el cardioide principal es el bulbo. El punto raíz de cualquier otra bombilla es simplemente el punto donde esta bombilla está unida al cardioide principal. Esto suscita la pregunta: ¿cuál es el bulbo más grande entre los puntos de raíz de los bulbos y -? Es claramente la bombilla. Y fíjate que se obtiene de las dos fracciones anteriores mediante la suma de Farey , es decir, sumando los numeradores y sumando los denominadores. ${\displaystyle c=1/4}$ ${\displaystyle 0/1}$ ${\displaystyle 0/1}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/3}$

${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

De manera similar, el bulbo más grande entre los bulbos y es el bulbo, nuevamente determinado por la suma de Farey. ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 2/5}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$

El bulbo más grande entre los bulbos y es el bulbo, mientras que el bulbo más grande entre los bulbos y es el bulbo, y así sucesivamente. ^{[32] [36]} La disposición de los bulbos dentro del conjunto de Mandelbrot sigue un patrón notable regido por el árbol de Farey , una estructura que abarca todos los racionales entre y . Este orden coloca los bulbos a lo largo del límite del cardioide principal precisamente de acuerdo con los números racionales en el intervalo unitario . ^[34] ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 3/7}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 3/8}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Secuencia de Fibonacci dentro del conjunto de Mandelbrot

Comenzando con el bulbo en la parte superior y avanzando hacia el círculo, la secuencia se desarrolla sistemáticamente: el bulbo más grande entre y es , entre y es , y así sucesivamente. ^[37] Curiosamente, los denominadores de los períodos de los bulbos circulares en escalas secuenciales en el Conjunto de Mandelbrot se ajustan a la secuencia numérica de Fibonacci , la secuencia que se forma sumando los dos términos anteriores: 1, 2, 3, 5, 8, 13. , 21... ^{[38] [39]} ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 3/8}$

La secuencia de Fibonacci se manifiesta en la cantidad de brazos espirales en un lugar único del conjunto de Mandelbrot, reflejados tanto en la parte superior como en la inferior. Esta ubicación distintiva exige el mayor número de iteraciones para obtener una imagen fractal detallada, con detalles intrincados que se repiten a medida que uno se acerca. ^[40]

Galería de imágenes de una secuencia de zoom

El límite del conjunto de Mandelbrot muestra detalles más intrincados cuanto más de cerca se mira o se amplía la imagen. El siguiente es un ejemplo de una secuencia de imágenes que se acerca a un valor c seleccionado .

La ampliación de la última imagen con respecto a la primera es de aproximadamente 10 ¹⁰ a 1. En relación con un monitor de computadora común , representa una sección de un conjunto de Mandelbrot con un diámetro de 4 millones de kilómetros.

• 
  Comenzar. Conjunto de Mandelbrot con ambiente continuamente coloreado.
• 
  Brecha entre la "cabeza" y el "cuerpo", también llamada "valle de los caballitos de mar"
• 
  Espirales dobles a la izquierda, "caballitos de mar" a la derecha
• 
  "Caballito de mar" al revés

El "cuerpo" del caballito de mar está compuesto por 25 "radios" que constan de dos grupos de 12 "radios" cada uno y un "radio" que se conecta al cardioide principal. Estos dos grupos pueden atribuirse, mediante alguna metamorfosis, a los dos "dedos" de la "mano superior" del conjunto de Mandelbrot; por lo tanto, el número de "radios" aumenta en 2 de un "caballo de mar" al siguiente; el "centro" es un punto Misiurewicz . Entre la "parte superior del cuerpo" y la "cola", hay una copia distorsionada del conjunto de Mandelbrot, llamado "satélite".

• 
  El punto final central de la "cola del caballito de mar" es también un punto Misiurewicz .
• 
  Parte de la "cola": solo hay un camino formado por estructuras delgadas que atraviesan toda la "cola". Este camino en zigzag pasa por los "centros" de los objetos grandes con 25 "radios" en el borde interior y exterior de la "cola"; por lo tanto, el conjunto de Mandelbrot es un conjunto simplemente conexo , lo que significa que no hay islas ni caminos circulares alrededor de un agujero.
• 
  Satélite. Las dos "colas de caballito de mar" son el comienzo de una serie de coronas concéntricas con el satélite en el centro.
• 
  Cada una de estas coronas consta de "colas de caballito de mar" similares; su número aumenta con potencias de 2, un fenómeno típico en el entorno de los satélites. El camino único hacia el centro de la espiral pasa el satélite desde la ranura del cardioide hasta la parte superior de la "antena" en la "cabeza".
• 
  "Antena" del satélite. Hay varios satélites de segundo orden.
• 
  El "valle de los caballitos de mar" del satélite. Todas las estructuras del principio reaparecen.
• 
  Espirales dobles y "caballos de mar": a diferencia de la segunda imagen del principio, tienen apéndices que consisten en estructuras como "colas de caballito de mar"; esto demuestra la unión típica de n + 1 estructuras diferentes en el entorno de los satélites del orden n , aquí para el caso más simple n = 1.
• 
  Espirales dobles con satélites de segundo orden: de forma análoga a los "caballos de mar", las espirales dobles pueden interpretarse como una metamorfosis de la "antena".
• 
  En la parte exterior de los apéndices se pueden reconocer islas de estructuras; tienen una forma como la de Julia establece J _c ; el más grande de ellos se puede encontrar en el centro del "doble gancho" del lado derecho.
• 
  Parte del "doble gancho".
• 
  Islas.
• 
  Un detalle de una isla.
• 
  Detalle de la espiral.

Las islas en el penúltimo paso parecen constar de infinitas partes, como es el caso del correspondiente conjunto de Julia . Están conectados por estructuras diminutas, de modo que el conjunto representa un conjunto simplemente conexo. Las diminutas estructuras se encuentran en el centro de un satélite que es demasiado pequeño para ser reconocido con este aumento. El valor de para la correspondiente no es el centro de la imagen pero, en relación con el cuerpo principal del conjunto de Mandelbrot, tiene la misma posición que el centro de esta imagen en relación con el satélite mostrado en el sexto paso. ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle J_{c}}$

Estructura interior

Si bien el conjunto de Mandelbrot normalmente se representa mostrando detalles de los límites exteriores, también se puede revelar la estructura dentro del conjunto acotado. Por ejemplo, al calcular si un valor de c determinado está vinculado o no, mientras permanece vinculado, el valor máximo que alcanza este número se puede comparar con el valor de c en esa ubicación. Si se utiliza el método de suma de cuadrados, el número calculado sería max:(real^2 + imaginary^2) - c:(real^2 + imaginary^2). La magnitud de este cálculo se puede representar como un valor en un gradiente.

Esto produce resultados como los siguientes: gradientes con bordes y contornos distintos a medida que se acercan a los límites. Las animaciones sirven para resaltar los límites del degradado.

• 
  Estructura de gradiente animada dentro del conjunto de Mandelbrot
• 
  Estructura de degradado animada dentro del conjunto de Mandelbrot, detalle
• 
  Representación de iteraciones progresivas de 285 a aproximadamente 200 000 con los correspondientes gradientes acotados animados
• Miniatura de degradado en iteraciones progresivas

Generalizaciones

Animaciones del Multibrot configurado para d de 0 a 5 (izquierda) y de 0,05 a 2 (derecha).

Un conjunto de Julia 4D se puede proyectar o seccionar en 3D, y debido a esto también es posible un Mandelbrot 4D.

Conjuntos multibrot

Los conjuntos multibrot son conjuntos acotados que se encuentran en el plano complejo para miembros de la familia de recursiones polinómicas univariadas mónicas generales.

${\displaystyle z\mapsto z^{d}+c}$. ^{[ cita necesaria ]}

Para un número entero d , estos conjuntos son lugares geométricos de conectividad para los conjuntos de Julia construidos a partir de la misma fórmula. También se ha estudiado el lugar geométrico de conectividad cúbica total; aquí se considera la recursividad de dos parámetros , cuyos dos puntos críticos son las raíces cuadradas complejas del parámetro k . Un parámetro está en el lugar geométrico de conectividad cúbica si ambos puntos críticos son estables. ^[41] Para familias generales de funciones holomorfas , el límite del conjunto de Mandelbrot se generaliza al lugar de bifurcación . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle z\mapsto z^{3}+3kz+c}$

El conjunto Multibrot se obtiene variando el valor del exponente d . El artículo tiene un vídeo que muestra el desarrollo de d = 0 a 7, momento en el que hay 6, es decir, lóbulos alrededor del perímetro . En general, cuando d es un número entero positivo, la región central en cada uno de estos conjuntos es siempre una epicicloide de cúspides. Un desarrollo similar con exponentes integrales negativos da como resultado hendiduras en el interior de un anillo, donde la región central principal del conjunto es una hipocicloide de cúspides. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle (1-d)}$ ${\displaystyle (1-d)}$

Dimensiones superiores

No existe una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot en 3D, porque no existe un análogo 3D de los números complejos para iterar. Hay una extensión de los números complejos en 4 dimensiones, los cuaterniones , que crean una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia en 4 dimensiones. ^[42] Estos pueden luego ser cortados transversalmente o proyectados en una estructura 3D. El conjunto de Mandelbrot cuaternión (cuatridimensional) es simplemente un sólido de revolución del conjunto de Mandelbrot bidimensional (en el plano jk) y, por lo tanto, no es interesante de observar. ^[42] Tomar una sección transversal tridimensional en da como resultado un sólido de revolución del conjunto de Mandelbrot bidimensional alrededor del eje real. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle d=0\ (q=a+bi+cj+dk)}$

Otras asignaciones no analíticas

Imagen del fractal Tricornio/Mandelbar

De particular interés es el fractal tricornio , el lugar de conexión de la familia antiholomórfica.

${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c}$.

Milnor encontró el tricornio (también llamado a veces Mandelbar ) en su estudio de cortes de parámetros de polinomios cúbicos reales . No está conectado localmente. Esta propiedad es heredada por el lugar geométrico de conexidad de polinomios cúbicos reales.

Otra generalización no analítica es el fractal Barco Ardiente , que se obtiene iterando lo siguiente:

${\displaystyle z\mapsto (|\Re \left(z\right)|+i|\Im \left(z\right)|)^{2}+c}$.

Dibujos por computadora

Existe una multitud de algoritmos diferentes para trazar el conjunto de Mandelbrot mediante un dispositivo informático. Aquí se demostrará el algoritmo más utilizado y más simple, es decir, el ingenuo "algoritmo de tiempo de escape". En el algoritmo de tiempo de escape, se realiza un cálculo repetido para cada punto x , y en el área de trazado y, según el comportamiento de ese cálculo, se elige un color para ese píxel.

Las ubicaciones xey de cada punto se utilizan como valores iniciales en un cálculo repetido o iterativo (descrito en detalle a continuación). El resultado de cada iteración se utiliza como valor inicial para la siguiente. Los valores se verifican durante cada iteración para ver si han alcanzado una condición crítica de "escape" o "rescate". Si se alcanza esa condición, se detiene el cálculo, se dibuja el píxel y se examina el siguiente punto x , y .

El color de cada punto representa la rapidez con la que los valores alcanzaron el punto de escape. A menudo se utiliza el negro para mostrar valores que no logran escapar antes del límite de iteración, y se utilizan colores gradualmente más brillantes para los puntos que se escapan. Esto proporciona una representación visual de cuántos ciclos fueron necesarios antes de alcanzar la condición de escape.

Para representar una imagen de este tipo, la región del plano complejo que estamos considerando se subdivide en un cierto número de píxeles . Para colorear cualquiera de esos píxeles, sea el punto medio de ese píxel. Itere el punto crítico 0 en , comprobando en cada paso si el punto de la órbita tiene un radio mayor que 2. Cuando este sea el caso, no pertenece al conjunto de Mandelbrot, y coloree el píxel según el número de iteraciones utilizadas para averiguarlo. . De lo contrario, siga iterando hasta un número fijo de pasos, después de lo cual decidimos que nuestro parámetro está "probablemente" en el conjunto de Mandelbrot, o al menos muy cerca de él, y coloreamos el píxel de negro. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle c}$

En pseudocódigo , este algoritmo tendría el siguiente aspecto. El algoritmo no utiliza números complejos y simula manualmente operaciones con números complejos utilizando dos números reales, para aquellos que no tienen un tipo de datos complejos . El programa puede simplificarse si el lenguaje de programación incluye operaciones de tipo de datos complejos .

para cada píxel (Px, Py) en la pantalla, haga x0: = coordenada x escalada del píxel (escalada para que se encuentre en la escala Mandelbrot X (-2,00, 0,47)) y0: = coordenada y escalada del píxel (escalada para que se encuentre en la escala Y de Mandelbrot (-1,12, 1,12)) x:= 0,0 y := 0.0 iteración: = 0 iteración_max := 1000 mientras que (x^2 + y^2 ≤ 2^2 AND iteración <max_iteration) lo hacemos xtemp := x*x - y^2 + x0 y := 2*x*y + y0 x := xtemp iteración: = iteración + 1

 color := paleta[iteración] trama(Px, Py, color)

Aquí, relacionando el pseudocódigo con y : ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f_{c}}$

• ${\displaystyle z=x+iy}$
• ${\displaystyle z^{2}=x^{2}+i2xy-y^{2}}$
• ${\displaystyle c=x_{0}+iy_{0}}$

y así, como se puede ver en el pseudocódigo en el cálculo de xey :

• ${\displaystyle x=\mathop {\mathrm {Re} } (z^{2}+c)=x^{2}-y^{2}+x_{0}}$y . ${\displaystyle y=\mathop {\mathrm {Im} } (z^{2}+c)=2xy+y_{0}}$

Para obtener imágenes coloridas del conjunto, la asignación de un color a cada valor del número de iteraciones ejecutadas se puede realizar utilizando una variedad de funciones (lineal, exponencial, etc.).

Referencias en la cultura popular

El conjunto de Mandelbrot se considera ampliamente el fractal más popular , ^{[43] [44]} y se ha hecho referencia a él varias veces en la cultura popular .

• La canción de Jonathan Coulton "Mandelbrot Set" es un homenaje tanto al fractal en sí como al hombre que le da nombre, Benoit Mandelbrot. ^[45]
• Varios títulos de canciones del álbum debut de 1999 de Blue Man Group , Audio , se refieren al conjunto de Mandelbrot. Estos son "Opening Mandelbrot", "Mandelgroove" y "Klein Mandelbrot". ^[46]
• El segundo libro de la serie Mode de Piers Anthony , Fractal Mode , describe un mundo que es un modelo 3D perfecto del decorado. ^[47]
• La novela de Arthur C. Clarke, El fantasma de los Grandes Bancos, presenta un lago artificial hecho para replicar la forma del decorado de Mandelbrot. ^[48]
• Benoit Mandelbrot y el grupo del mismo nombre fueron los temas del Doodle de Google el 20 de noviembre de 2020 (el cumpleaños número 96 del difunto Benoit Mandelbrot). ^[49]
• La banda de rock estadounidense Heart tiene una imagen de un Mandelbrot en la portada de su álbum de 2004, Jupiters Darling .
• La banda británica de black metal Anaal Nathrakh utiliza una imagen que se asemeja al set de Mandelbrot en la portada de su álbum Eschaton .
• La serie de televisión Dirk Gfully's Holistic Detective Agency (2016) presenta de manera destacada el escenario de Mandelbrot en relación con las visiones del personaje Amanda. En la segunda temporada, su chaqueta tiene una imagen grande del fractal en la espalda. ^[50]
• En el libro Flatterland de Ian Stewart de 2001 , hay un personaje llamado Mandelblot, que ayuda a explicar los fractales a los personajes y al lector. ^[51]
• La serie de cómics inacabada de Alan Moore de 1990, Big Numbers, utilizó el trabajo de Mandelbrot sobre geometría fractal y teoría del caos para sustentar la estructura de ese trabajo. Moore en un momento iba a nombrar la serie de cómics The Mandelbrot Set . ^[52]
• En el manga The Summer Hikaru Died , Yoshiki alucina al set de Mandelbrot cuando mete la mano en el cuerpo del falso Hikaru.

Ver también

• buddhabrot
• fractal colatz
• Fractint
• Permutación de Gilbreath
• Mandelbox
• bulbo mandel
• esponja menger
• Fractal de Newton
• retrato orbital
• trampa orbital
• Tallo de recogida
• Algoritmos de trazado para el conjunto de Mandelbrot

Referencias

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Otras lecturas

• Milnor, John W. (2006). Dinámica en una variable compleja . Anales de estudios de matemáticas. vol. 160 (Tercera ed.). Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-12488-4.
  (Apareció por primera vez en 1990 como preimpresión de Stony Brook IMS, disponible como arXiV:math.DS/9201272)
• Lesmoir-Gordon, Nigel (2004). Los colores del infinito: la belleza, el poder y el sentido de los fractales . Borrar prensa. ISBN 1-904555-05-5.
  (incluye un DVD con Arthur C. Clarke y David Gilmour )
• Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut ; Saupé, Dietmar (2004) [1992]. Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-20229-3.

enlaces externos

• Caos y fractales en Curlie
• Vídeo: zoom fractal de Mandelbrot a 6.066 e228
• Explicación relativamente sencilla del proceso matemático, por la Dra. Holly Krieger , MIT
• Mandelbrot Viewer: renderizador de conjuntos de Mandelbrot basado en navegador que incluye una galería con ejemplos.
• Varios algoritmos para calcular el conjunto de Mandelbrot (en el Código Rosetta )
• Calculadora fractal escrita en lua por Deyan Dobromiroiv, Sofía, Bulgaria