Cáustico (óptica)

Envoltura de rayos de luz reflejados o refractados por una superficie/objeto curvo

Cáusticos producidos por un vaso de agua.

En óptica , una red cáustica o cáustica ^[1] es la envoltura de rayos de luz que han sido reflejados o refractados por una superficie u objeto curvo, o la proyección de esa envoltura de rayos sobre otra superficie. ^[2] La cáustica es una curva o superficie a la que cada uno de los rayos de luz es tangente , definiendo un límite de una envoltura de rayos como una curva de luz concentrada. ^[2] Por lo tanto, en la foto de la derecha, las cáusticas se pueden ver como manchas de luz o sus bordes brillantes. Estas formas suelen tener singularidades en las cúspides .

Cáustico nefroide en el fondo de una taza de té.

Cáusticos producidos por la superficie del agua.

Cáusticos en aguas poco profundas

Explicación

Los rayos refractados por una superficie no plana forman cáusticos donde muchos de ellos se cruzan.

La concentración de luz, especialmente la del sol , puede provocar quemaduras. La palabra cáustico , de hecho, proviene del griego καυστός, quemado, vía el latín causticus , quemar.

Una situación común en la que las cáusticas son visibles es cuando la luz incide sobre un vaso. El vidrio proyecta una sombra, pero también produce una región curva de luz brillante. En circunstancias ideales (incluidos rayos perfectamente paralelos, como si procedieran de una fuente puntual en el infinito), se puede producir una mancha de luz con forma de nefroide . ^{[3] [4]} Las cáusticas ondulantes se forman comúnmente cuando la luz brilla a través de las ondas en una masa de agua.

Otra cáustica familiar es el arcoíris . ^{[5] [6]} La dispersión de la luz por las gotas de lluvia hace que diferentes longitudes de onda de luz se refracten en arcos de diferentes radios, produciendo el arco.

Gráficos de computadora

Fotografía de una típica copa de vino cáustica.

Representación por computadora de una copa de vino cáustica

En gráficos por computadora, la mayoría de los sistemas de renderizado modernos admiten cáusticas. Algunos de ellos incluso admiten cáusticos volumétricos . Esto se logra trazando los posibles caminos de un haz de luz, teniendo en cuenta la refracción y la reflexión. El mapeo de fotones es una implementación de esto. Las cáusticas volumétricas también se pueden lograr mediante el trazado de trayectoria volumétrica . Algunos sistemas de gráficos por computadora funcionan mediante "trazado de rayos directos", en el que los fotones se modelan como si provinieran de una fuente de luz y rebotaran en el entorno de acuerdo con reglas. Las cáusticas se forman en las regiones donde suficientes fotones golpean una superficie, lo que hace que sea más brillante que el área promedio de la escena. El “trazado de rayos hacia atrás” funciona de manera inversa, comenzando en la superficie y determinando si hay un camino directo a la fuente de luz. ^[7] Aquí se pueden encontrar algunos ejemplos de cáusticas con trazado de rayos 3D.

El enfoque de la mayoría de los sistemas de gráficos por computadora es la estética más que la precisión física . Esto es especialmente cierto cuando se trata de gráficos en tiempo real en juegos de computadora ^{[8] donde se utilizan principalmente} texturas genéricas precalculadas en lugar de cálculos físicamente correctos.

Ingeniería cáustica

La ingeniería cáustica describe el proceso de resolución del problema inverso a los gráficos por computadora. Es decir, dada una imagen concreta, determinar una superficie cuya luz refractada o reflejada forma esta imagen.

En la versión discreta de este problema, la superficie se divide en varias microsuperficies que se suponen lisas, es decir, la luz reflejada/refractada por cada microsuperficie forma una cáustica gaussiana. Cáustica gaussiana significa que cada microsuperficie obedece a una distribución gaussiana . Luego, la posición y orientación de cada una de las microsuperficies se obtienen utilizando una combinación de integración de Poisson y recocido simulado . ^[9]

Ha habido muchos enfoques diferentes para abordar el problema continuo. Un enfoque utiliza una idea de la teoría del transporte llamada transporte óptimo ^[10] para encontrar un mapeo entre los rayos de luz entrantes y la superficie objetivo. Después de obtener dicho mapeo, la superficie se optimiza adaptándola iterativamente utilizando la ley de refracción de Snell . ^{[11] [12]}

Diseño de patrón cáustico basado en transporte óptimo

Principio básico

Controlar el patrón cáustico es un problema bastante desafiante ya que cambios muy pequeños en la superficie afectarán significativamente la calidad del patrón, ya que las direcciones de los rayos de luz pueden verse interferidas por otros rayos de luz cuando se cruzan con el material y se refractan a través de él. Esto dará lugar a un patrón disperso y discontinuo. Para abordar este problema, el basado en transporte óptimo es uno de los métodos propuestos existentes para controlar el patrón cáustico redirigiendo las direcciones de la luz a medida que se propaga a través de la superficie de un determinado material transparente . Esto se hace resolviendo un problema de optimización inversa basado en el transporte óptimo . ^{[13] [14]} Dada una imagen de referencia de un objeto/patrón, el objetivo es formular la descripción matemática de la superficie del material a través de la cual la luz se refracta y converge al patrón similar de la imagen de referencia. Esto se hace reorganizando/recalculando la intensidad de la luz inicial hasta que se alcanza el mínimo del problema de optimización.

Tubería de diseño

Aquí, considerando solo la cáustica refractiva, el objetivo se puede determinar de la siguiente manera (principio similar para la cáustica reflectante con diferente salida):

Entrada: imagen del patrón que se obtendrá después de propagar luces a través del material, dada la posición de la fuente de luz.

Salida: geometría cáustica en el receptor (superficie sólida plana, por ejemplo: suelo, pared, etc...)

Para lograr el patrón objetivo, la superficie por donde la luz se refracta y sale al entorno exterior debe fabricarse con cierta forma para lograr el patrón deseado en el otro lado del material.

Como se mencionó, dada una imagen de entrada, este proceso producirá un patrón cáustico similar al de salida. En principio, hay dos etapas principales y cada una incluye dos subetapas:

• 

  Diseño cáustico basado en transporte óptimo

  Resolviendo el problema de transporte óptimo
  1. Calcular la distribución de la luz objetivo
  2. Calcular el mapeo desde la distribución inicial hasta la distribución objetivo
• Optimización de la superficie objetivo
  1. Calcular la representación normal de la superficie
  2. Refinamiento de superficie

Resolver el problema de transporte óptimo.

Como la refracción se produce a través de una superficie transparente, por ejemplo los patrones que aparecen bajo la superficie del agua clara, se pueden observar tres fenómenos principales:

• Puntos muy brillantes (intensidad de luz condensada) (la llamada singularidad )
• Objetos en forma de curvas que conectan los puntos.
• Regiones con baja intensidad lumínica

Para realizar el cálculo, se introducen respectivamente las siguientes 3 cantidades para describir las características geométricas del patrón: singularidad puntual (que mide la intensidad de la luz en cierto punto de luz altamente concentrado), singularidad curva (que mide la intensidad de la luz en/alrededor de una curva de luz) y medida de irradiancia (medición de la intensidad en una determinada zona de luz poco concentrada). En conjunto, la siguiente función define la medida del flujo radiante total en una determinada sección Ω en la superficie objetivo: ${\displaystyle \Phi _{p}}$ ${\displaystyle \Phi _{c}}$ ${\displaystyle \Phi _{I}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$

${\displaystyle \Phi _{T}(\Omega )=\textstyle \sum _{i=1}^{N_{\delta }}\Phi _{p}^{i}(\Omega )+\sum _{j=1}^{N_{\gamma }}\Phi _{c}^{j}(\Omega )+\Phi _{I}(\Omega )\displaystyle }$

Después de este paso, existen dos medidas de las medidas de flujo radiante de la fuente (distribución uniforme, por inicialización) y el objetivo (calculado en el paso anterior). Lo que queda por calcular es la correspondencia entre el origen y el destino. Para ello es necesario definir varias cantidades. En primer lugar, se definen dos intensidades de luz evaluadas por probabilidades: (intensidad de luz evaluada dividiendo por el flujo de la región de unión entre y ), (intensidad de luz evaluada dividiendo por el flujo de la región de unión entre y ). En segundo lugar, la malla de origen se genera como múltiples sitios , que luego se deforma. A continuación, se define un diagrama de potencia (un conjunto de celdas de potencia) sobre este conjunto de sitios ponderados por un vector de peso . Finalmente, el objetivo es decidir qué células de energía se van a mover. Considerando todos los vértices de la superficie, encontrar el minimizador de la siguiente función convexa producirá el diagrama de potencia coincidente para el objetivo: ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle \mu _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle \mu _{T}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle s_{i}\in (\Phi _{S}\cup \Phi _{T})}$ ${\displaystyle P_{w}}$ ${\displaystyle C_{i}^{w}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega _{min}}$

${\displaystyle f(\omega )=\sum _{s_{i}\in S}(\omega _{i}.\mu _{S}(C_{i}^{0})-\int \limits _{C_{i}^{\omega }}(\|x-s_{i}\|^{2}-\omega _{i})d\mu _{T}(x))}$

Optimización de la superficie objetivo

Proceso de cálculo

Después de resolver el problema de transporte óptimo, se alcanzan los vértices. Sin embargo, esto no proporciona información sobre cómo debería verse la superficie final. Para lograr la superficie objetivo deseada dado el rayo de luz entrante , el rayo de luz saliente y el diagrama de potencia del paso anterior, la representación de las normales de la superficie se puede calcular de acuerdo con la ley de Snell como: ${\displaystyle d_{I}}$ ${\displaystyle d_{O}}$

${\displaystyle n=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta d_{T}\rVert }=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta {(x_{R}-x) \over ||x_{R}-x||}\rVert }}$

dónde,

${\displaystyle \eta }$: coeficiente de refracción

${\displaystyle x_{R}}$: posición objetivo obtenida al resolver el problema de transporte óptimo anterior

A medida que se obtiene la representación normal, el refinamiento de la superficie se logra minimizando la siguiente función de energía compuesta :

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\omega \,\cdot [E_{int},\,E_{dir},\,E_{flux},\,E_{reg},\,E_{bar}]}$

dónde,

${\displaystyle E_{int}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert n_{o}-n\rVert _{2}^{2}}$es la energía de integración que alinea las normales de vértice obtenidas del Transporte Óptimo con las normales objetivo obtenidas del cálculo de la ley de Snell anterior. ${\displaystyle n_{o}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{dir}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert x-{\textbf {proj}}_{(x_{S},\,d_{I})}(x)\rVert _{2}^{2}}$Como la malla generada en el paso de resolución del transporte óptimo no puede adaptarse a los casos agudos de las discontinuidades, esta energía penaliza a los vértices para que no cambien significativamente con el rayo de luz entrante.

${\displaystyle E_{flux}=\sum _{t\in M_{T}}\lVert \Phi _{T}(t)-\Phi _{S}(t_{s})\rVert _{2}^{2}}$es la energía que mide el flujo sobre el triángulo en la malla. ${\displaystyle t}$

${\displaystyle E_{reg}=\lVert {\textbf {L}}{\textbf {X}}\rVert _{2}^{2}}$es la energía que regulariza la forma de los triángulos para mantener su buena forma.

${\displaystyle E_{bar}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert max(0,-log((1-n_{R}.(x-x_{R}))+d_{TH})\rVert ^{2}}$Es energía de barrera para garantizar que la superficie no se deforme más allá de un cierto umbral de distancia . ${\displaystyle d_{TH}}$

Diseño de patrón cáustico de representación inversa diferenciable

Principio básico

Los gráficos inversos son un método para observar los datos de una imagen e inferir todas las propiedades posibles, incluida la geometría 3D, la iluminación, los materiales y el movimiento, para generar una imagen realista. ^[15] En los gráficos por computadora convencionales, para representar una imagen con la apariencia y los efectos deseados, se le dan todas las propiedades/características relevantes. Esto podría describirse como el método directo. Por el contrario, en el diseño cáustico, las propiedades y características de los objetos (especialmente la superficie del material) no son triviales. La restricción dada es la imagen de destino a obtener. Por tanto, el objetivo es obtener sus propiedades y características observando e infiriendo la imagen objetivo. Este puede considerarse el método inverso/hacia atrás.

La siguiente es la función de pérdida básica que explica cómo optimizar los parámetros:

${\displaystyle L(c)=\lVert f(c)-I\rVert ^{2}}$

dónde,

L ( c ) : función de pérdida, error cuadrático medio de la imagen renderizada y el objetivo

c : contiene elementos que pueden influir en la imagen generada

I : imagen de destino

Tubería diseñada

Diseño cáustico de renderizado inverso diferenciable

Al principio, se diseña el patrón objetivo y se calcula el pase hacia adelante para obtener el patrón sintético. Se compara con el patrón objetivo y se pierde. La objeción es dejar que el patrón sintético sea lo más similar posible al patrón objetivo. Y luego haga la propagación hacia atrás para obtener las propiedades optimizadas que se deben usar en la fabricación de cáusticos.

Elementos que contribuyen a la imagen generada.

• Apariencia ( ): la apariencia de la superficie por píxel se modela como producto de la textura mipmapeada y el brillo por píxel. ${\displaystyle A}$
• Geometría ( ): asume una escena 3D aproximada por triángulos, parametrizada por vértices . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
• Cámara ( ): distancia focal, el punto de vista, el centro de la cámara. ${\displaystyle C}$

Podría haber más elementos, por ejemplo albedo y coeficiente de refracción .

Marco general diferenciable

Introduzca U como una variable intermedia que indique las posiciones de las coordenadas de los vértices proyectadas en 2D. El gradiente de estas propiedades se puede derivar indirectamente mediante la regla de la cadena.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial V}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial A}}\times {\frac {\partial A}{\partial V}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial C}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial C}}}$

Después de aplicar el descenso de gradiente estocástico , se podría lograr el nivel óptimo . Posteriormente, estas cantidades se utilizan para tallar o fresar el material para generar el patrón objetivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$

Implementación

Un enfoque común es utilizar la capacidad de realizar operaciones diferenciales en varios marcos/bibliotecas de autodiferenciación de aprendizaje profundo , como: Tensorflow , PyTorch , Theano .

Un enfoque más es hacer uso del marco OpenDR ^[16] para construir un modelo de gráficos directos y obtener automáticamente derivadas con respecto a los parámetros del modelo para su optimización. A medida que se obtienen las propiedades de optimización, se puede generar la imagen de destino. OpenDR proporciona un método de optimización local que puede incorporarse a marcos de programación probabilística. Esto se puede utilizar para resolver el problema de la cáustica.

Fabricación

Proceso de diseño y fabricación.

Una vez que se haya diseñado computacionalmente el patrón cáustico, los datos procesados ​​se enviarán a la etapa de fabricación para obtener el producto final. El enfoque más común es la fabricación sustractiva ( mecanizado ).

Se pueden utilizar varios materiales dependiendo de la calidad deseada, el esfuerzo que requiere su fabricación y el método de fabricación disponible.

• Materiales refractivos comunes: acrílico , policarbonato , polietileno , vidrio , diamante.
• Materiales reflectantes comunes: acero , hierro , aluminio , oro , plata , titanio , níquel

Arquitectura

El diseño de patrones cáusticos tiene muchas aplicaciones en el mundo real, por ejemplo en:

• Luminarias
• Joyas
• Arquitectura
• Producción de vidrio decorativo.

Ver también

• Enfoque (óptica)
• Circulo de confusion
• Cáustico (matemáticas)

Referencias

1. Lynch, DK; Livingston, W (2001). "La red cáustica". Color y Luz en la Naturaleza . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-77504-5.
2. Weinstein, Lev Albertovich (1969). Resonadores abiertos y guías de ondas abiertas . Boulder, Colorado: The Golem Press.
3. Círculo Catacáustico. Wolfram MathWorld . Consultado el 17 de julio de 2009.
4. Levi, Mark (2 de abril de 2018). "Centrándonos en las nefroides". Noticias SIAM . Consultado el 1 de junio de 2018 .
5. Cáusticas arcoiris
6. Franjas cáusticas
7. Guardado, Juan (2004). "Capítulo 2. Renderizado de cáusticos para agua". En Fernando, Randima (ed.). GPU Gems: técnicas de programación, consejos y trucos para gráficos en tiempo real . Addison-Wesley. ISBN 978-0321228321.
8. "Texturizado de agua cáustica con Unity 3D". Software de doble altura . Consultado el 28 de mayo de 2017 .
9. Marios Papas (abril de 2011). "Cáusticas basadas en objetivos" (PDF) . Foro de infografía (Proc. Eurographics) . 30 (2). doi :10.1111/j.1467-8659.2011.01876.x. Archivado (PDF) desde el original el 11 de mayo de 2021.(Recursos adicionales en el sitio de la Universidad de Dartmouth de Wojciech Jarosz)
10. Villani, Cedric (2009). Transporte óptimo: antiguo y nuevo . Springer-Verlag Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-540-71049-3.
11. Philip Ball (febrero de 2013). "Domadores de luz". Científico nuevo . 217 (2902): 40–43. Código Bib : 2013NewSc.217...40B. doi :10.1016/S0262-4079(13)60310-3.
12. Coreografía de la luz: el nuevo algoritmo controla los patrones de luz llamados 'cáusticas' y los organiza en imágenes coherentes
13. Schwartzburg, Yuliy; Testuz, Romain; Tagliasacchi, Andrea; Pauly, Mark (27 de julio de 2014). "Diseño cáustico computacional de alto contraste". Transacciones ACM sobre gráficos . 33 (4): 1–11. doi :10.1145/2601097.2601200.
14. Cédric, Villani (2009). Transporte Óptimo, Antiguo y Nuevo . Saltador. ISBN 978-3-540-71050-9.
15. Loper, Mateo M.; Black, Michael J. (2014), "OpenDR: un renderizador diferenciable aproximado", Computer Vision - ECCV 2014 , Springer International Publishing, págs. 154-169, doi : 10.1007/978-3-319-10584-0_11 , ISBN 978-3-319-10583-3
16. Loper, Mateo M.; Black, Michael J. (2014), "OpenDR: un renderizador diferenciable aproximado", Computer Vision - ECCV 2014 , Springer International Publishing, págs. 154-169, doi : 10.1007/978-3-319-10584-0_11 , ISBN 978-3-319-10583-3

• Nacido, Max ; Lobo, Emil (1999). Principios de la óptica: teoría electromagnética de la propagación, interferencia y difracción de la luz (7ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-64222-4.
• Nye, John (1999).Enfoque natural y estructura fina de la luz: cáusticas y dislocaciones de ondas. Prensa CRC. ISBN 978-0-7503-0610-2.

Otras lecturas

• Ferraro, Pietro (1996). "¡Qué cáustico!". El Profesor de Física . 34 (9): 572–573. Código bibliográfico : 1996PhTea..34..572F. doi : 10.1119/1.2344572.
• Dachsbacher, Carsten; Liktor, Gábor (febrero de 2011). "Cáusticas de volumen en tiempo real con seguimiento de haz adaptativo". Simposio sobre juegos y gráficos 3D interactivos . MCA: 47–54.