Marco de referencia

Sistema de coordenadas abstracto

En física y astronomía , un marco de referencia (o marco de referencia ) es un sistema de coordenadas abstracto cuyo origen , orientación y escala están especificados por un conjunto de puntos de referencia : puntos geométricos cuya posición se identifica matemáticamente (con valores de coordenadas numéricas) y físicamente (señalizado por marcadores convencionales). ^[1]

Para n dimensiones, n + 1 puntos de referencia son suficientes para definir completamente un marco de referencia. Usando coordenadas cartesianas rectangulares , se puede definir un sistema de referencia con un punto de referencia en el origen y un punto de referencia a una unidad de distancia a lo largo de cada uno de los n ejes de coordenadas . ^{[ cita necesaria ]}

En la relatividad einsteiniana , los marcos de referencia se utilizan para especificar la relación entre un observador en movimiento y el fenómeno bajo observación. En este contexto, el término suele convertirse en marco de referencia observacional (o marco de referencia observacional ), lo que implica que el observador está en reposo en el marco, aunque no necesariamente ubicado en su origen . Un marco de referencia relativista incluye (o implica) el tiempo de coordenadas , que no equivale a diferentes marcos de referencia que se mueven relativamente entre sí. La situación difiere así de la relatividad galileana , en la que todos los tiempos coordinados posibles son esencialmente equivalentes. ^{[ cita necesaria ]}

Definición

La necesidad de distinguir entre los diversos significados de "marco de referencia" ha dado lugar a una variedad de términos. Por ejemplo, a veces el tipo de sistema de coordenadas se adjunta como modificador, como en el marco de referencia cartesiano . A veces se enfatiza el estado de movimiento, como en el marco de referencia giratorio . A veces se enfatiza la forma en que se transforma a marcos considerados como relacionados como en el marco de referencia galileano . En ocasiones los marcos se distinguen por la escala de sus observaciones, como en los marcos de referencia macroscópicos y microscópicos . ^[2]

En este artículo, el término marco de referencia observacional se utiliza cuando el énfasis está en el estado de movimiento más que en la elección de coordenadas o el carácter de las observaciones o del aparato de observación. En este sentido, un marco de referencia observacional permite estudiar el efecto del movimiento sobre toda una familia de sistemas de coordenadas que podrían adjuntarse a este marco. Por otro lado, un sistema de coordenadas puede emplearse para muchos propósitos donde el estado de movimiento no es la preocupación principal. Por ejemplo, se puede adoptar un sistema de coordenadas para aprovechar la simetría de un sistema. En una perspectiva aún más amplia, la formulación de muchos problemas de física emplea coordenadas generalizadas , modos normales o vectores propios , que sólo están relacionados indirectamente con el espacio y el tiempo. Parece útil separar los diversos aspectos de un marco de referencia para la discusión siguiente. Por lo tanto, tomamos los marcos de referencia de observación, los sistemas de coordenadas y el equipo de observación como conceptos independientes, separados como se muestra a continuación:

• Un marco de observación (como un marco inercial o un marco de referencia no inercial ) es un concepto físico relacionado con el estado de movimiento.
• Un sistema de coordenadas es un concepto matemático que equivale a una elección del lenguaje utilizado para describir observaciones. ^[3] En consecuencia, un observador en un marco de referencia observacional puede optar por emplear cualquier sistema de coordenadas (cartesiano, polar, curvilíneo, generalizado, ...) para describir las observaciones realizadas desde ese marco de referencia. Un cambio en la elección de este sistema de coordenadas no cambia el estado de movimiento del observador y, por tanto, no implica un cambio en el marco de referencia de observación del observador. Este punto de vista también se puede encontrar en otros lugares. ^[4] Lo cual no quiere decir que algunos sistemas de coordenadas puedan ser una mejor opción para algunas observaciones que otras.

• La elección de qué medir y con qué aparato de observación es una cuestión independiente del estado de movimiento del observador y de la elección del sistema de coordenadas.

^[a]

Sistemas coordinados

Un observador O, situado en el origen de un conjunto local de coordenadas – un marco de referencia F . El observador en este cuadro usa las coordenadas ( x, y, z, t ) para describir un evento de espacio-tiempo, mostrado como una estrella.

Aunque el término "sistema de coordenadas" se utiliza a menudo (particularmente por los físicos) en un sentido no técnico, el término "sistema de coordenadas" tiene un significado preciso en matemáticas y, a veces, eso es lo que los físicos también quieren decir.

Un sistema de coordenadas en matemáticas es una faceta de la geometría o del álgebra , ^{[9] [10]} en particular, una propiedad de las variedades (por ejemplo, en física, espacios de configuración o espacios de fase ). ^{[11] [12]} Las coordenadas de un punto r en un espacio de n dimensiones son simplemente un conjunto ordenado de n números: ^{[13] [14]}

${\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots ,\ x^{n}].}$

En un espacio de Banach general , estos números podrían ser (por ejemplo) coeficientes en una expansión funcional como una serie de Fourier . En un problema físico, podrían ser coordenadas espacio-temporales o amplitudes de modo normal . En el diseño de un robot , podrían ser ángulos de rotaciones relativas, desplazamientos lineales o deformaciones de articulaciones . ^[15] Aquí supondremos que estas coordenadas se pueden relacionar con un sistema de coordenadas cartesiano mediante un conjunto de funciones:

${\displaystyle x^{j}=x^{j}(x,\ y,\ z,\ \dots ),\quad j=1,\ \dots ,\ n,}$

donde x , y , z , etc. son las n coordenadas cartesianas del punto. Dadas estas funciones, las superficies de coordenadas están definidas por las relaciones:

${\displaystyle x^{j}(x,y,z,\dots )=\mathrm {constant} ,\quad j=1,\ \dots ,\ n.}$

La intersección de estas superficies define líneas de coordenadas . En cualquier punto seleccionado, las tangentes a las líneas de coordenadas que se cruzan en ese punto definen un conjunto de vectores base { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } en ese punto. Es decir: ^[16]

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}(\mathbf {r} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i}+\epsilon ,\ \dots ,\ x^{n}\right)-\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i},\ \dots ,\ x^{n}\right)}{\epsilon }},\quad i=1,\ \dots ,\ n,}$

que se puede normalizar para que tenga una longitud unitaria. Para más detalles ver coordenadas curvilíneas .

Las superficies de coordenadas, las líneas de coordenadas y los vectores de base son componentes de un sistema de coordenadas . ^[17] Si los vectores base son ortogonales en cada punto, el sistema de coordenadas es un sistema de coordenadas ortogonal .

Un aspecto importante de un sistema de coordenadas es su tensor métrico g _ik , que determina la longitud del arco ds en el sistema de coordenadas en términos de sus coordenadas: ^[18]

${\displaystyle (ds)^{2}=g_{ik}\ dx^{i}\ dx^{k},}$

donde se suman los índices repetidos.

Como se desprende de estas observaciones, un sistema de coordenadas es una construcción matemática , parte de un sistema axiomático . No existe una conexión necesaria entre los sistemas de coordenadas y el movimiento físico (o cualquier otro aspecto de la realidad). Sin embargo, los sistemas de coordenadas pueden incluir el tiempo como coordenada y pueden usarse para describir el movimiento. Por tanto, las transformaciones de Lorentz y las transformaciones de Galileo pueden verse como transformaciones de coordenadas .

Marco de referencia observacional

Tres marcos de referencia en relatividad especial. El marco negro está en reposo. El marco preparado se mueve al 40% de la velocidad de la luz y el marco doblemente preparado al 80%. Observe el cambio en forma de tijera a medida que aumenta la velocidad.

Un marco de referencia observacional , a menudo denominado marco de referencia físico , marco de referencia o simplemente marco , es un concepto físico relacionado con un observador y su estado de movimiento. Aquí adoptamos la opinión expresada por Kumar y Barve: un marco de referencia observacional se caracteriza únicamente por su estado de movimiento . ^[19] Sin embargo, falta unanimidad sobre este punto. En la relatividad especial, a veces se hace la distinción entre un observador y un marco . Según esta visión, un marco es un observador más una red de coordenadas construida para ser un conjunto ortonormal derecho de vectores espaciales perpendiculares a un vector temporal. Ver Doran. ^[20] Esta visión restringida no se utiliza aquí y no se adopta universalmente ni siquiera en las discusiones sobre la relatividad. ^{[21] [22]} En la relatividad general, el uso de sistemas de coordenadas generales es común (ver, por ejemplo, la solución de Schwarzschild para el campo gravitacional fuera de una esfera aislada ^[23] ).

Hay dos tipos de marco de referencia observacional: inercial y no inercial . Un marco de referencia inercial se define como aquel en el que todas las leyes de la física adoptan su forma más simple. En la relatividad especial, estos marcos están relacionados mediante transformaciones de Lorentz , que están parametrizadas por la rapidez . En la mecánica newtoniana, una definición más restringida sólo requiere que la primera ley de Newton sea cierta; es decir, un sistema inercial newtoniano es aquel en el que una partícula libre viaja en línea recta a velocidad constante , o está en reposo. Estos marcos están relacionados por transformaciones galileanas . Estas transformaciones relativistas y newtonianas se expresan en espacios de dimensión general en términos de representaciones del grupo de Poincaré y del grupo galileano .

A diferencia del marco inercial, un marco de referencia no inercial es aquel en el que se deben invocar fuerzas ficticias para explicar las observaciones. Un ejemplo es un marco de referencia de observación centrado en un punto de la superficie de la Tierra. Este marco de referencia orbita alrededor del centro de la Tierra, lo que introduce las fuerzas ficticias conocidas como fuerza de Coriolis , fuerza centrífuga y fuerza gravitacional . (Todas estas fuerzas, incluida la gravedad, desaparecen en un marco de referencia verdaderamente inercial, que es uno de caída libre).

Aparato de medición

Otro aspecto de un marco de referencia es el papel del aparato de medición (por ejemplo, relojes y varillas) unidos al marco (ver cita de Norton arriba). Esta cuestión no se aborda en este artículo y es de particular interés en la mecánica cuántica , donde la relación entre el observador y la medición aún está en discusión (ver problema de medición ).

En los experimentos de física, el marco de referencia en el que se encuentran en reposo los dispositivos de medición del laboratorio suele denominarse marco de laboratorio o simplemente "marco de laboratorio". Un ejemplo sería el marco en el que están en reposo los detectores de un acelerador de partículas. El marco del laboratorio en algunos experimentos es un marco inercial, pero no es necesario que lo sea (por ejemplo, el laboratorio en la superficie de la Tierra en muchos experimentos de física no es inercial). En experimentos de física de partículas, a menudo es útil transformar las energías y los momentos de las partículas desde el marco del laboratorio donde se miden al centro del marco del momento "marco COM", en el que los cálculos a veces se simplifican, ya que potencialmente toda la energía cinética todavía está presente en el marco COM se puede utilizar para crear nuevas partículas.

A este respecto cabe señalar que los relojes y varillas que a menudo se utilizan en el pensamiento para describir los equipos de medición de los observadores, en la práctica son reemplazados por una metrología mucho más complicada e indirecta que está relacionada con la naturaleza del vacío y utiliza relojes atómicos que operan de acuerdo con el modelo estándar y deben corregirse por la dilatación del tiempo gravitacional . ^[24] (Ver segundo , metro y kilogramo ).

De hecho, Einstein creía que los relojes y las varillas eran simplemente dispositivos de medición convenientes y debían ser reemplazados por entidades más fundamentales basadas, por ejemplo, en átomos y moléculas. ^[25]

Generalización

Brading y Castellani llevan la discusión más allá de los simples sistemas de coordenadas espacio-temporales. ^[26] La extensión a sistemas de coordenadas utilizando coordenadas generalizadas subyace a las formulaciones hamiltonianas y lagrangianas ^[27] de la teoría cuántica de campos , la mecánica relativista clásica y la gravedad cuántica . ^{[28] [29] [30] [31] [32]}

Instancias

• Marco de referencia terrestre internacional
• Marco de referencia celeste internacional
• En mecánica de fluidos, especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo.

Otros marcos

• Campos de marco en relatividad general
• Marco móvil en matemáticas.

Ver también

• Mecánica analítica
• Mecánica Aplicada
• sistema de coordenadas Cartesianas
• Cuadro de centro de momento
• Fuerza centrífuga
• Fuerza centrípeta
• Mecanica clasica
• fuerza Coriolis
• Coordenadas curvilíneas
• Referencia de dato
• Dinámica (física)
• Fórmulas de Frenet-Serret
• invariancia galileana
• Relatividad general
• Coordenadas generalizadas
• Fuerzas generalizadas
• Marco de referencia geodésico
• Marco de referencia inercial
• Coordenadas locales
• Marco material-indiferencia
• Prueba de varilla y marco.
• Cinemática
• Marco de referencia del laboratorio.
• Transformación de Lorentz
• principio de mach
• Coordenadas ortogonales
• Principio de relatividad
• Marco de referencia cuántico

Notas

1. Aquí hay una cita aplicable a marcos de observación en movimiento y varios sistemas de coordenadas euclidianas de tres espacios asociados [ R , R′ , etc. ]: ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

   Primero introducimos la noción de marco de referencia , a su vez relacionada con la idea de observador : el marco de referencia es, en cierto sentido, el "espacio euclidiano transportado por el observador". Demos una definición más matemática:… el sistema de referencia es… el conjunto de todos los puntos en el espacio euclidiano con el movimiento del cuerpo rígido del observador. Se dice que el marco, denotado , se mueve con el observador... Las posiciones espaciales de las partículas se etiquetan en relación con un marco estableciendo un sistema de coordenadas R con origen O. Se puede considerar que el conjunto correspondiente de ejes, que comparten el movimiento del cuerpo rígido del marco , proporciona una realización física de . En un marco , las coordenadas se cambian de R a R′ realizando, en cada instante, la misma transformación de coordenadas en los componentes de objetos intrínsecos (vectores y tensores) introducidos para representar cantidades físicas en este marco . ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

   y esto sobre la utilidad de separar las nociones de y [ R , R′ , etc. ]: ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

   Como señaló Brillouin, debe hacerse una distinción entre conjuntos matemáticos de coordenadas y marcos de referencia físicos. El desconocimiento de tal distinción es fuente de mucha confusión... las funciones dependientes, como la velocidad, por ejemplo, se miden con respecto a un sistema de referencia físico, pero uno es libre de elegir cualquier sistema de coordenadas matemático en el que se especifiquen las ecuaciones.

   y esto, también sobre la distinción entre y [ R , R′ , etc. ]: ^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

   La idea de un sistema de referencia es realmente bastante diferente de la de un sistema de coordenadas. Los marcos difieren sólo cuando definen diferentes espacios (conjuntos de puntos de descanso ) o tiempos (conjuntos de eventos simultáneos). Así, las ideas de espacio, de tiempo, de reposo y simultaneidad, van inextricablemente unidas a la de marco. Sin embargo, un simple cambio de origen o una rotación puramente espacial de las coordenadas espaciales da como resultado un nuevo sistema de coordenadas. Por tanto, los marcos corresponden en el mejor de los casos a clases de sistemas de coordenadas.

   y de JD Norton: ^[8]

   En los desarrollos tradicionales de la relatividad especial y general ha sido costumbre no distinguir entre dos ideas bastante distintas. La primera es la noción de sistema de coordenadas, entendido simplemente como la asignación suave e invertible de cuatro números a eventos en vecindades del espacio-tiempo. El segundo, el marco de referencia, se refiere a un sistema idealizado utilizado para asignar tales números […] Para evitar restricciones innecesarias, podemos separar este arreglo de las nociones métricas. […] De especial importancia para nuestros propósitos es que cada sistema de referencia tiene un estado de movimiento definido en cada evento del espacio-tiempo. […] Dentro del contexto de la relatividad especial y mientras nos limitemos a marcos de referencia en movimiento inercial, entonces poco de importancia depende de la diferencia entre un marco de referencia inercial y el sistema de coordenadas inercial que induce. Esta cómoda circunstancia cesa inmediatamente una vez que comenzamos a considerar marcos de referencia en movimientos no uniformes, incluso dentro de la relatividad especial... Más recientemente, para negociar las obvias ambigüedades del tratamiento de Einstein, la noción de marco de referencia ha reaparecido como una estructura distinta de un sistema de coordenadas. .

Referencias

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2. La distinción entre marcos macroscópicos y microscópicos aparece, por ejemplo, en el electromagnetismo, donde se utilizan relaciones constitutivas de varias escalas de tiempo y longitud para determinar las densidades de corriente y carga que entran en las ecuaciones de Maxwell . Véase, por ejemplo, Kurt Edmund Oughstun (2006). Propagación de pulsos electromagnéticos y ópticos 1: representaciones espectrales en medios temporalmente dispersos. Saltador. pag. 165.ISBN​ 0-387-34599-X.. Estas distinciones también aparecen en termodinámica. Véase Paul McEvoy (2002). Teoría clásica. MicroAnalytix. pag. 205.ISBN​ 1-930832-02-8..
3. En términos muy generales, un sistema de coordenadas es un conjunto de arcos x ⁱ = x ⁱ ( t ) en un grupo de Lie complejo ; véase Lev Semenovich Pontri͡agin (1986). LS Pontryagin: Obras seleccionadas vol. 2: Grupos topológicos (3ª ed.). Gordon y Breach. pag. 429.ISBN​ 2-88124-133-6.. De manera menos abstracta, un sistema de coordenadas en un espacio de n dimensiones se define en términos de un conjunto básico de vectores { e ₁ , e ₂ ,... e _n }; véase Eduardo Sernesi; J. Montaldi (1993). Álgebra lineal: un enfoque geométrico. Prensa CRC. pag. 95.ISBN​ 0-412-40680-2.Como tal, el sistema de coordenadas es una construcción matemática, un lenguaje, que puede estar relacionado con el movimiento, pero no tiene una conexión necesaria con el movimiento.
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21. ^, obviamente también podemos emplear coordenadas curvilíneas generales para la fijación de puntos en el espacio físico... ahora introduciremos coordenadas generales" curvilíneas " xi en cuatro espacios..." C. Moller (1952). La teoría de la relatividad . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 222 y pág. 233.
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