aproximación WKB

Método de solución de ecuaciones diferenciales lineales.

En física matemática , la aproximación WKB o método WKB es un método para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes que varían espacialmente. Por lo general, se utiliza para un cálculo semiclásico en mecánica cuántica en el que la función de onda se reformula como una función exponencial, se expande semiclásicamente y luego se considera que la amplitud o la fase cambian lentamente.

El nombre es una inicial de Wentzel–Kramers–Brillouin . También se le conoce como método LG o Liouville-Green . Otras combinaciones de letras de uso frecuente incluyen JWKB y WKBJ , donde la "J" significa Jeffreys.

Breve historia

Este método lleva el nombre de los físicos Gregor Wentzel , Hendrik Anthony Kramers y Léon Brillouin , quienes lo desarrollaron en 1926. ^[1] En 1923, el matemático Harold Jeffreys había desarrollado un método general para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, una clase que incluye la ecuación de Schrödinger . La ecuación de Schrödinger en sí no se desarrolló hasta dos años después, y Wentzel, Kramers y Brillouin aparentemente desconocían este trabajo anterior, por lo que a menudo se ignora el crédito de Jeffreys. Los primeros textos de mecánica cuántica contienen cualquier número de combinaciones de sus iniciales, incluidas WBK, BWK, WKBJ, JWKB y BWKJ. Robert B. Dingle ha realizado una discusión autorizada y un estudio crítico. ^[2]

Las apariciones anteriores de métodos esencialmente equivalentes son: Francesco Carlini en 1817, Joseph Liouville en 1837, George Green en 1837, Lord Rayleigh en 1912 y Richard Gans en 1915. Se puede decir que Liouville y Green fundaron el método en 1837, y es También conocido comúnmente como método Liouville-Green o LG. ^{[3] [4]}

La importante contribución de Jeffreys, Wentzel, Kramers y Brillouin al método fue la inclusión del tratamiento de puntos de inflexión , conectando las soluciones evanescentes y oscilatorias a ambos lados del punto de inflexión. Por ejemplo, esto puede ocurrir en la ecuación de Schrödinger, debido a una colina de energía potencial .

Formulación

Generalmente, la teoría WKB es un método para aproximar la solución de una ecuación diferencial cuya derivada más alta se multiplica por un pequeño parámetro ε . El método de aproximación es el siguiente.

Para una ecuación diferencial, asuma una solución de la forma de una expansión en serie asintótica en el límite δ → 0 . El escalamiento asintótico de δ en términos de ε estará determinado por la ecuación; consulte el ejemplo siguiente. $${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,}$$ $${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$

Sustituir el ansatz anterior en la ecuación diferencial y cancelar los términos exponenciales permite resolver un número arbitrario de términos S _n ( x ) en la expansión.

La teoría WKB es un caso especial de análisis de escalas múltiples . ^{[5] [6] [7]}

Un ejemplo

Este ejemplo proviene del texto de Carl M. Bender y Steven Orszag . ^[7] Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden donde . Sustituyendo resultados en la ecuación. $${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ ${\displaystyle Q(x)\neq 0}$ $${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$ $${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).}$$

Para el orden principal en ϵ (asumiendo, por el momento, que la serie será asintóticamente consistente), lo anterior se puede aproximar como $${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).}$$

En el límite δ → 0 , el equilibrio dominante viene dado por $${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).}$$

Entonces δ es proporcional a ϵ . Igualándolos y comparando potencias se obtiene lo que puede reconocerse como la ecuación eikonal , con solución $${\displaystyle \epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x),}$$ $${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(x')}}\,dx'.}$$

Considerando potencias de primer orden de ϵ , esto tiene la solución donde k ₁ es una constante arbitraria. $${\displaystyle \epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.}$$ $${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},}$$

Ahora tenemos un par de aproximaciones al sistema (un par, porque S ₀ puede tomar dos signos); la aproximación WKB de primer orden será una combinación lineal de las dos: $${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right].}$$

Se pueden obtener términos de orden superior observando ecuaciones para potencias superiores de δ . Explícitamente, para n ≥ 2 . $${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0}$$

Precisión de la serie asintótica.

La serie asintótica para y ( x ) suele ser una serie divergente , cuyo término general δ ⁿ S _n ( x ) comienza a aumentar después de un cierto valor n = n _max . Por lo tanto, el error más pequeño logrado por el método WKB es, en el mejor de los casos, del orden del último término incluido.

Para la ecuación con Q ( x ) <0 una función analítica, el valor y la magnitud del último término se pueden estimar de la siguiente manera: ^[8] donde es el punto en el que se debe evaluar y es el punto de inflexión (complejo) donde , más cercano a . $${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ ${\displaystyle n_{\max }}$ $${\displaystyle n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$ $${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{\ast }}$ ${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

El número n _max se puede interpretar como el número de oscilaciones entre el punto de inflexión más cercano y el más cercano. ${\displaystyle x_{0}}$

Si es una función que cambia lentamente, el número n _max será grande y el error mínimo de la serie asintótica será exponencialmente pequeño. ${\displaystyle \epsilon ^{-1}Q(x)}$ $${\displaystyle \epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$

Aplicación en mecánica cuántica no relativista.

Aproximación WKB al potencial indicado. Las líneas verticales muestran los puntos de inflexión.

Densidad de probabilidad para la función de onda aproximada. Las líneas verticales muestran los puntos de inflexión.

El ejemplo anterior se puede aplicar específicamente a la ecuación de Schrödinger unidimensional e independiente del tiempo , que se puede reescribir como $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$$

Aproximación lejos de los puntos de inflexión.

La función de onda se puede reescribir como exponencial de otra función S (estrechamente relacionada con la acción ), que podría ser compleja, de modo que su sustitución en la ecuación de Schrödinger da: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} )=e^{iS(\mathbf {x} ) \over \hbar },}$$

$${\displaystyle i\hbar \nabla ^{2}S(\mathbf {x} )-(\nabla S(\mathbf {x} ))^{2}=2m\left(V(\mathbf {x} )-E\right),}$$

A continuación se utiliza la aproximación semiclásica. Esto significa que cada función se expande como una serie de potencias en ħ . Sustituyendo en la ecuación, y reteniendo solo términos hasta el primer orden en ℏ , obtenemos: lo que da las siguientes dos relaciones: que se pueden resolver para sistemas 1D, la primera ecuación da como resultado: y la segunda ecuación calculada para los posibles valores de arriba, generalmente se expresa como: $${\displaystyle S=S_{0}+\hbar S_{1}+\hbar ^{2}S_{2}+\cdots }$$ $${\displaystyle (\nabla S_{0}+\hbar \nabla S_{1})^{2}-i\hbar (\nabla ^{2}S_{0})=2m(E-V(\mathbf {x} ))}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla S_{0})^{2}=2m(E-V(\mathbf {x} ))=(p(\mathbf {x} ))^{2}\\2\nabla S_{0}\cdot \nabla S_{1}-i\nabla ^{2}S_{0}=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\pm \int p(x)\,dx}$$ $${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{+}{\frac {e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+C_{-}{\frac {e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$

Por lo tanto, la función de onda resultante en la aproximación WKB de primer orden se presenta como, ^{[9] [10]}

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}+C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}}{\sqrt[{4}]{2m\mid E-V(x)\mid }}}}$

En la región clásicamente permitida, es decir, la región donde el integrando en el exponente es imaginario y la función de onda aproximada es oscilatoria. En la región clásicamente prohibida , las soluciones crecen o decaen. Es evidente en el denominador que ambas soluciones aproximadas se vuelven singulares cerca de los puntos de inflexión clásicos , donde E = V ( x ) , y no pueden ser válidas. (Los puntos de inflexión son los puntos donde la partícula clásica cambia de dirección). ${\displaystyle V(x)<E}$ ${\displaystyle V(x)>E}$

Por lo tanto, cuando , se puede elegir que la función de onda se exprese como: y para , la integración en esta solución se calcula entre el punto de inflexión clásico y la posición arbitraria x'. ${\displaystyle E>V(x)}$ $${\displaystyle \Psi (x')\approx C{\frac {\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}+D{\frac {\sin {(-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$ ${\displaystyle V(x)>E}$ $${\displaystyle \Psi (x')\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+{\frac {C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}.}$$

Validez de las soluciones WKB

De la condición: $${\displaystyle (S_{0}'(x))^{2}-(p(x))^{2}+\hbar (2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x))=0}$$

Resulta que: ${\textstyle \hbar \mid 2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\mid +\hbar \mid iS_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid +\mid (p(x))^{2}\mid }$

Para lo cual las siguientes dos desigualdades son equivalentes ya que los términos en cada lado son equivalentes, como se usa en la aproximación WKB:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid \\2\hbar \mid S_{0}'S_{1}'\mid \ll \mid (p'(x))^{2}\mid \end{aligned}}}$$

La primera desigualdad se puede utilizar para mostrar lo siguiente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (p(x))\mid ^{2}\\{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|\ll |p(x)|^{2}\\\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|\ll {\frac {|p|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

donde se utiliza y es la longitud de onda local de De Broglie de la función de onda. La desigualdad implica que se supone que la variación del potencial varía lentamente. ^{[10] [11]} Esta condición también se puede reformular como el cambio fraccionario de o el del impulso , a lo largo de la longitud de onda , siendo mucho menor que . ^[12] ${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$ ${\textstyle \lambda (x)}$ ${\textstyle E-V(x)}$ ${\textstyle p(x)}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle 1}$

De manera similar, se puede demostrar que también tiene restricciones basadas en supuestos subyacentes para la aproximación WKB que: lo que implica que la longitud de onda de De Broglie de la partícula varía lentamente. ^[11] ${\textstyle \lambda (x)}$ $${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$

Comportamiento cerca de los puntos de inflexión

Consideremos ahora el comportamiento de la función de onda cerca de los puntos de inflexión. Para esto, necesitamos un método diferente. Cerca de los primeros puntos de inflexión, x ₁ , el término se puede expandir en una serie de potencias, ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$

De primer orden, se encuentra Esta ecuación diferencial se conoce como ecuación de Airy , y la solución se puede escribir en términos de funciones de Airy , ^[13] $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$ $${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).}$$

Aunque para cualquier valor fijo de , la función de onda está limitada cerca de los puntos de inflexión, la función de onda alcanzará su punto máximo allí, como se puede ver en las imágenes de arriba. A medida que se reduce, crece la altura de la función de onda en los puntos de inflexión. También se deduce de esta aproximación que: ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int p(x)dx={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx={\frac {2}{3}}({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-a))^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}$$

Condiciones de conexión

Ahora queda por construir una solución global (aproximada) a la ecuación de Schrödinger. Para que la función de onda sea integrable al cuadrado, debemos tomar sólo la solución que decae exponencialmente en las dos regiones clásicamente prohibidas. Estos deben luego "conectarse" adecuadamente a través de los puntos de inflexión con la región clásicamente permitida. Para la mayoría de los valores de E , este procedimiento de comparación no funcionará: la función obtenida al conectar la solución cerca de la región clásicamente permitida no concordará con la función obtenida al conectar la solución cerca de la región clásicamente permitida. El requisito de que las dos funciones concuerden impone una condición a la energía E , que dará una aproximación a los niveles exactos de energía cuántica. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Aproximación WKB al potencial indicado. Las líneas verticales muestran el nivel de energía y su intersección con el potencial muestra los puntos de inflexión con líneas de puntos. El problema tiene dos puntos de inflexión clásicos con at y at . ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Los coeficientes de la función de onda se pueden calcular mediante un problema sencillo que se muestra en la figura. Sea el primer punto de inflexión, donde el potencial disminuye sobre x, ocurre en y el segundo punto de inflexión, donde el potencial aumenta sobre x, ocurre en . Dado que esperamos que las funciones de onda tengan la siguiente forma, podemos calcular sus coeficientes conectando las diferentes regiones usando las funciones de Airy y Bairy. ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)\approx A{\frac {e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}+B{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\Psi _{E>V}(x)\approx C{\frac {\cos {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}+D{\frac {\sin {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\end{aligned}}}$$

Primer punto de inflexión clásico

Por ej. condición de potencial decreciente o en el ejemplo dado que se muestra en la figura, requerimos que la función exponencial decaiga para valores negativos de x para que la función de onda llegue a cero. Considerando las funciones de Bairy como la fórmula de conexión requerida, obtenemos: ^[14] ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Bi} (u)\rightarrow -{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\sin {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\operatorname {Bi} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\end{aligned}}}$$

No podemos usar la función Airy ya que proporciona un comportamiento exponencial creciente para x negativo. En comparación con las soluciones WKB y comparando sus comportamientos en , concluimos: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle B=-D=N}$, y . ${\displaystyle A=C=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

Por lo tanto, dejando que alguna constante de normalización sea , la función de onda está dada para potencial creciente (con x) como: ^[10] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}-{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{2}>x>x_{1}\\\end{cases}}}$

Segundo punto de inflexión clásico

Por ej. condición de potencial creciente o en el ejemplo dado que se muestra en la figura, requerimos que la función exponencial decaiga para valores positivos de x para que la función de onda llegue a cero. Considerando las funciones de Airy como la fórmula de conexión requerida, obtenemos: ^[14] ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\cos {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\end{aligned}}}$$

No podemos usar la función de Bairy ya que proporciona un comportamiento exponencial creciente para x positivo. En comparación con las soluciones WKB y comparando sus comportamientos en , concluimos: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle 2A=C=N'}$, y . ${\displaystyle D=B=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

Por lo tanto, dejando que alguna constante de normalización sea , la función de onda está dada para potencial creciente (con x) como: ^[10] ${\displaystyle N'}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}{\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{1}<x<x_{2}\\{\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{2}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$

Función de onda oscilante común

Al hacer coincidir las dos soluciones para la región , se requiere que la diferencia entre los ángulos en estas funciones sea donde la diferencia de fase represente el cambio de coseno a seno para la función de onda y la diferencia, ya que la negación de la función puede ocurrir al permitir . Por tanto: Donde n es un número entero no negativo. Esta condición también se puede reescribir diciendo que: ${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n+1/2)\pi \hbar ,}$$

El área encerrada por la curva de energía clásica es . ${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$

De cualquier manera, la condición de energía es una versión de la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld , con una " corrección de Maslov " igual a 1/2. ^[15]

Es posible demostrar que después de unir las aproximaciones en las distintas regiones, se obtiene una buena aproximación a la función propia real. En particular, las energías de Bohr-Sommerfeld corregidas por Maslov son buenas aproximaciones a los valores propios reales del operador de Schrödinger. ^[16] Específicamente, el error en las energías es pequeño en comparación con el espaciado típico de los niveles de energía cuántica. Así, aunque la "vieja teoría cuántica" de Bohr y Sommerfeld fue finalmente reemplazada por la ecuación de Schrödinger, queda algún vestigio de esa teoría, como una aproximación a los valores propios del operador de Schrödinger apropiado.

Condiciones generales de conexión

Así, de los dos casos se obtiene la fórmula de conexión en un punto de inflexión clásico : ^[11] ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longrightarrow -{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

y:

${\displaystyle {\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longleftarrow {\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {\left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

La función de onda WKB en el punto de inflexión clásico que se aleja de ella se aproxima mediante la función oscilatoria seno o coseno en la región clásicamente permitida, representada a la izquierda y exponenciales crecientes o decrecientes en la región prohibida, representada a la derecha. La implicación se debe al predominio de la exponencial creciente en comparación con la exponencial decreciente. Por tanto, las soluciones de la parte oscilante o exponencial de las funciones de onda pueden implicar la forma de la función de onda en la otra región del potencial, así como en el punto de inflexión asociado.

Densidad de probabilidad

Luego se puede calcular la densidad de probabilidad asociada a la función de onda aproximada. La probabilidad de que la partícula cuántica se encuentre en la región clásicamente prohibida es pequeña. Mientras tanto, en la región permitida clásicamente, la probabilidad de que la partícula cuántica se encuentre en un intervalo dado es aproximadamente la fracción de tiempo que la partícula clásica pasa en ese intervalo durante un período de movimiento. ^[17] Dado que la velocidad de la partícula clásica llega a cero en los puntos de inflexión, pasa más tiempo cerca de los puntos de inflexión que en otras regiones permitidas clásicamente. Esta observación explica el pico de la función de onda (y su densidad de probabilidad) cerca de los puntos de inflexión.

En Müller-Kirsten se tratan las aplicaciones del método WKB a las ecuaciones de Schrödinger con una gran variedad de potenciales y la comparación con métodos de perturbación e integrales de trayectoria. ^[18]

Ejemplos en mecánica cuántica

Aunque el potencial WKB solo se aplica a potenciales que varían suavemente, ^[11] en los ejemplos donde las paredes rígidas producen infinitos para el potencial, la aproximación WKB aún se puede usar para aproximar funciones de onda en regiones de potenciales que varían suavemente. Dado que las paredes rígidas tienen un potencial altamente discontinuo, la condición de conexión no se puede utilizar en estos puntos y los resultados obtenidos también pueden diferir de los del tratamiento anterior. ^[10]

Estados vinculados para 1 pared rígida

El potencial de tales sistemas se puede expresar en la forma:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

dónde . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Encontrar la función de onda en la región limitada, es decir. dentro de los puntos de inflexión clásicos y , considerando aproximaciones alejadas de y respectivamente tenemos dos soluciones: ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}}$

Dado que la función de onda debe desaparecer cerca , concluimos . Para funciones ventiladas y cercanas , necesitamos . Requerimos que los ángulos dentro de estas funciones tengan una diferencia de fase donde la diferencia de fase represente el cambio de seno a coseno y permita . ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle \alpha =0}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$Donde n es un número entero no negativo. ^[10] Tenga en cuenta que el lado derecho de esto sería, en cambio, si n solo estuviera permitido para números naturales distintos de cero. ${\displaystyle \pi (n-1/4)}$

Así concluimos que, para 3 dimensiones con simetría esférica, se cumple la misma condición donde la posición x se reemplaza por la distancia radial r, debido a su similitud con este problema. ^[19] ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$

Estados vinculados dentro de 2 paredes rígidas

El potencial de tales sistemas se puede expresar en la forma:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

dónde . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Para entre y cuáles son los puntos de inflexión clásicos, considerando aproximaciones alejadas de y respectivamente tenemos dos soluciones: ${\textstyle E\geq V(x)}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)}}$

Dado que las funciones de onda deben desaparecer en y . Aquí, la diferencia de fase solo debe tener en cuenta lo que permite . Por tanto la condición se convierte en: ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$donde pero no es igual a cero ya que hace que la función de onda sea cero en todas partes. ^[10] ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$

Pelota que rebota cuántica

Considere el siguiente potencial al que está sometida una pelota que rebota:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\\\end{cases}}}$

Las soluciones de función de onda de lo anterior se pueden resolver usando el método WKB considerando solo soluciones de paridad impar del potencial alternativo . Se identifican los puntos de inflexión clásicos y . Aplicando así la condición de cuantificación obtenida en WKB: ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$ ${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$ ${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

Dejando donde , resolviendo con dado , obtenemos la energía mecánica cuántica de una pelota que rebota: ^[20] ${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$ ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ ${\textstyle E}$ ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

Este resultado también es consistente con el uso de la ecuación del estado ligado de una pared rígida sin necesidad de considerar un potencial alternativo.

Túnel cuántico

El potencial de tales sistemas se puede expresar en la forma:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

dónde . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Se dan sus soluciones para una onda incidente:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}A\exp({ip_{0}x \over \hbar })+B\exp({-ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\D\exp({ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

Donde la función de onda en la región clásicamente prohibida es la aproximación WKB pero ignorando la exponencial creciente, lo cual es una suposición justa para barreras de potencial amplias a través de las cuales no se espera que la función de onda crezca a magnitudes altas.

Por el requisito de continuidad de la función de onda y sus derivadas, se puede mostrar la siguiente relación: $${\displaystyle {\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

donde y . ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$

Usando expresamos los valores sin signos como: ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})}$

${\textstyle J_{\text{inc.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{ref.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{trans.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|E|^{2})}$

Por tanto, el coeficiente de transmisión resulta ser:

$${\displaystyle T={\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

dónde , y . El resultado se puede expresar como donde . ^[10] ${\textstyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}}$ ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$ ${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$ ${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Función aireada
• Método de Einstein-Brillouin-Keller
• Emisión de electrones de campo
• instantáneo
• Corrección más larga
• índice de Maslov
• Método de equilibrio dominante
• Método de expansiones asintóticas emparejadas.
• Método de descenso más pronunciado.
• Vieja teoría cuántica
• Métodos de perturbación
• Túnel cuántico
• Aproximación de envolvente que varía lentamente
• Aproximación WKB supersimétrica

Referencias

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2. Dingle, Robert Balson (1973). Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación . Prensa académica. ISBN 0-12-216550-0.
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Referencias históricas

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Enlaces externos

• Fitzpatrick, Richard (2002). "La aproximación WKB".(Una aplicación de la aproximación WKB a la dispersión de ondas de radio de la ionosfera).