Teoría de la representación del grupo galileano.

En la mecánica cuántica no relativista , se puede dar cuenta de la existencia de masa y espín (normalmente explicados en la clasificación de la mecánica relativista de Wigner ) en términos de la teoría de representación del grupo galileano , que es el grupo de simetría espacio-temporal de la mecánica cuántica no relativista.

En $3 + 1$ dimensiones, este es el subgrupo del grupo afín en ( $t, x, y, z$ ), cuya parte lineal deja invariantes tanto la métrica ( $g μν = diag(1, 0, 0, 0)$ ) como la Métrica dual (independiente) ( $g μν = diag(0, 1, 1, 1)$ ). Se aplica una definición similar para $n + 1$ dimensiones.

Estamos interesados en representaciones proyectivas de este grupo, que son equivalentes a representaciones unitarias de la extensión central no trivial del grupo de cobertura universal del grupo galileano por el grupo de Lie unidimensional $R$ , cf. el artículo Grupo galileano para la extensión central de su álgebra de Lie . Para su estudio se utilizará el método de las representaciones inducidas .

Aquí nos centramos en el álgebra de Lie (centralmente extendida, de Bargmann), porque es más sencilla de analizar y siempre podemos extender los resultados al grupo de Lie completo mediante el teorema de Frobenius .

[E,P_{i}]=0

[P_{i},P_{j}]=0

[L_{ij},E]=0

[C_{i},C_{j}]=0

[L_{ij},L_{kl}]=i\hbar [\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]

[L_{ij},P_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]

[L_{ij},C_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]

[C_{i},E]=i\hbar P_{i}

[C_{i},P_{j}]=i\hbar M\delta _{ij}~.

$E$ es el generador de traslaciones de tiempo ( _hamiltoniano ) , Pi es el generador de traslaciones ( operador de momento ₎ , Ci _es el generador de impulsos galileanos y Lij representa un generador de rotaciones ( operador de momento angular ). La carga central $M$ es una invariante de Casimir .

El invariante masa-shell

ME-{P^{2} \over 2}

es un invariante adicional de Casimir .

En $3 + 1$ dimensiones, un tercer invariante de Casimir es $W 2$ , donde

{\vec {W}}\equiv M{\vec {L}}+{\vec {P}}\times {\vec {C}}~,

algo análogo al pseudovector de Pauli-Lubanski de la mecánica relativista.

De manera más general, en $n + 1$ dimensiones, las invariantes serán una función de

W_{ij}=ML_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}

W_{ijk}=P_{i}L_{jk}+P_{j}L_{ki}+P_{k}L_{ij}~,

así como de la carga central e invariante masa-capa anterior.

Utilizando el lema de Schur , en una representación unitaria irreductible , todos estos invariantes de Casimir son múltiplos de la identidad. Llame a estos coeficientes $m$ y $mE 0$ y (en el caso de $3 + 1$ dimensiones) $w$ , respectivamente. Recordando que aquí estamos considerando representaciones unitarias, vemos que estos valores propios tienen que ser números reales .

Por tanto, $m > 0$ , $m = 0$ y $m < 0$ . (El último caso es similar al primero). En $3 + 1$ dimensiones, cuando In $m > 0$ , podemos escribir $w = ms$ para el tercer invariante, donde $s$ representa el espín o momento angular intrínseco. De manera más general, en $n + 1$ dimensiones, los generadores $L$ y $C$ estarán relacionados, respectivamente, con el momento angular total y el momento del centro de masa por

W_{ij}=MS_{ij}

L_{ij}=S_{ij}+X_{i}P_{j}-X_{j}P_{i}

C_{i}=MX_{i}-P_{i}t~.

Desde un punto de vista puramente teórico de la representación, habría que estudiar todas las representaciones; pero aquí sólo nos interesan las aplicaciones a la mecánica cuántica. Allí, $E$ representa la energía , que debe limitarse por debajo, si se requiere estabilidad termodinámica. Consideremos primero el caso en el que $m$ es distinto de cero.

Considerando el espacio ( $E$ , P → ) con la restricción

mE=mE_{0}+{P^{2} \over 2}~,

transitivamente

E

P

m v \to = P \to

La hipersuperficie está parametrizada por esta velocidad In $v \to$ . Considere el estabilizador de un punto de la órbita , ( $E 0, 0$ ), donde la velocidad es $0$ . Debido a la transitividad, sabemos que el irrep unitario contiene un subespacio lineal no trivial con estos valores propios de energía-momento. (Este subespacio sólo existe en un espacio de Hilbert amañado , porque el espectro de impulso es continuo).

$El$ subespacio está atravesado por $E$ , $P$ $\to$ , $M$ y $Lij$ . Ya sabemos cómo se transforma el subespacio del irrep bajo todos los operadores excepto el momento angular . Tenga en cuenta que el subgrupo de rotación es Spin(3) . Tenemos que fijarnos en su doble portada , porque estamos considerando representaciones proyectivas. Esto se llama el pequeño grupo , nombre dado por Eugene Wigner . Su método de representaciones inducidas especifica que la irrep está dada por la suma directa de todas las fibras en un haz de vectores sobre la hipersuperficie $mE$ $=$ $mE$ $0$ $+$ $P$ $2$ $/2$ , cuyas fibras son una irrep unitaria de $Spin(3)$ .

$Spin(3)$ no es otro que $SU(2)$ . (Ver teoría de representación de SU(2) , donde se muestra que los irreps unitarios de $SU(2)$ están etiquetados por $s$ , un múltiplo entero no negativo de la mitad. Esto se llama espín , por razones históricas).

En consecuencia, para $m \neq 0$ , los irreps unitarios se clasifican por $m$ , $E 0$ y un espín $s$ .
Al observar el espectro de $E$ , es evidente que si $m$ es negativo, el espectro de $E$ no está acotado por debajo. Por tanto, sólo el caso con masa positiva es físico.
Ahora, considere el caso $m = 0$ . Por unitaridad, $mE-{P^{2} \over 2}={-P^{2} \over 2}$

no es positivo. Supongamos que es cero. En este caso, son también los impulsos y las rotaciones los que constituyen el pequeño grupo. Cualquier irrep. unitaria de este pequeño grupo también da lugar a una irrep. proyectiva del grupo galileano. Hasta donde podemos decir, sólo el caso que se transforma trivialmente bajo el pequeño grupo tiene alguna interpretación física, y corresponde al estado sin partícula, el vacío .

El caso en el que la invariante es negativa requiere comentarios adicionales. Esto corresponde a la clase de representación para $m$ = 0 y distinto de cero $P \to$ . Ampliando la clasificación de bradión , luxón y taquión de la teoría de representación del grupo de Poincaré a una clasificación análoga, aquí se pueden denominar estos estados como sincrónicos . Representan una transferencia instantánea de impulso distinto de cero a lo largo de una distancia (posiblemente grande). Asociado a ellos, por arriba, hay un operador de "tiempo"

t=-{{\vec {P}}\cdot {\vec {C}} \over P^{2}}~,

que podrá identificarse con el momento del traslado. Estos estados se interpretan naturalmente como portadores de fuerzas de acción instantánea a distancia.

NB: en el grupo Galilei de $3 + 1$ dimensiones, el generador de impulso se puede descomponer en

{\vec {C}}={{\vec {W}}\times {\vec {P}} \over P^{2}}-{\vec {P}}t~,

con W → desempeñando un papel análogo a la helicidad .

Ver también

Referencias

Bargmann, V. (1954). "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos", Annals of Mathematics , segunda serie, 59 , núm. 1 (enero de 1954), págs.
Lévy-Leblond, Jean-Marc (1967), "Partículas no relativistas y ecuaciones de ondas" (PDF) , Comunicaciones en física matemática , 6 (4), Springer: 286–311, Bibcode :1967CMaPh...6..286L, doi :10.1007/bf01646020, S2CID 121990089.
Ballentine, Leslie E. (1998). Mecánica cuántica, un desarrollo moderno . World Scientific Publishing Co Pte Ltd. ISBN 981-02-4105-4.
Gilmore, Robert (2006). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y algunas de sus aplicaciones (Libros de matemáticas de Dover) ISBN 0486445291