Cáustico (matemáticas)

Envolvente de rayos reflejados o refractados por una variedad

Cáustica reflectante generada a partir de un círculo y rayos paralelos. En un lado, cada punto está contenido en tres rayos de luz; en el otro lado, cada punto está contenido en un rayo de luz.

En geometría diferencial , una cáustica es la envoltura de rayos reflejados o refractados por una variedad . Está relacionada con el concepto de cáustica en óptica geométrica . La fuente del rayo puede ser un punto (llamado radiante) o rayos paralelos desde un punto en el infinito, en cuyo caso se debe especificar un vector de dirección de los rayos.

De manera más general, especialmente en lo que se aplica a la geometría simpléctica y la teoría de la singularidad , una cáustica es el conjunto de valores críticos de una función lagrangiana ( π ○ i ): L ↪ M ↠ B ; donde i  : L ↪ M es una inmersión lagrangiana de una subvariedad lagrangiana L en una variedad simpléctica M , y π  : M ↠ B es una fibración lagrangiana de la variedad simpléctica M . La cáustica es un subconjunto del espacio base de la fibración lagrangiana B . ^[1]

Explicación

Los rayos refractados por una superficie no plana forman cáusticas allí donde muchos de ellos se cruzan.

La concentración de luz, especialmente la solar , puede quemar. La palabra cáustico , de hecho, viene del griego καυστός, quemado, pasando por el latín causticus , que arde.

Una situación común en la que las cáusticas son visibles es cuando la luz brilla sobre un vaso de bebida. El vaso proyecta una sombra, pero también produce una región curva de luz brillante. En circunstancias ideales (incluidos rayos perfectamente paralelos, como si provinieran de una fuente puntual en el infinito), se puede producir una mancha de luz con forma de nefroide . ^{[2] [3]} Las cáusticas onduladas se forman comúnmente cuando la luz brilla a través de ondas en una masa de agua.

Otra cáustica conocida es el arco iris . ^{[4] [5]} La dispersión de la luz por las gotas de lluvia hace que diferentes longitudes de onda de luz se refracten en arcos de diferente radio, produciendo el arco.

Catacáustico

Un catacáustico es el caso reflexivo.

Con un radiante, es la evolutiva de la ortotómica del radiante.

Caso de rayos de origen paralelos y planos: supongamos que el vector de dirección es y la curva del espejo está parametrizada como . El vector normal en un punto es ; la reflexión del vector de dirección es (la normal necesita una normalización especial) ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (u(t),v(t))}$ ${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

Teniendo componentes del vector reflejado encontrado, trátelo como una tangente

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

Usando el formato de sobre más simple

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

Lo cual puede resultar antiestético, pero da un sistema lineal y , por lo tanto, es elemental obtener una parametrización de la catacáustica. La regla de Cramer serviría. ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Ejemplo

Sea el vector de dirección (0,1) y el espejo Entonces ${\displaystyle (t,t^{2}).}$

${\displaystyle u'=1}$   ${\displaystyle u''=0}$   ${\displaystyle v'=2t}$   ${\displaystyle v''=2}$   ${\displaystyle a=0}$   ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

y tiene solución , es decir , la luz que entra en un espejo parabólico paralela a su eje se refleja a través del foco. ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ ${\displaystyle (0,1/4)}$

Véase también

• Lugar de corte (variedad de Riemann)
• Última afirmación geométrica de Jacobi
• Cáustico nefroide

Referencias

1. Arnold, VI ; Varchenko, AN ; Gusein-Zade, SM (1985). Clasificación de puntos críticos, cáusticos y frentes de onda: singularidades de mapas diferenciables, vol . 1. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
2. Círculo catacáustico. Wolfram MathWorld . Consultado el 17 de julio de 2009.
3. Levi, Mark (2 de abril de 2018). "Enfocándose en las nefroides". Noticias SIAM . Consultado el 1 de junio de 2018 .
4. Cáusticos arcoiris
5. Franjas cáusticas

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cáustico". MathWorld .