Operador de rotación (mecánica cuántica)

Operador cuántico

Este artículo trata del operador de rotación , tal como aparece en la mecánica cuántica .

Rotaciones mecánicas cuánticas

Con cada rotación física , postulamos un operador de rotación de la mecánica cuántica que rota los estados de la mecánica cuántica. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D(R)}$

$${\displaystyle |\alpha \rangle _{R}=D(R)|\alpha \rangle }$$

En cuanto a los generadores de rotación,

$${\displaystyle D(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {J} }{\hbar }}\right),}$$

el momento angularconstante de Planck reducida ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \hbar }$

El operador de traducción

El operador de rotación , con el primer argumento indicando el eje de rotación y el segundo el ángulo de rotación, puede operar a través del operador de traslación para rotaciones infinitesimales como se explica a continuación. Por esta razón, primero se muestra cómo actúa el operador de traducción sobre una partícula en la posición x (la partícula se encuentra entonces en el estado según la Mecánica Cuántica ). ${\displaystyle \operatorname {R} (z,\theta )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {T} (a)}$ ${\displaystyle |x\rangle }$

Traducción de la partícula de una posición a otra : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+a}$ ${\displaystyle \operatorname {T} (a)|x\rangle =|x+a\rangle }$

Debido a que una traslación de 0 no cambia la posición de la partícula, tenemos (donde 1 significa el operador de identidad , que no hace nada):

$${\displaystyle \operatorname {T} (0)=1}$$

$${\displaystyle \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)|x\rangle =\operatorname {T} (a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle =\operatorname {T} (a+da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a+da)}$$

El desarrollo de Taylor da:

$${\displaystyle \operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (0)+{\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}da+\cdots =1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da}$$

$${\displaystyle p_{x}=i\hbar {\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}}$$

De eso sigue:

$${\displaystyle \operatorname {T} (a+da)=\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow {\frac {\operatorname {T} (a+da)-\operatorname {T} (a)}{da}}={\frac {d\operatorname {T} }{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\operatorname {T} (a)}$$

Esta es una ecuación diferencial con la solución.

$${\displaystyle \operatorname {T} (a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right).}$$

Además, supongamos que un hamiltoniano es independiente de la posición. Debido a que el operador de traslación se puede escribir en términos de y , sabemos que este resultado significa que se conserva el momento lineal del sistema. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle [p_{x},H]=0}$ ${\displaystyle [H,\operatorname {T} (a)]=0.}$

En relación con el momento angular orbital

Clásicamente tenemos para el momento angular. Esto es lo mismo en la mecánica cuántica considerando y como operadores. Clásicamente, una rotación infinitesimal del vector alrededor del eje hasta dejarlo sin cambios se puede expresar mediante las siguientes traslaciones infinitesimales (usando la aproximación de Taylor ): ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '=(x',y',z)}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=r\cos(t+dt)=x-y\,dt+\cdots \\y'&=r\sin(t+dt)=y+x\,dt+\cdots \end{aligned}}}$$

De eso se sigue para los estados:

$${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)|r\rangle =\operatorname {R} (z,dt)|x,y,z\rangle =|x-y\,dt,y+x\,dt,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|x,y,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|r\rangle }$$

Y consecuentemente:

$${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)=\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)}$$

Usando

$${\displaystyle T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{k}a\right)}$$

${\displaystyle k=x,y}$

$${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(xp_{y}-yp_{x}\right)dt\right]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt+\cdots }$$

producto cruz ${\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}}$ ${\displaystyle z}$

Para obtener una rotación para el ángulo , construimos la siguiente ecuación diferencial usando la condición : ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \operatorname {R} (z,0)=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {R} (z,t+dt)=\operatorname {R} (z,t)\operatorname {R} (z,dt)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&{\frac {d\operatorname {R} }{dt}}={\frac {\operatorname {R} (z,t+dt)-\operatorname {R} (z,t)}{dt}}=\operatorname {R} (z,t){\frac {\operatorname {R} (z,dt)-1}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}\operatorname {R} (z,t)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&\operatorname {R} (z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\,t\,L_{z}\right)\end{aligned}}}$$

De manera similar al operador de traslación, si se nos da un hamiltoniano que es rotacionalmente simétrico con respecto al eje -, implica . Este resultado significa que se conserva el momento angular. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [L_{z},H]=0}$ ${\displaystyle [\operatorname {R} (z,t),H]=0}$

Para el momento angular de giro, por ejemplo, alrededor del eje, simplemente lo reemplazamos con (donde está la matriz Y de Pauli ) y obtenemos el operador de rotación de giro . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\textstyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

$${\displaystyle \operatorname {D} (y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right).}$$

Efecto sobre el operador de espín y los estados cuánticos.

Los operadores se pueden representar mediante matrices . Del álgebra lineal se sabe que una determinada matriz se puede representar en otra base mediante la transformación ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A'=PAP^{-1}}$$

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle S_{c}}$

$${\displaystyle S_{c}=\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)}$$

De la mecánica cuántica estándar tenemos los resultados conocidos y dónde están los top spins en sus bases correspondientes. Entonces tenemos: ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ ${\textstyle S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle }$ ${\displaystyle |b+\rangle }$ ${\displaystyle |c+\rangle }$

$${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle =\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow }$$

$${\displaystyle S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle }$$

Comparación con rendimientos . ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ ${\displaystyle |b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle }$

Esto significa que si el estado se gira alrededor del eje un ángulo , se convierte en el estado , un resultado que se puede generalizar a ejes arbitrarios. ${\displaystyle |c+\rangle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |b+\rangle }$

Ver también

• Simetría en mecánica cuántica
• base esférica
• Espacio de fase óptica

Referencias

• LD Landau y EM Lifshitz: Mecánica cuántica: teoría no relativista , Pergamon Press, 1985
• PAM Dirac: Los principios de la mecánica cuántica , Oxford University Press, 1958
• RP Feynman, RB Leighton y M. Sands: Las conferencias de física de Feynman , Addison-Wesley, 1965