En matemáticas , el cuadrado mágico de Freudenthal (o cuadrado mágico de Freudenthal–Tits ) es una construcción que relaciona varias álgebras de Lie (y sus grupos de Lie asociados ). Recibe su nombre en honor a Hans Freudenthal y Jacques Tits , quienes desarrollaron la idea de forma independiente. Asocia un álgebra de Lie a un par de álgebras de división A , B. Las álgebras de Lie resultantes tienen diagramas de Dynkin según la tabla de la derecha. La "magia" del cuadrado mágico de Freudenthal es que el álgebra de Lie construida es simétrica en A y B , a pesar de que la construcción original no es simétrica, aunque el método simétrico de Vinberg da una construcción simétrica.
El cuadrado mágico de Freudenthal incluye todos los grupos de Lie excepcionales excepto G 2 , y proporciona un enfoque posible para justificar la afirmación de que "todos los grupos de Lie excepcionales existen debido a los octoniones ": G 2 en sí mismo es el grupo de automorfismo de los octoniones (además, es en muchos sentidos como un grupo de Lie clásico porque es el estabilizador de una forma genérica tridimensional en un espacio vectorial heptadimensional; véase espacio vectorial prehomogéneo ).
Consulte la historia para conocer el contexto y la motivación. Estas fueron construidas originalmente alrededor de 1958 por Freudenthal y Tits, y en años posteriores se les agregaron formulaciones más elegantes. [1]
El enfoque de Tits, descubierto alrededor de 1958 y publicado en (Tits 1966), es el siguiente.
Asociada con cualquier álgebra de división real normada A (es decir, R, C, H u O) existe un álgebra de Jordan , J 3 ( A ), de matrices hermíticas A 3 × 3 . Para cualquier par ( A , B ) de tales álgebras de división, se puede definir un álgebra de Lie
donde denota el álgebra de Lie de derivaciones de un álgebra, y el subíndice 0 denota la parte libre de trazas . El álgebra de Lie L tiene como subálgebra, y esto actúa naturalmente sobre . El corchete de Lie sobre (que no es una subálgebra) no es obvio, pero Tits mostró cómo se podía definir, y que produjo la siguiente tabla de álgebras de Lie compactas .
Por construcción, la fila de la tabla con A = R da , y de manera similar viceversa.
La "magia" del cuadrado mágico de Freudenthal es que el álgebra de Lie construida es simétrica en A y B . Esto no es obvio a partir de la construcción de Tits. Ernest Vinberg dio una construcción que es manifiestamente simétrica, en (Vinberg 1966). En lugar de utilizar un álgebra de Jordan, utiliza un álgebra de matrices libres de trazas antihermíticas con entradas en A ⊗ B , denotadas . Vinberg define una estructura de álgebra de Lie en
Cuando A y B no tienen derivaciones (es decir, R o C ), este es solo el corchete de Lie (conmutador) en . En presencia de derivaciones, estas forman una subálgebra que actúa naturalmente sobre como en la construcción de Tits, y el corchete de conmutador sin traza en se modifica por una expresión con valores en .
Una construcción más reciente, debida a Pierre Ramond (Ramond 1976) y Bruce Allison (Allison 1978) y desarrollada por Chris Barton y Anthony Sudbery, utiliza la trialidad en la forma desarrollada por John Frank Adams ; esto fue presentado en (Barton & Sudbery 2000), y en forma simplificada en (Barton & Sudbery 2003). Mientras que la construcción de Vinberg se basa en los grupos de automorfismos de un álgebra de división A (o más bien sus álgebras de Lie de derivaciones), Barton y Sudbery utilizan el grupo de automorfismos de la trialidad correspondiente. La trialidad es la función trilineal
se obtiene tomando tres copias del álgebra de división A y usando el producto interno de A para dualizar la multiplicación. El grupo de automorfismos es el subgrupo de SO( A 1 ) × SO( A 2 ) × SO( A 3 ) que preserva esta función trilineal. Se denota Tri( A ). La siguiente tabla compara su álgebra de Lie con el álgebra de Lie de derivaciones.
Luego, Barton y Sudbery identifican el álgebra de Lie del cuadrado mágico correspondiente a ( A , B ) con una estructura de álgebra de Lie en el espacio vectorial.
El corchete de Lie es compatible con una gradación Z 2 × Z 2 , con tri ( A ) y tri ( B ) en grado (0,0), y las tres copias de A ⊗ B en grados (0,1), (1,0) y (1,1). El corchete preserva tri ( A ) y tri ( B ) y estos actúan naturalmente sobre las tres copias de A ⊗ B , como en las otras construcciones, pero los corchetes entre estas tres copias están más restringidos.
Por ejemplo, cuando A y B son los octoniones, la trialidad es la de Spin(8), la doble cobertura de SO(8) y la descripción de Barton-Sudbery produce
donde V, S + y S− son las tres representaciones de 8 dimensiones de (la representación fundamental y las dos representaciones de espín ), y los objetos con sombrero son una copia isomórfica.
Con respecto a una de las gradaciones de Z 2 , los tres primeros sumandos se combinan para dar y los dos últimos juntos forman una de sus representaciones de espín Δ + 128 (el superíndice denota la dimensión). Esta es una descomposición simétrica bien conocida de E8 .
La construcción de Barton-Sudbery extiende esto a las demás álgebras de Lie del cuadrado mágico. En particular, para las álgebras de Lie excepcionales de la última fila (o columna), las descomposiciones simétricas son:
Además de las álgebras de división normadas , existen otras álgebras de composición sobre R , a saber, los números complejos divididos , los cuaterniones divididos y los octoniones divididos . Si se utilizan estos en lugar de los números complejos, cuaterniones y octoniones, se obtiene la siguiente variante del cuadrado mágico (donde las versiones divididas de las álgebras de división se denotan con un primo).
Aquí todas las álgebras de Lie son la forma real dividida excepto so 3 , pero un cambio de signo en la definición del corchete de Lie se puede utilizar para producir la forma dividida so 2,1 . En particular, para las álgebras de Lie excepcionales, las subálgebras compactas máximas son las siguientes:
También se puede obtener una versión no simétrica del cuadrado mágico combinando las álgebras de división con las álgebras de división habituales. Según Barton y Sudbery, la tabla resultante de álgebras de Lie es la siguiente.
Las álgebras de Lie verdaderamente excepcionales que aparecen aquí pueden describirse nuevamente mediante sus subálgebras compactas máximas.
Las formas divididas de las álgebras de composición y las álgebras de Lie se pueden definir sobre cualquier cuerpo K. Esto produce el siguiente cuadrado mágico.
Existe cierta ambigüedad aquí si K no es algebraicamente cerrado. En el caso de K = C , esta es la complejización de los cuadrados mágicos de Freudenthal para R discutidos hasta ahora.
Los cuadrados analizados hasta ahora están relacionados con las álgebras de Jordan J 3 ( A ), donde A es un álgebra de división. También existen álgebras de Jordan J n ( A ), para cualquier entero positivo n , siempre que A sea asociativo. Estas producen formas divididas (sobre cualquier cuerpo K ) y formas compactas (sobre R ) de cuadrados mágicos generalizados.
Para n = 2, J 2 ( O ) también es un álgebra de Jordan. En el caso compacto (sobre R ) esto produce un cuadrado mágico de álgebras de Lie ortogonales.
La última fila y columna aquí son la parte del álgebra ortogonal del álgebra de isotropía en la descomposición simétrica de las álgebras de Lie excepcionales mencionadas anteriormente.
Estas construcciones están estrechamente relacionadas con los espacios simétricos hermíticos – cf. espacios vectoriales prehomogéneos .
Los espacios simétricos de Riemann , tanto compactos como no compactos, se pueden clasificar de manera uniforme utilizando una construcción de cuadrado mágico, en (Huang & Leung 2010). Los espacios simétricos compactos irreducibles son, hasta cubiertas finitas, un grupo de Lie simple compacto, un Grassmanniano, un Grassmanniano de Lagrange o un Grassmanniano de Lagrange doble de subespacios de para las álgebras de división normadas A y B. Una construcción similar produce los espacios simétricos no compactos irreducibles.
Tras el descubrimiento por Ruth Moufang en 1933 del plano proyectivo de Cayley o "plano proyectivo octoniónico" P 2 ( O ), cuyo grupo de simetría es el grupo de Lie excepcional F 4 , y con el conocimiento de que G 2 es el grupo de automorfismos de los octoniones, Rozenfeld (1956) propuso que los restantes grupos de Lie excepcionales E 6 , E 7 y E 8 son grupos de isomorfismos de planos proyectivos sobre ciertas álgebras sobre los octoniones: [1]
Esta propuesta es atractiva, ya que hay ciertos espacios simétricos riemannianos compactos excepcionales con los grupos de simetría deseados y cuya dimensión concuerda con la de los supuestos planos proyectivos (dim( P 2 ( K ⊗ K ′)) = 2 dim( K )dim( K ′)), y esto daría una construcción uniforme de los grupos de Lie excepcionales como simetrías de objetos naturales (es decir, sin un conocimiento a priori de los grupos de Lie excepcionales). Los espacios simétricos riemannianos fueron clasificados por Cartan en 1926 (las etiquetas de Cartan se utilizan a continuación); véase la clasificación para más detalles, y los espacios relevantes son:
La dificultad con esta propuesta es que mientras que los octoniones son un álgebra de división, y por lo tanto se define un plano proyectivo sobre ellos, los bioctoniones, cuateroctoniones y octooctoniones no son álgebras de división, y por lo tanto la definición usual de un plano proyectivo no funciona. Esto se puede resolver para los bioctoniones, con el plano proyectivo resultante siendo el plano de Cayley complejizado, pero las construcciones no funcionan para los cuateroctoniones y octooctoniones, y los espacios en cuestión no obedecen a los axiomas usuales de los planos proyectivos, [1] de ahí las comillas sobre "plano proyectivo (putativo)". Sin embargo, el espacio tangente en cada punto de estos espacios se puede identificar con el plano ( H ⊗ O ) 2 , o ( O ⊗ O ) 2 justificando aún más la intuición de que estos son una forma de plano proyectivo generalizado. [2] [3] Por consiguiente, los espacios resultantes se denominan a veces planos proyectivos de Rosenfeld y se anotan como si fueran planos proyectivos. En términos más generales, estas formas compactas son los planos proyectivos elípticos de Rosenfeld , mientras que las formas duales no compactas son los planos proyectivos hiperbólicos de Rosenfeld . Una presentación más moderna de las ideas de Rosenfeld se encuentra en (Rosenfeld 1997), mientras que una breve nota sobre estos "planos" se encuentra en (Besse 1987, pp. 313-316). [4]
Los espacios se pueden construir utilizando la teoría de edificios de Tits, que permite construir una geometría con cualquier grupo algebraico dado como simetrías, pero esto requiere comenzar con los grupos de Lie y construir una geometría a partir de ellos, en lugar de construir una geometría independientemente del conocimiento de los grupos de Lie. [1]
Mientras que a nivel de variedades y grupos de Lie, la construcción del plano proyectivo P 2 ( K ⊗ K ′) de dos álgebras de división normadas no funciona, la construcción correspondiente a nivel de álgebras de Lie sí funciona. Es decir, si uno descompone el álgebra de Lie de isometrías infinitesimales del plano proyectivo P 2 ( K ) y aplica el mismo análisis a P 2 ( K ⊗ K ′), uno puede usar esta descomposición, que se cumple cuando P 2 ( K ⊗ K ′) puede realmente definirse como un plano proyectivo, como una definición de un "álgebra de Lie de cuadrado mágico" M ( K , K ′). Esta definición es puramente algebraica, y se cumple incluso sin asumir la existencia del espacio geométrico correspondiente. Esto se hizo de forma independiente alrededor de 1958 en (Tits 1966) y por Freudenthal en una serie de 11 artículos, comenzando con (Freudenthal 1954a) y terminando con (Freudenthal 1963), aunque la construcción simplificada descrita aquí se debe a (Vinberg 1966). [1]
