Método de descenso más pronunciado.

Ampliación del método de Laplace para la aproximación de integrales

En matemáticas, el método del descenso más pronunciado o método del punto de silla es una extensión del método de Laplace para aproximar una integral, donde se deforma una integral de contorno en el plano complejo para pasar cerca de un punto estacionario ( punto de silla ), aproximadamente en la dirección de descenso más pronunciado o fase estacionaria. La aproximación del punto de silla se utiliza con integrales en el plano complejo, mientras que el método de Laplace se utiliza con integrales reales.

La integral a estimar suele ser de la forma

${\displaystyle \int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,dz,}$

donde C es un contorno y λ es grande. Una versión del método del descenso más pronunciado deforma el contorno de la integración C en una nueva integración de trayectoria C′ de modo que se cumplen las siguientes condiciones:

1. C′ pasa por uno o más ceros de la derivada g ′( z ),
2. la parte imaginaria de g ( z ) es constante en C′ .

El método del descenso más pronunciado fue publicado por primera vez por Debye (1909), quien lo utilizó para estimar funciones de Bessel y señaló que ocurrió en la nota inédita de Riemann (1863) sobre funciones hipergeométricas . El contorno de descenso más pronunciado tiene una propiedad minimax, véase Fedoryuk (2001). Siegel (1932) describió algunas otras notas inéditas de Riemann, donde utilizó este método para derivar la fórmula de Riemann-Siegel .

Idea básica

El método del descenso más pronunciado es un método para aproximar una integral compleja de la forma

$${\displaystyle I(\lambda )=\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z}$$

funciones analíticas ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle g(z)={\text{Re}}[g(z)]+i\,{\text{Im}}[g(z)]}$

$${\displaystyle I(\lambda )=e^{i\lambda {\text{Im}}\{g(z)\}}\int _{C'}f(z)e^{\lambda {\text{Re}}\{g(z)\}}\,\mathrm {d} z,}$$

el método de Laplace^[1]

Etimología

El método se denomina método de descenso más pronunciado porque, para análisis , los contornos de fase constante son equivalentes a los contornos de descenso más pronunciado. ${\displaystyle g(z)}$

Si es una función analítica de , satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann ${\displaystyle g(z)=X(z)+iY(z)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$

$${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial y}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\partial Y}{\partial x}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=\nabla X\cdot \nabla Y=0,}$$

Una estimación sencilla

Sea f , S  : C ⁿ → C y C ⊂ C ⁿ . Si 

${\displaystyle M=\sup _{x\in C}\Re (S(x))<\infty ,}$

donde denota la parte real, y existe un número real positivo λ ₀ tal que ${\displaystyle \Re (\cdot )}$

${\displaystyle \int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx<\infty ,}$

entonces se cumple la siguiente estimación: ^[2]

${\displaystyle \left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|\leqslant {\text{const}}\cdot e^{\lambda M},\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\quad \lambda \geqslant \lambda _{0}.}$

Prueba de la estimación simple:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|&\leqslant \int _{C}|f(x)|\left|e^{\lambda S(x)}\right|dx\\&\equiv \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|dx\\&\leqslant \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}\right|dx&&\left|e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|\leqslant 1\\&=\underbrace {e^{-\lambda _{0}M}\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx} _{\text{const}}\cdot e^{\lambda M}.\end{aligned}}}$

El caso de un único punto silla no degenerado

Nociones básicas y notación.

Sea x un vector complejo de n dimensiones y

${\displaystyle S''_{xx}(x)\equiv \left({\frac {\partial ^{2}S(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i,\,j\leqslant n,}$

denota la matriz de Hesse para una función S ( x ) . Si

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{k}(x))}$

es una función vectorial, entonces su matriz jacobiana se define como

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}_{x}'(x)\equiv \left({\frac {\partial \varphi _{i}(x)}{\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i\leqslant k,\quad 1\leqslant j\leqslant n.}$

Un punto de silla no degenerado , z ⁰ ∈ C ⁿ , de una función holomorfa S ( z ) es un punto crítico de la función (es decir, ∇ S ( z ⁰ ) = 0 ) donde la matriz de Hesse de la función tiene una matriz que no desaparece. determinante (es decir, ). ${\displaystyle \det S''_{zz}(z^{0})\neq 0}$

La siguiente es la herramienta principal para construir las asintóticas de integrales en el caso de un punto silla no degenerado:

Lema Morse complejo

El lema de Morse para funciones de valor real se generaliza de la siguiente manera ^[3] para funciones holomorfas : cerca de un punto de silla no degenerado z ⁰ de una función holomorfa S ( z ) , existen coordenadas en términos de las cuales S ( z ) − S ( z ⁰ ) es exactamente cuadrática. Para hacer esto preciso, sea S una función holomorfa con dominio W ⊂ C ⁿ , y sea z ⁰ en W un punto silla no degenerado de S , es decir, ∇ S ( z ⁰ ) = 0 y . Entonces existen vecindades U ⊂ W de z ⁰ y V ⊂ C ⁿ de w = 0 , y una función holomorfa biyectiva φ  : V → U con φ (0) = z ⁰ tal que ${\displaystyle \det S''_{zz}(z^{0})\neq 0}$

${\displaystyle \forall w\in V:\qquad S({\boldsymbol {\varphi }}(w))=S(z^{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2},\quad \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1,}$

Aquí, los μ _j son los valores propios de la matriz . ${\displaystyle S_{zz}''(z^{0})}$

Una ilustración del lema Morse complejo

Prueba del lema Morse complejo

La siguiente prueba es una generalización sencilla de la prueba del Lema Morse real , que se puede encontrar en. ^[4] Comenzamos demostrando

Declaración auxiliar. Sea f   : C ⁿ → C holomorfo en una vecindad del origen y f  (0) = . Entonces, en alguna vecindad, existen funciones g _i  : C ⁿ → C tales que  

$${\displaystyle f(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),}$$

donde cada g _i es holomorfo y

$${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\tfrac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$$

De la identidad

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}f\left(tz_{1},\cdots ,tz_{n}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}z_{i}\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt,}$

concluimos que

${\displaystyle g_{i}(z)=\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt}$

y

${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$

Sin pérdida de generalidad, trasladamos el origen a z ⁰ , de modo que z ⁰ = 0 y S (0) = 0 . Usando la declaración auxiliar, tenemos

${\displaystyle S(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z).}$

Como el origen es un punto de silla,

${\displaystyle \left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}=g_{i}(0)=0,}$

También podemos aplicar la declaración auxiliar a las funciones g _i ( z ) y obtener

Recuerde que una matriz A arbitraria se puede representar como una suma de matrices A ^{( s ) simétricas y} A ^{( a )} antisimétricas ,

${\displaystyle A_{ij}=A_{ij}^{(s)}+A_{ij}^{(a)},\qquad A_{ij}^{(s)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}+A_{ji}\right),\qquad A_{ij}^{(a)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}-A_{ji}\right).}$

La contracción de cualquier matriz simétrica B con una matriz arbitraria A es

es decir, el componente antisimétrico de A no contribuye porque

${\displaystyle \sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=\sum _{i,j}B_{ji}C_{ji}=-\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=0.}$

Por tanto, se puede suponer _que hij ( z ) en la ecuación (1) es simétrico con respecto al intercambio de los índices i y j . Tenga en cuenta que

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right|_{z=0}=2h_{ij}(0);}$

por lo tanto, det( h _ij (0)) ≠ 0 porque el origen es un punto de silla no degenerado.

Demostremos por inducción que existen coordenadas locales u = ( u ₁ , ... u _n ), z = ψ ( u ), 0 = ψ (0) , tales que

Primero, supongamos que existen coordenadas locales y = ( y ₁ , ... y _n ), z = φ ( y ), 0 = φ (0) , tales que

donde H _ij es simétrico debido a la ecuación (2). Mediante un cambio lineal de las variables ( y _r , ... y _n ) , podemos asegurar que H _rr (0) ≠ 0 . De la regla de la cadena tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}S({\boldsymbol {\phi }}(y))}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}=\sum _{l,k=1}^{n}\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{k}\partial z_{l}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial \phi _{l}}{\partial y_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{k}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial ^{2}\phi _{k}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle S''_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))={\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)^{T}S''_{zz}(0){\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0),\qquad \det {\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)\neq 0;}$

De dónde,

${\displaystyle 0\neq \det S''_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))=2^{r-1}\det \left(2H_{ij}(0)\right).}$

La matriz ( H _ij (0)) se puede reformular en la forma normal de Jordan : ( H _ij (0)) = LJL ⁻¹ , donde L da la transformación lineal no singular deseada y la diagonal de J contiene valores propios distintos de cero. de ( Hij (0) ) _. Si Hij (0) ≠ 0 entonces, debido a la continuidad de _Hij ( y ) , tampoco debe desaparecer en alguna vecindad del origen _. Habiendo presentado , escribimos ${\displaystyle {\tilde {H}}_{ij}(y)=H_{ij}(y)/H_{rr}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S({\boldsymbol {\varphi }}(y))=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[y_{r}^{2}+2y_{r}\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)+\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\right]\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}-\left(\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}\right]+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\end{aligned}}}$

Motivados por la última expresión, introducimos nuevas coordenadas z = η ( x ), 0 = η (0),

${\displaystyle x_{r}={\sqrt {H_{rr}(y)}}\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right),\qquad x_{j}=y_{j},\quad \forall j\neq r.}$

El cambio de las variables y ↔ x es localmente invertible ya que el jacobiano correspondiente es distinto de cero,

${\displaystyle \left.{\frac {\partial x_{r}}{\partial y_{k}}}\right|_{y=0}={\sqrt {H_{rr}(0)}}\left[\delta _{r,\,k}+\sum _{j=r+1}^{n}\delta _{j,\,k}{\tilde {H}}_{jr}(0)\right].}$

Por lo tanto,

Comparando las ecuaciones (4) y (5), concluimos que la ecuación (3) se verifica. Denotando los valores propios de por μ _j , la ecuación (3) se puede reescribir como ${\displaystyle S''_{zz}(0)}$

Por lo tanto,

De la ecuación (6), se deduce que . La forma normal de Jordan de lecturas , donde J _z es una matriz diagonal superior que contiene los valores propios y det P ≠ 0 ; por eso, . Obtenemos de la ecuación (7) ${\displaystyle \det S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$ ${\displaystyle S''_{zz}(0)}$ ${\displaystyle S''_{zz}(0)=PJ_{z}P^{-1}}$ ${\displaystyle \det S''_{zz}(0)=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$

${\displaystyle \det S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\left[\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)\right]^{2}\det S''_{zz}(0)\Longrightarrow \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=\pm 1.}$

Si , entonces intercambiar dos variables asegura eso . ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=-1}$ ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=+1}$

La expansión asintótica en el caso de un único punto silla no degenerado

Asumir

1.  f  ( z ) y S ( z ) son funciones holomorfas en un conjunto abierto , acotado y simplemente conexo Ω x _⊂ C n ^tal que I _x = Ω _x ∩ R ⁿ es conexo ;
2. ${\displaystyle \Re (S(z))}$tiene un único máximo: para exactamente un punto x ⁰ ∈ I _x ; ${\displaystyle \max _{z\in I_{x}}\Re (S(z))=\Re (S(x^{0}))}$
3. x ⁰ es un punto silla no degenerado (es decir, ∇ S ( x ⁰ ) = 0 y). ${\displaystyle \det S''_{xx}(x^{0})\neq 0}$

Entonces, se cumple la siguiente asintótica

donde μ _j son valores propios del hessiano y se definen con argumentos ${\displaystyle S''_{xx}(x^{0})}$ ${\displaystyle (-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}}$

Esta afirmación es un caso especial de resultados más generales presentados en Fedoryuk (1987). ^[5]

Derivación de la ecuación (8)

Una ilustración de la derivación de la ecuación (8)

Primero, deformamos el contorno I _x en un nuevo contorno que pasa por el punto de silla x ⁰ y comparte el límite con I _x . Esta deformación no cambia el valor de la integral I ( λ ) . Empleamos el Lema Morse Complejo para cambiar las variables de integración. Según el lema, la función φ ( w ) asigna una vecindad x ⁰ ∈ U ⊂ Ω _x a una vecindad Ω _w que contiene el origen. La integral I ( λ ) se puede dividir en dos: I ( λ ) = I ₀ ( λ ) + I ₁ ( λ ) , donde I ₀ ( λ ) es la integral sobre , mientras que I ₁ ( λ ) es sobre (es decir , el resto del contorno I′ _x ). Dado que la última región no contiene el punto de silla x ⁰ , el valor de I ₁ ( λ ) es exponencialmente menor que I ₀ ( λ ) cuando λ → ∞ ; ^[6] por lo tanto, I ₁ ( λ ) se ignora. Introduciendo el contorno I _w tal que , tenemos ${\displaystyle I'_{x}\subset \Omega _{x}}$ ${\displaystyle U\cap I'_{x}}$ ${\displaystyle I'_{x}\setminus (U\cap I'_{x})}$ ${\displaystyle U\cap I'_{x}={\boldsymbol {\varphi }}(I_{w})}$

Recordando que x ⁰ = φ (0) así como , expandimos la función preexponencial a una serie de Taylor y mantenemos solo el término principal de orden cero ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1}$ ${\displaystyle f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]}$

Aquí hemos sustituido la región de integración I _w por R ⁿ porque ambas contienen el origen, que es un punto de silla, por lo tanto son iguales hasta un término exponencialmente pequeño. ^[7] Las integrales en los derechos de la ecuación (11) se pueden expresar como

De esta representación, concluimos que se debe cumplir la condición (9) para que coincidan los derechos y los izquierdos de la ecuación (12). Según el supuesto 2, es una forma cuadrática definida negativamente (a saber, ) que implica la existencia de la integral , que se calcula fácilmente ${\displaystyle \Re \left(S_{xx}''(x^{0})\right)}$ ${\displaystyle \Re (\mu _{j})<0}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}={\frac {2}{{\sqrt {-\mu _{j}}}{\sqrt {\lambda }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}d\xi ={\sqrt {\frac {2\pi }{\lambda }}}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}.}$

La ecuación (8) también se puede escribir como

donde la sucursal de

${\displaystyle {\sqrt {\det \left(-S_{xx}''(x^{0})\right)}}}$

se selecciona de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\det \left(-S_{xx}''(x^{0})\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=\exp \left(-i{\text{ Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)\right)\prod _{j=1}^{n}\left|\mu _{j}\right|^{-{\frac {1}{2}}},\\{\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)&={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\arg(-\mu _{j}),&&|\arg(-\mu _{j})|<{\tfrac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Considere casos especiales importantes:

• Si S ( x ) tiene un valor real para x real y x ⁰ en R ⁿ (también conocido como el método multidimensional de Laplace ), entonces ^[8]
  $${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)=0.}$$
• Si S ( x ) es puramente imaginario para x real (es decir, para todo x en R ⁿ ) y x ⁰ en R ⁿ (también conocido como el método de fase estacionaria multidimensional ), ^[9] entonces ^[10] ${\displaystyle \Re (S(x))=0}$
  $${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)={\frac {\pi }{4}}{\text{sign }}S_{xx}''(x_{0}),}$$
  donde denota la firma de la matriz , que es igual al número de valores propios negativos menos el número de positivos. Es digno de mención que en las aplicaciones del método de fase estacionaria a la aproximación multidimensional WKB en mecánica cuántica (así como en óptica), Ind está relacionado con el índice de Maslov , ver, por ejemplo, Chaichian & Demichev (2001) y Schulman (2005). ${\displaystyle {\text{sign }}S_{xx}''(x_{0})}$ ${\displaystyle S_{xx}''(x_{0})}$

El caso de múltiples puntos silla no degenerados

Si la función S ( x ) tiene múltiples puntos silla aislados no degenerados, es decir,

${\displaystyle \nabla S\left(x^{(k)}\right)=0,\quad \det S''_{xx}\left(x^{(k)}\right)\neq 0,\quad x^{(k)}\in \Omega _{x}^{(k)},}$

dónde

${\displaystyle \left\{\Omega _{x}^{(k)}\right\}_{k=1}^{K}}$

es una cubierta abierta de Ω _x , entonces el cálculo de la integral asintótica se reduce al caso de un solo punto de silla empleando la partición de la unidad . La partición de la unidad nos permite construir un conjunto de funciones continuas ρ _k ( x ) : Ω _x → [0, 1], 1 ≤ k ≤ K , tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{K}\rho _{k}(x)&=1,&&\forall x\in \Omega _{x},\\\rho _{k}(x)&=0&&\forall x\in \Omega _{x}\setminus \Omega _{x}^{(k)}.\end{aligned}}}$

De dónde,

${\displaystyle \int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\equiv \sum _{k=1}^{K}\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}\rho _{k}(x)f(x)e^{\lambda S(x)}dx.}$

Por lo tanto como λ → ∞ tenemos:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{K}\int _{{\text{a neighborhood of }}x^{(k)}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{k=1}^{K}e^{\lambda S\left(x^{(k)}\right)}\left(\det \left(-S_{xx}''\left(x^{(k)}\right)\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}f\left(x^{(k)}\right),}$

donde la ecuación (13) se utilizó en la última etapa, y la función preexponencial f  ( x ) al menos debe ser continua. 

Los otros casos

Cuando ∇ S ( z ⁰ ) = 0 y , el punto z ⁰ ∈ C ⁿ se llama punto silla degenerado de una función S ( z ) . ${\displaystyle \det S''_{zz}(z^{0})=0}$

Calculando la asintótica de

${\displaystyle \int f(x)e^{\lambda S(x)}dx,}$

cuando λ → ∞,   f  ( x ) es continua y S ( z ) tiene un punto de silla degenerado, es un problema muy rico, cuya solución depende en gran medida de la teoría de la catástrofe . Aquí, la teoría de la catástrofe reemplaza el lema de Morse, válido sólo en el caso no degenerado, para transformar la función S ( z ) en una de la multitud de representaciones canónicas. Para más detalles, véase, por ejemplo, Poston y Stewart (1978) y Fedoryuk (1987).

Las integrales con puntos de silla degenerados aparecen naturalmente en muchas aplicaciones, incluidas las cáusticas ópticas y la aproximación multidimensional WKB en mecánica cuántica.

Los otros casos como, por ejemplo, f  ( x ) y/o S ( x ) son discontinuos o cuando un extremo de S ( x ) se encuentra en el límite de la región de integración, requieren especial cuidado (ver, por ejemplo, Fedoryuk (1987) y Wang (1989)). 

Extensiones y generalizaciones

Una extensión del método de descenso más pronunciado es el llamado método de fase estacionaria no lineal/descenso más pronunciado . Aquí, en lugar de integrales, es necesario evaluar asintóticamente soluciones de problemas de factorización de Riemann-Hilbert .

Dado un contorno C en la esfera compleja , una función f definida en ese contorno y un punto especial, digamos el infinito, se busca una función M holomorfa alejada del contorno C , con un salto prescrito a través de C , y con una normalización dada en el infinito. Si f y por tanto M son matrices en lugar de escalares, éste es un problema que en general no admite una solución explícita.

Entonces es posible una evaluación asintótica según el método de fase estacionaria lineal/descenso más pronunciado. La idea es reducir asintóticamente la solución del problema de Riemann-Hilbert dado a la de un problema de Riemann-Hilbert más simple y explícitamente solucionable. El teorema de Cauchy se utiliza para justificar las deformaciones del contorno del salto.

La fase estacionaria no lineal fue introducida por Deift y Zhou en 1993, basándose en trabajos anteriores del matemático ruso Alexander Its. Kamvissis, K. McLaughlin y P. Miller introdujeron un método de descenso más pronunciado (propiamente hablando) no lineal en 2003, basado en trabajos anteriores de Lax, Levermore, Deift, Venakides y Zhou. Como en el caso lineal, las curvas de nivel de descenso más pronunciadas resuelven un problema mínimo-máximo. En el caso no lineal resultan ser "curvas en S" (definidas en un contexto diferente allá por los años 80 por Stahl, Gonchar y Rakhmanov).

El método de fase estacionaria no lineal/descenso más pronunciado tiene aplicaciones a la teoría de ecuaciones de solitones y modelos integrables , matrices aleatorias y combinatoria .

Otra extensión es el Método de Chester-Friedman-Ursell para fusionar puntos silla y extensiones asintóticas uniformes.

Ver también

• integral de pearcey
• Aproximación de fase estacionaria
• El método de Laplace

Notas

1. Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros I. Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4757-3069-2. ISBN 978-1-4419-3187-0.
2. Una versión modificada del Lema 2.1.1 en la página 56 en Fedoryuk (1987).
3. Lema 3.3.2 en la página 113 en Fedoryuk (1987)
4. Poston y Stewart (1978), página 54; véase también el comentario en la página 479 de Wong (1989).
5. Fedoryuk (1987), páginas 417-420.
6. Esta conclusión se deriva de una comparación entre la asintótica final para I ₀ ( λ ) , dada por la ecuación (8), y una estimación simple de la integral descartada I ₁ ( λ ) .
7. Esto se justifica comparando la integral asintótica sobre R ⁿ [ver ecuación (8)] con una estimación simple para la parte alterada.
8. Consulte la ecuación (4.4.9) en la página 125 en Fedoryuk (1987)
9. Hablando rigurosamente, este caso no se puede inferir de la ecuación (8) porque se viola el segundo supuesto, utilizado en la derivación. Para incluir el caso discutido de una función de fase puramente imaginaria, la condición (9) debe reemplazarse por ${\displaystyle \left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|\leqslant {\tfrac {\pi }{4}}.}$
10. Consulte la ecuación (2.2.6') en la página 186 en Fedoryuk (1987)

Referencias

• Chaichian, M.; Demichev, A. (2001), Integrales de trayectoria en física Volumen 1: proceso estocástico y mecánica cuántica , Taylor y Francis, p. 174, ISBN 075030801X
• Debye, P. (1909), "Näherungsformeln für die Zylinderfunktionen für große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index", Mathematische Annalen , 67 (4): 535–558, doi :10.1007/BF01450097, S2CID  122219667Traducción al inglés en Debye, Peter JW (1954), Los artículos recopilados de Peter JW Debye , Interscience Publishers, Inc., Nueva York, ISBN 978-0-918024-58-9, señor  0063975
• Deift, P.; Zhou, X. (1993), "Un método de descenso más pronunciado para problemas oscilatorios de Riemann-Hilbert. Asintóticas para la ecuación MKdV", Ann. de Matemáticas. , Anales de las Matemáticas, vol. 137, núm. 2, vol. 137, núm. 2, págs. 295–368, arXiv : math/9201261 , doi : 10.2307/2946540, JSTOR  2946540, S2CID  12699956.
• Erdelyi, A. (1956), Expansiones asintóticas , Dover.
• Fedoryuk, MV (2001) [1994], "Método del punto de silla", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
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• Kamvissis, S.; McLaughlin, KT-R.; Miller, P. (2003), "Conjuntos semiclásicos de solitones para la ecuación de Schrödinger no lineal de enfoque", Annals of Mathematics Studies , Princeton University Press, vol. 154.
• Riemann, B. (1863), Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita(Nota inédita, reproducida en los artículos completos de Riemann).
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