Métodos de Monte Carlo en finanzas

Métodos de medición probabilísticos

Los métodos de Monte Carlo se utilizan en finanzas corporativas y finanzas matemáticas para valorar y analizar instrumentos (complejos), carteras e inversiones simulando las diversas fuentes de incertidumbre que afectan su valory luego determinando la distribución de su valor en el rango de resultados resultantes. ^{[1] [2]} Esto generalmente se hace con la ayuda de modelos de activos estocásticos . La ventaja de los métodos de Monte Carlo sobre otras técnicas aumenta a medida que aumentan las dimensiones (fuentes de incertidumbre) del problema.

Los métodos de Monte Carlo fueron introducidos por primera vez en el ámbito financiero en 1964 por David B. Hertz a través de su artículo en Harvard Business Review ^[3] , en el que analizaba su aplicación en las finanzas corporativas . En 1977, Phelim Boyle fue pionero en el uso de la simulación en la valoración de derivados en su influyente artículo en Journal of Financial Economics ^[4] .

En este artículo se analizan problemas financieros típicos en los que se utilizan métodos de Monte Carlo. También se aborda el uso de los métodos denominados "cuasi-aleatorios", como el uso de secuencias de Sobol .

Descripción general

El método de Monte Carlo abarca cualquier técnica de muestreo estadístico empleada para aproximar soluciones a problemas cuantitativos. ^[5] Esencialmente, el método de Monte Carlo resuelve un problema simulando directamente el proceso (físico) subyacente y luego calculando el resultado (promedio) del proceso. ^[1] Este enfoque muy general es válido en áreas como la física , la química , la informática , etc.

En finanzas , el método de Monte Carlo se utiliza para simular las diversas fuentes de incertidumbre que afectan el valor del instrumento , cartera o inversión en cuestión, y luego calcular un valor representativo dados estos posibles valores de los insumos subyacentes. ^[1] ("Cubrir todas las contingencias concebibles del mundo real en proporción a su probabilidad". ^[6] ) En términos de teoría financiera , esto, esencialmente, es una aplicación de la valoración neutral al riesgo ; ^[7] ver también neutralidad al riesgo .

Aplicaciones:

• En Finanzas Corporativas , ^{[8] [9] [10]} financiación de proyectos ^[8] y análisis de opciones reales , ^[1] los métodos de Monte Carlo son utilizados por analistas financieros que desean construir modelos financieros " estocásticos " o probabilísticos en oposición a los modelos tradicionales estáticos y deterministas . Aquí, para analizar las características del valor actual neto (VAN) de un proyecto, se modelan los componentes del flujo de efectivo que están (fuertemente ^[10] ) impactados por la incertidumbre , incorporando cualquier correlación entre estos, reflejando matemáticamente sus "características aleatorias". Luego, estos resultados se combinan en un histograma de VAN (es decir, la distribución de probabilidad del proyecto ), y se observa el VAN promedio de la inversión potencial, así como su volatilidad y otras sensibilidades. Esta distribución permite, por ejemplo, una estimación de la probabilidad de que el proyecto tenga un valor actual neto mayor que cero (o cualquier otro valor). ^[11] Ver más en Finanzas Corporativas.

• Al valorar una opción sobre acciones , la simulación genera varios miles de posibles (pero aleatorios) trayectorias de precios para la acción subyacente, con el valor de ejercicio asociado (es decir, "pago") de la opción para cada trayectoria. Luego, estos pagos se promedian y se descuentan al día de hoy, y este resultado es el valor de la opción hoy. ^[12] Tenga en cuenta que, mientras que las opciones sobre acciones se valoran más comúnmente utilizando otros modelos de precios , como los modelos basados ​​en celosía , para los derivados exóticos que dependen de la trayectoria , como las opciones asiáticas , la simulación es el método de valoración más comúnmente empleado; consulte los métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones para obtener información sobre modelos de opciones adicionales (y más complejos ).

• Para valorar los instrumentos de renta fija y los derivados de tipos de interés, la fuente subyacente de incertidumbre que se simula es el tipo de interés a corto plazo (el tipo de interés anualizado al que una entidad puede pedir dinero prestado durante un periodo de tiempo determinado; véase el modelo de tipo de interés a corto plazo ). Por ejemplo, para los bonos y las opciones sobre bonos ^[13], bajo cada posible evolución de los tipos de interés observamos una curva de rendimiento diferente y un precio de bono resultante diferente . Para determinar el valor del bono, se promedian estos precios de bonos; para valorar la opción sobre bonos, al igual que para las opciones sobre acciones, se promedian los valores de ejercicio correspondientes y se valoran en valor actual. Se utiliza un enfoque similar para valorar los swaps , swaptions ^[14] y bonos convertibles ^[15] . En cuanto a las acciones, para los derivados de tipos de interés dependientes de la trayectoria (como los CMO ) , la simulación es la técnica principal empleada ^[16] (nótese que "para crear simulaciones realistas de tipos de interés" a veces se emplean modelos de tipos de interés a corto plazo multifactoriales ^[17] ) .

• Los métodos de Monte Carlo se utilizan para la evaluación de carteras . ^[18] Aquí, para cada muestra, se simula el comportamiento correlacionado de los factores que impactan los instrumentos componentes a lo largo del tiempo, se calcula el valor resultante de cada instrumento y luego se observa el valor de la cartera. En cuanto a las finanzas corporativas, anteriormente, los diversos valores de la cartera se combinan en un histograma , se observan las características estadísticas de la cartera y se evalúa la cartera según sea necesario. Aquí los analistas pueden aplicar el análisis de componentes principales , donde a través de la reducción de la dimensionalidad , se puede simular un conjunto limitado de factores en lugar de cada una de las fuentes individuales de incertidumbre.

• Un enfoque similar se utiliza para calcular el valor en riesgo [ ^{19] [20]} o "VaR", una estimación de cuánto podría perder una posición, "mesa" u otra área con una probabilidad dada (o nivel de confianza ) y en un período de tiempo determinado. Una aplicación típica del VaR es en la banca de inversión , donde el banco posee un "capital de riesgo" económico correspondiente al número estimado; consulte Gestión de riesgos financieros § Banca . El VaR también se utiliza en la gestión de riesgos de cartera , donde, como se mencionó anteriormente, la simulación permite al administrador del fondo estimar las pérdidas en un horizonte y nivel de confianza dados ^[21] y luego cubrirlas según corresponda.

• Los estructuradores utilizan la simulación para estimar el pago probable -y la posibilidad de pérdidas- de su nota estructurada a medida u otro producto estructurado , que normalmente comprende varios valores componentes. ^[22]

• Los métodos de Monte Carlo se utilizan para la planificación financiera personal . ^{[23] [24]} Por ejemplo, simulando el mercado en general, se pueden calcular las probabilidades de que un plan 401(k) permita la jubilación con un ingreso objetivo. Según corresponda, el trabajador en cuestión puede asumir mayores riesgos con la cartera de jubilación o comenzar a ahorrar más dinero.

• La simulación de eventos discretos se puede utilizar para evaluar el impacto de una inversión de capital propuesta en las operaciones existentes. En este caso, se construye un modelo de "estado actual". Una vez que funciona correctamente, después de haber sido probada y validada con datos históricos, la simulación se modifica para reflejar la inversión de capital propuesta. Este modelo de "estado futuro" se utiliza luego para evaluar la inversión, evaluando la mejora en el rendimiento (es decir, el rendimiento) en relación con el costo (a través del histograma como se indica más arriba); también se puede utilizar para realizar pruebas de estrés del diseño. Consulte Simulación de eventos discretos § Evaluación de decisiones de inversión de capital .

Aunque los métodos de Monte Carlo brindan flexibilidad y pueden manejar múltiples fuentes de incertidumbre, el uso de estas técnicas no siempre es apropiado. En general, los métodos de simulación se prefieren a otras técnicas de valoración solo cuando existen varias variables de estado (es decir, varias fuentes de incertidumbre). ^[1] Estas técnicas también son de uso limitado en la valoración de derivados de estilo americano. Véase a continuación.

Aplicabilidad

Nivel de complejidad

Muchos problemas en finanzas matemáticas implican el cálculo de una integral particular (por ejemplo, el problema de encontrar el valor libre de arbitraje de una derivada particular ). En muchos casos, estas integrales se pueden valorar analíticamente y, en aún más casos, se pueden valorar utilizando la integración numérica o calcular utilizando una ecuación diferencial parcial (EDP). Sin embargo, cuando el número de dimensiones (o grados de libertad) en el problema es grande, las EDP y las integrales numéricas se vuelven intratables y, en estos casos, los métodos de Monte Carlo a menudo dan mejores resultados.

Para más de tres o cuatro variables de estado, no existen fórmulas como Black-Scholes (es decir, soluciones analíticas ), mientras que otros métodos numéricos como el modelo de valoración de opciones binomial y los métodos de diferencias finitas enfrentan varias dificultades y no son prácticos. En estos casos, los métodos de Monte Carlo convergen a la solución más rápidamente que los métodos numéricos, requieren menos memoria y son más fáciles de programar. Sin embargo, para situaciones más simples, la simulación no es la mejor solución porque requiere mucho tiempo y es computacionalmente intensiva.

Los métodos de Monte Carlo pueden manejar derivadas que tienen pagos dependientes de la trayectoria de una manera bastante sencilla. Por otro lado, los solucionadores de diferencias finitas (EDP) tienen dificultades con la dependencia de la trayectoria.

Opciones americanas

Los métodos de Monte Carlo son más difíciles de utilizar con opciones americanas . Esto se debe a que, a diferencia de una ecuación diferencial parcial , el método de Monte Carlo en realidad solo estima el valor de la opción suponiendo un punto de partida y un tiempo determinados.

Sin embargo, para un ejercicio temprano, también necesitaríamos conocer el valor de la opción en los momentos intermedios entre el momento de inicio de la simulación y el momento de vencimiento de la opción. En el enfoque de PDE de Black-Scholes , estos precios se obtienen fácilmente, porque la simulación se ejecuta hacia atrás desde la fecha de vencimiento. En Montecarlo, esta información es más difícil de obtener, pero se puede hacer, por ejemplo, utilizando el algoritmo de mínimos cuadrados de Carriere (ver enlace al artículo original) ^{[ cita requerida ]} que se hizo popular unos años más tarde por Longstaff y Schwartz (ver enlace al artículo original) ^{[ cita requerida ]} .

Métodos de Monte Carlo

Matemáticamente

El teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje establece que el valor de una derivada es igual al valor esperado descontado del resultado de la derivada cuando la expectativa se toma bajo la medida neutral al riesgo ^[1] . Una expectativa es, en el lenguaje de las matemáticas puras , simplemente una integral con respecto a la medida. Los métodos de Monte Carlo son ideales para evaluar integrales difíciles (véase también el método de Monte Carlo ).

Por lo tanto, si suponemos que nuestro espacio de probabilidad neutral al riesgo es y que tenemos una derivada H que depende de un conjunto de instrumentos subyacentes . Entonces, dada una muestra del espacio de probabilidad, el valor de la derivada es . El valor actual de la derivada se obtiene tomando la expectativa sobre todas las muestras posibles y descontando a la tasa libre de riesgo. Es decir, la derivada tiene valor: ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle S_{1},...,S_{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H(S_{1}(\omega ),S_{2}(\omega ),\dots ,S_{n}(\omega ))=:H(\omega )}$

${\displaystyle H_{0}={DF}_{T}\int _{\omega }H(\omega )\,d\mathbb {P} (\omega )}$

donde es el factor de descuento correspondiente a la tasa libre de riesgo a la fecha de vencimiento final T años en el futuro. ${\displaystyle {DF}_{T}}$

Ahora supongamos que la integral es difícil de calcular. Podemos aproximarla generando rutas de muestra y luego tomando un promedio. Supongamos que generamos N muestras y luego

${\displaystyle H_{0}\approx {DF}_{T}{\frac {1}{N}}\sum _{\omega \in {\text{sample set}}}H(\omega )}$

lo cual es mucho más fácil de calcular.

Rutas de muestra para modelos estándar

En finanzas, se suele suponer que las variables aleatorias subyacentes (como el precio de una acción subyacente) siguen una trayectoria que es función de un movimiento browniano ² . Por ejemplo, en el modelo estándar de Black-Scholes , el precio de la acción evoluciona como

${\displaystyle dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW_{t}.}$

Para muestrear una trayectoria que siga esta distribución desde el tiempo 0 hasta T, cortamos el intervalo de tiempo en M unidades de longitud y aproximamos el movimiento browniano a lo largo del intervalo mediante una única variable normal de media 0 y varianza . Esto conduce a una trayectoria de muestra de ${\displaystyle \delta t}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle S(k\delta t)=S(0)\exp \left(\sum _{i=1}^{k}\left[\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\delta t+\sigma \varepsilon _{i}{\sqrt {\delta t}}\right]\right)}$

para cada k entre 1 y M. Aquí cada uno es un extracto de una distribución normal estándar. ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Supongamos que una derivada H paga el valor medio de S entre 0 y T entonces un camino muestral corresponde a un conjunto y ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$

${\displaystyle H(\omega )={\frac {1}{M}}\sum _{k=1}^{M}S(k\delta t).}$

Obtenemos el valor de Monte Carlo de esta derivada generando N lotes de M variables normales, creando N rutas de muestra y, por lo tanto, N valores de H y, luego, tomando el promedio. Comúnmente, la derivada dependerá de dos o más variables subyacentes (posiblemente correlacionadas). El método aquí se puede extender para generar rutas de muestra de varias variables, donde las variables normales que construyen las rutas de muestra están correlacionadas adecuadamente.

Del teorema del límite central se desprende que al cuadriplicar el número de trayectorias de muestra se reduce aproximadamente a la mitad el error en el precio simulado (es decir, el error tiene orden de convergencia en el sentido de desviación estándar de la solución). ${\displaystyle \epsilon ={\mathcal {O}}\left(N^{-1/2}\right)}$

En la práctica, se utilizan los métodos de Monte Carlo para derivados de estilo europeo que involucran al menos tres variables (generalmente se pueden utilizar métodos más directos que involucran integración numérica para aquellos problemas con solo uno o dos subyacentes). Véase el modelo de opciones de Monte Carlo .

Griegos

Las estimaciones de las " griegas " de una opción, es decir, las derivadas (matemáticas) del valor de la opción con respecto a los parámetros de entrada, se pueden obtener mediante diferenciación numérica. Este puede ser un proceso que requiere mucho tiempo (se debe realizar una ejecución completa del método Monte Carlo para cada "salto" o pequeño cambio en los parámetros de entrada). Además, la toma de derivadas numéricas tiende a enfatizar el error (o ruido) en el valor de Monte Carlo, lo que hace necesario simular con una gran cantidad de trayectorias de muestra. Los profesionales consideran estos puntos como un problema clave en el uso de los métodos de Monte Carlo.

Reducción de la varianza

La convergencia de raíz cuadrada es lenta, por lo que utilizar el enfoque ingenuo descrito anteriormente requiere utilizar una gran cantidad de trayectorias de muestra (un millón, por ejemplo, para un problema típico) para obtener un resultado preciso. Recuerde que un estimador del precio de un derivado es una variable aleatoria y, en el marco de una actividad de gestión de riesgos, la incertidumbre sobre el precio de una cartera de derivados y/o sobre sus riesgos puede llevar a decisiones de gestión de riesgos subóptimas.

Esta situación se puede mitigar mediante técnicas de reducción de varianza .

Caminos antitéticos

Una técnica sencilla es tomar su ruta antitética para cada ruta de muestra obtenida, es decir, se le da una ruta para que también tome . Dado que las variables y forman un par antitético, un valor grande de una va acompañado de un valor pequeño de la otra. Esto sugiere que un resultado inusualmente grande o pequeño calculado a partir de la primera ruta puede equilibrarse con el valor calculado a partir de la ruta antitética, lo que resulta en una reducción de la varianza. ^[25] Esto no solo reduce el número de muestras normales que se deben tomar para generar N rutas, sino que también, en las mismas condiciones, como la correlación negativa entre dos estimaciones, reduce la varianza de las rutas de muestra, lo que mejora la precisión. ${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$ ${\displaystyle \{-\varepsilon _{1},\dots ,-\varepsilon _{M}\}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle -\varepsilon _{i}}$

Método de control de variables

También es natural utilizar una variable de control . Supongamos que deseamos obtener el valor de Monte Carlo de una derivada H , pero conocemos el valor analíticamente de una derivada similar I. Entonces H * = (Valor de H según Monte Carlo) + B*[(Valor de I analíticamente) − (Valor de I según las mismas trayectorias de Monte Carlo)] es una mejor estimación, donde B es covar(H,I)/var(H).

La intuición que subyace a esa técnica, cuando se aplica a los derivados, es la siguiente: hay que tener en cuenta que la fuente de la varianza de un derivado dependerá directamente de los riesgos (por ejemplo, delta, vega) de ese derivado. Esto se debe a que cualquier error en, por ejemplo, el estimador del valor a plazo de un subyacente, generará un error correspondiente en función del delta del derivado con respecto a ese valor a plazo. El ejemplo más sencillo para demostrarlo consiste en comparar el error al fijar el precio de una opción call at-the-money y una opción straddle at-the-money (es decir, call+put), que tiene un delta mucho menor.

Por lo tanto, una forma estándar de elegir la derivada I consiste en elegir una cartera replicante de opciones para H. En la práctica, se fijará el precio de H sin reducción de la varianza, se calcularán deltas y vegas y, a continuación, se utilizará una combinación de opciones de compra y venta que tengan los mismos deltas y vegas que la variable de control.

Muestreo de importancia

El muestreo por importancia consiste en simular las trayectorias de Monte Carlo utilizando una distribución de probabilidad diferente (también conocida como cambio de medida) que dará más probabilidad de que el subyacente simulado se ubique en el área donde el pago del derivado tiene la mayor convexidad (por ejemplo, cerca del precio de ejercicio en el caso de una opción simple). Los pagos simulados no se promedian simplemente como en el caso de un Monte Carlo simple, sino que primero se multiplican por la razón de verosimilitud entre la distribución de probabilidad modificada y la original (que se obtiene mediante fórmulas analíticas específicas para la distribución de probabilidad). Esto garantizará que las trayectorias cuya probabilidad se haya mejorado arbitrariamente por el cambio de distribución de probabilidad se ponderen con un peso bajo (así es como se reduce la varianza).

Esta técnica puede ser particularmente útil cuando se calculan riesgos sobre un derivado. Cuando se calcula el delta mediante un método de Monte Carlo, la forma más sencilla es la técnica de caja negra , que consiste en hacer un Monte Carlo sobre los datos de mercado originales y otro sobre los datos de mercado modificados, y calcular el riesgo haciendo la diferencia. En cambio, el método de muestreo por importancia consiste en hacer un Monte Carlo sobre datos de mercado de referencia arbitrarios (idealmente uno en el que la varianza sea lo más baja posible), y calcular los precios utilizando la técnica de cambio de peso descrita anteriormente. Esto da como resultado un riesgo que será mucho más estable que el obtenido mediante el enfoque de caja negra .

Métodos cuasialeatorios (de baja discrepancia)

En lugar de generar rutas de muestra aleatoriamente, es posible seleccionar sistemáticamente (y de hecho de manera completamente determinista, a pesar de la palabra "cuasi-aleatorio" en el nombre) puntos en un espacio de probabilidad de manera que se "llene" el espacio de manera óptima. La selección de puntos es una secuencia de baja discrepancia, como una secuencia de Sobol . Tomar promedios de pagos derivados en puntos de una secuencia de baja discrepancia suele ser más eficiente que tomar promedios de pagos en puntos aleatorios.

Notas

1. Con frecuencia es más práctico tomar las expectativas bajo diferentes medidas, sin embargo éstas siguen siendo fundamentalmente integrales y por lo tanto se puede aplicar el mismo enfoque.
2. A veces también se utilizan procesos más generales, como los procesos de Lévy , que también pueden simularse.

Véase también

• Métodos cuasi-Monte Carlo en finanzas
• Método de Monte Carlo
• Simulación histórica (finanzas)
• Simulador de bolsa
• Valoración de opciones reales

Referencias

Notas

1. "Opciones reales con simulación de Monte Carlo". Archivado desde el original el 18 de marzo de 2010. Consultado el 24 de septiembre de 2010 .
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Artículos

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Enlaces externos

General

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• Determinación de precios de opciones complejas mediante una simulación de Monte Carlo simple, Peter Fink - reimpresión en quantnotes.com
• Mínimos cuadrados de Montecarlo para opciones americanas, de Carriere, 1996, ideas.repec.org
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Finanzas corporativas

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• Uso de simulación para calcular el VPN de un proyecto, investmentscience.com
• Simulaciones, árboles de decisión y análisis de escenarios en valoración Prof. Aswath Damodaran , Stern School of Business
• El método Monte Carlo en Excel Prof. André Farber Solvay Business School
• Previsión de ventas, vertex42.com
• Fijación de precios mediante simulación de Monte Carlo, un ejemplo práctico, Prof. Giancarlo Vercellino

Finanzas personales

• Una mejor manera de calcular el tamaño de sus ahorros, Businessweek Online: 22 de enero de 2001
• Planificador de jubilación en línea de Monte Carlo con código fuente, Jim Richmond, 2006
• Calculadora de jubilación gratuita basada en hojas de cálculo y simulador de Monte Carlo, por Eric C., 2008
• Simulación de jubilación
• Planificación financiera mediante paseos aleatorios, John Norstad, 2005
• Calculadora de ahorros Vanguard, Vanguard