Sistemas de fermiones causales

Candidato a teoría unificada de la física.

La teoría de los sistemas causales de fermiones es un enfoque para describir la física fundamental . Proporciona una unificación de las fuerzas débiles , fuertes y electromagnéticas con la gravedad al nivel de la teoría de campos clásica . ^{[1] [2]} Además, presenta la mecánica cuántica como un caso límite y ha revelado conexiones estrechas con la teoría cuántica de campos . ^{[3] [4]} Por lo tanto, es candidato a una teoría física unificada. En lugar de introducir objetos físicos en una variedad de espacio-tiempo preexistente , el concepto general es derivar el espacio-tiempo, así como todos los objetos que contiene, como objetos secundarios a partir de las estructuras de un sistema de fermiones causal subyacente. Este concepto también permite generalizar nociones de geometría diferencial al entorno no suave. ^{[5] [6]} En particular, se pueden describir situaciones en las que el espacio-tiempo ya no tiene una estructura múltiple en la escala microscópica (como una red de espacio-tiempo u otras estructuras discretas o continuas en la escala de Planck ). Como resultado, la teoría de los sistemas causales de fermiones es una propuesta de geometría cuántica y una aproximación a la gravedad cuántica .

Felix Finster y sus colaboradores introdujeron los sistemas de fermiones causales .

Motivación y concepto físico.

El punto de partida físico es el hecho de que la ecuación de Dirac en el espacio de Minkowski tiene soluciones de energía negativa que suelen estar asociadas al mar de Dirac . Tomando en serio el concepto de que los estados del mar de Dirac forman una parte integral del sistema físico, se encuentra que muchas estructuras (como las estructuras causales y métricas , así como los campos bosónicos) pueden recuperarse de las funciones de onda de los estados del mar. . Esto lleva a la idea de que las funciones de onda de todos los estados ocupados (incluidos los estados marítimos) deben considerarse como los objetos físicos básicos, y que todas las estructuras en el espacio-tiempo surgen como resultado de la interacción colectiva de los estados marítimos entre sí y con las partículas adicionales y los "agujeros" en el mar. La implementación matemática de esta imagen conduce al marco de los sistemas de fermiones causales.

Más precisamente, la correspondencia entre la situación física anterior y el marco matemático se obtiene de la siguiente manera. Todos los estados ocupados abarcan un espacio de Hilbert de funciones de onda en el espacio de Minkowski . La información observable sobre la distribución de las funciones de onda en el espacio-tiempo está codificada en los operadores de correlación locales que de forma ortonormal tienen la representación matricial. ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle F(x),x\in {\hat {M}},}$ ${\displaystyle (\psi _{i})}$

${\displaystyle {\big (}F(x){\big )}_{j}^{i}=-{\overline {\psi _{i}(x)}}\psi _{j}(x)}$

(¿Dónde está el espinor adjunto ?). Para convertir las funciones de onda en objetos físicos básicos, se considera el conjunto como un conjunto de operadores lineales en un espacio de Hilbert abstracto . Todas las estructuras del espacio de Minkowski se ignoran, excepto la medida del volumen , que se transforma en una medida correspondiente en los operadores lineales (la "medida universal" ). Las estructuras resultantes, es decir, un espacio de Hilbert junto con una medida de los operadores lineales del mismo, son los ingredientes básicos de un sistema de fermiones causal. ${\displaystyle {\overline {\psi }}}$ ${\displaystyle \{F(x)\,|\,x\in {\hat {M}}\}}$ ${\displaystyle d^{4}x}$

La construcción anterior también se puede llevar a cabo en espaciotiempos más generales . Además, tomando la definición abstracta como punto de partida, los sistemas de fermiones causales permiten la descripción de "espaciotiempos cuánticos" generalizados. La imagen física es que un sistema de fermiones causal describe un espacio-tiempo junto con todas las estructuras y objetos que contiene (como las estructuras causales y métricas, funciones de onda y campos cuánticos). Para identificar los sistemas de fermiones causales físicamente admisibles, es necesario formular ecuaciones físicas. En analogía con la formulación lagrangiana de la teoría de campos clásica , las ecuaciones físicas para los sistemas causales de fermiones se formulan mediante un principio variacional, el llamado principio de acción causal . Dado que se trabaja con diferentes objetos básicos, el principio de acción causal tiene una estructura matemática novedosa en la que se minimiza una acción positiva bajo variaciones de la medida universal. La conexión con las ecuaciones físicas convencionales se obtiene en un caso límite determinado (el límite continuo ), en el que la interacción puede describirse eficazmente mediante campos de calibre acoplados a partículas y antipartículas , mientras que el mar de Dirac ya no es evidente.

Configuración matemática general

En esta sección se presenta el marco matemático de los sistemas de fermiones causales.

Definición de un sistema de fermiones causal

Un sistema de fermiones causal de dimensión de espín es un triple donde ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$

• ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$es un espacio de Hilbert complejo .
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es el conjunto de todos los operadores lineales autoadjuntos de rango finito en los cuales (contando multiplicidades ) tienen como máximo valores propios positivos y como máximo negativos. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \rho }$es una medida sobre . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La medida se conoce como medida universal . ${\displaystyle \rho }$

Como se describirá más adelante, esta definición es lo suficientemente rica como para codificar análogos de las estructuras matemáticas necesarias para formular teorías físicas. En particular, un sistema de fermiones causal da lugar a un espacio-tiempo junto con estructuras adicionales que generalizan objetos como los espinores , la métrica y la curvatura . Además, comprende objetos cuánticos como funciones de onda y un estado fermiónico de Fock . ^[7]

El principio de acción causal.

Inspirada en la formulación langrangiana de la teoría de campos clásica, la dinámica de un sistema de fermiones causal se describe mediante un principio variacional definido de la siguiente manera.

Dado un espacio de Hilbert y la dimensión de espín , el conjunto se define como arriba. Entonces, para cualquiera , el producto es como máximo un operador de rango . No es necesariamente autoadjunto porque en general . Denotamos los valores propios no triviales del operador (contando multiplicidades algebraicas ) por ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (xy)^{*}=yx\neq xy}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }.}$

Además, el peso espectral está definido por ${\displaystyle |.|}$

${\displaystyle |xy|=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|\quad {\text{and}}\quad {\big |}(xy)^{2}{\big |}=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|^{2}{\,}.}$

El lagrangiano es introducido por

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)={\big |}(xy)^{2}{\big |}-{\frac {1}{2n}}{\,}|xy|^{2}={\frac {1}{4n}}\sum _{i,j=1}^{2n}{\big (}|\lambda _{i}^{xy}|-|\lambda _{j}^{xy}|{\big )}^{2}\geq 0{\,}.}$

La acción causal se define por

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}{\mathcal {L}}(x,y){\,}d\rho (x){\,}d\rho (y){\,}.}$

El principio de acción causal es minimizar las variaciones dentro de la clase de medidas Borel (positivas) bajo las siguientes restricciones: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \rho }$

• Restricción de acotación: para alguna constante positiva . ${\displaystyle \iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}|xy|^{2}{\,}d\rho (x){\,}d\rho (y)\leq C}$ ${\displaystyle C}$
• Restricción de seguimiento: se mantiene fija. ${\displaystyle \;\;\;\int _{\mathcal {F}}{\text{tr}}(x){\,}d\rho (x)}$
• Se conserva el volumen total . ${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$

Aquí se considera la topología inducida por la norma en los operadores lineales acotados en . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathrm {L} }({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Las restricciones impiden minimizadores triviales y aseguran su existencia, siempre que sea de dimensión finita. ^[8] Este principio variacional también tiene sentido en el caso de que el volumen total sea infinito si se consideran variaciones de variación acotada con . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \delta \rho }$ ${\displaystyle (\delta \rho )({\mathcal {F}})=0}$

Estructuras inherentes

En las teorías físicas contemporáneas, la palabra espaciotiempo se refiere a una variedad lorentziana . Esto significa que el espacio-tiempo es un conjunto de puntos enriquecidos por estructuras topológicas y geométricas. En el contexto de los sistemas causales de fermiones, el espacio-tiempo no necesita tener una estructura múltiple. En cambio, el espacio-tiempo es un conjunto de operadores en un espacio de Hilbert (un subconjunto de ). Esto implica estructuras inherentes adicionales que corresponden y generalizan objetos habituales en una variedad de espacio-tiempo. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Para un sistema de fermiones causal , definimos el espacio-tiempo como el soporte de la medida universal, ${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho \subset {\mathcal {F}}.}$

Con la topología inducida por , el espacio-tiempo es un espacio topológico . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$

estructura causal

Para , denotamos los valores propios no triviales del operador (contando multiplicidades algebraicas ) por . Los puntos y se definen como separados en forma de espacio si todos tienen el mismo valor absoluto. Están separados en el tiempo si no todos tienen el mismo valor absoluto y son todos reales. En todos los demás casos, los puntos y están separados como luces . ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$ ${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Esta noción de causalidad encaja con la "causalidad" de la acción causal anterior en el sentido de que si dos puntos del espacio-tiempo están separados como un espacio, entonces el lagrangiano desaparece. Esto corresponde a la noción física de causalidad de que los puntos espacio-temporales espacialmente separados no interactúan. Esta estructura causal es la razón de la noción de "causal" en el sistema de fermiones causal y la acción causal. ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)}$

Denotemos la proyección ortogonal en el subespacio . Entonces el signo del funcional. ${\displaystyle \pi _{x}}$ ${\displaystyle S_{x}:=x({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i{\text{Tr}}{\big (}x\,y\,\pi _{x}\,\pi _{y}-y\,x\,\pi _{y}\,\pi _{x})}$

distingue el futuro del pasado . A diferencia de la estructura de un conjunto parcialmente ordenado , la relación "se encuentra en el futuro de" en general no es transitiva. Pero en la escala macroscópica es transitivo en ejemplos típicos. ^{[5] [6]}

Espinores y funciones de onda

Para cada uno, el espacio de giro está definido por ; es un subespacio de dimensión como máximo . El producto escalar de espín definido por ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle S_{x}=x({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle {\prec }\cdot |\cdot {\succ }_{x}}$

${\displaystyle {\prec }u|v{\succ }_{x}=-{\langle }u|xv{\rangle }_{\mathcal {H}}\qquad {\text{for all }}u,v\in S_{x}}$

Es un producto interno indefinido de la firma con . ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle p,q\leq n}$

Una función de onda es un mapeo ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi {\,}:{\,}M\rightarrow {\mathcal {H}}\qquad {\text{with}}\qquad \psi (x)\in S_{x}\quad {\text{for all }}x\in M{\,}.}$

En funciones de onda para las cuales la norma definida por ${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$

${\displaystyle {|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^{2}=\int _{M}\left\langle \psi (x){\bigg |}\,|x|\,\psi (x)\right\rangle _{\mathcal {H}}{\,}d\rho (x)}$

es finito (donde está el valor absoluto del operador simétrico ), se puede definir el producto interno ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\mathopen {<}}\psi |\phi {\mathclose {>}}=\int _{M}{\prec }\psi (x)|\phi (x){\succ }_{x}{\,}d\rho (x){\,}.}$

Junto con la topología inducida por la norma , se obtiene un espacio de Kerin . ${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathopen {<}}\cdot |\cdot {\mathclose {>}})}$

A cualquier vector podemos asociar la función de onda. ${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \psi ^{u}(x):=\pi _{x}u}$

(donde está nuevamente la proyección ortogonal al espacio de espín). Esto da lugar a una distinguida familia de funciones de onda, denominadas funciones de onda de los estados ocupados . ${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$

El proyector fermiónico

El núcleo del proyector fermiónico está definido por ${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle P(x,y)=\pi _{x}\,y|_{S_{y}}{\,}:{\,}S_{y}\rightarrow S_{x}}$

(donde está nuevamente la proyección ortogonal en el espacio de espín y denota la restricción a ). El proyector fermiónico es el operador. ${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$ ${\displaystyle |_{S_{y}}}$ ${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P{\,}:{\,}{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}{\,},\qquad (P\psi )(x)=\int _{M}P(x,y)\,\psi (y)\,d\rho (y){\,},}$

que tiene el dominio denso de definición dado por todos los vectores que satisfacen las condiciones ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \phi :=\int _{M}x\,\psi (x)\,d\rho (x){\,}\in {\,}{\mathcal {H}}\quad {\text{and}}\quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}<\infty {\,}.}$

Como consecuencia del principio de acción causal, el núcleo del proyector fermiónico tiene propiedades de normalización adicionales ^[9] que justifican el nombre de proyector .

Conexión y curvatura

Al ser un operador de un espacio de espín a otro, el núcleo del proyector fermiónico proporciona relaciones entre diferentes puntos del espacio-tiempo. Este hecho se puede utilizar para introducir una conexión de espín.

${\displaystyle D_{x,y}\,:\,S_{y}\rightarrow S_{x}\quad {\text{unitary}}\,.}$

La idea básica es tomar una descomposición polar de . La construcción se vuelve más complicada por el hecho de que la conexión de espín debe inducir una conexión métrica correspondiente. ${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle \nabla _{x,y}\,:\,T_{y}\rightarrow T_{x}\quad {\text{isometric}}\,,}$

donde el espacio tangente es un subespacio específico de los operadores lineales dotado de una métrica de Lorentz. La curvatura de espín se define como la holonomía de la conexión de espín, ${\displaystyle T_{x}}$ ${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(x,y,z)=D_{x,y}\,D_{y,z}\,D_{z,x}\,:\,S_{x}\rightarrow S_{x}\,.}$

De manera similar, la conexión métrica da lugar a la curvatura métrica . Estas estructuras geométricas dan lugar a una propuesta de geometría cuántica . ^[5]

Las ecuaciones de Euler-Lagrange y las ecuaciones de campo linealizadas.

Un minimizador de la acción causal satisface las correspondientes ecuaciones de Euler-Lagrange . ^[10] Afirman que la función definida por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ell _{\kappa }}$

${\displaystyle \ell _{\kappa }(x):=\int _{M}{\big (}{\mathcal {L}}_{\kappa }(x,y)+\kappa \,|xy|^{2}{\big )}\,d\rho (y)\,-\,{\mathfrak {s}}}$

(con dos parámetros de Lagrange y ) desaparece y es mínimo con el soporte de , ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \ell _{\kappa }|_{M}\equiv \inf _{x\in {\mathcal {F}}}\ell _{\kappa }(x)=0\,.}$

Para el análisis, es conveniente introducir chorros que consisten en una función de valor real en y un campo vectorial  en a lo largo de , y denotar la combinación de multiplicación y derivada direccional por . Entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange implican que las ecuaciones débiles de Euler-Lagrange ${\displaystyle {\mathfrak {u}}:=(a,u)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle T{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}g(x):=a(x)\,g(x)+{\big (}D_{u}g{\big )}(x)}$

${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}\ell |_{M}=0}$

Espera para cualquier chorro de prueba . ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$

Las familias de soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange se generan infinitamente mediante un chorro que satisface las ecuaciones de campo linealizadas. ${\displaystyle {\mathfrak {v}}}$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle |_{M}=0\,,}$

ser satisfecho para todos los aviones de prueba , donde el laplaciano se define por   ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle (x):=\nabla _{\mathfrak {u}}{\bigg (}\int _{M}{\big (}\nabla _{1,{\mathfrak {v}}}+\nabla _{2,{\mathfrak {v}}}{\big )}{\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y)-\nabla _{\mathfrak {v}}{\mathfrak {s}}{\bigg )}\,.}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange describen la dinámica del sistema de fermiones causal, mientras que las ecuaciones de campo linealizadas describen pequeñas perturbaciones del sistema.

Integrales de capa superficial conservadas

En el contexto de los sistemas de fermiones causales, las integrales espaciales se expresan mediante las llamadas integrales de capa superficial . ^{[9] [10] [11]} En términos generales, una integral de capa superficial es una integral doble de la forma

${\displaystyle \int _{\Omega }{\bigg (}\int _{M\setminus \Omega }\cdots {\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y){\bigg )}\,d\rho (x)\,,}$

donde una variable se integra sobre un subconjunto y la otra variable se integra sobre el complemento de . Es posible expresar las leyes de conservación habituales para carga, energía,... en términos de integrales de capa superficial. Las correspondientes leyes de conservación son consecuencia de las ecuaciones de Euler-Lagrange del principio de acción causal y de las ecuaciones de campo linealizadas. Para las aplicaciones, las integrales de capa superficial más importantes son la integral actual , la forma simpléctica , el producto interno de la capa superficial y la integral de capa superficial no lineal . ${\displaystyle \Omega \subset M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \gamma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \sigma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}}\rangle _{\rho }^{\Omega }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\Omega }({\tilde {\rho }},\rho )}$

Dinámica espacial bosónica de Fock

Con base en las leyes de conservación de las integrales de la capa superficial anteriores, la dinámica de un sistema de fermiones causal descrito por las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes al principio de acción causal se puede reescribir como una dinámica lineal que preserva las normas en el espacio bosónico de Fock construido. de soluciones de las ecuaciones de campo linealizadas. ^[4] En la llamada aproximación holomorfa , la evolución temporal respeta la estructura compleja, dando lugar a una evolución temporal unitaria en el espacio bosónico de Fock.

Un estado fermiónico de Fock

Si tiene dimensión finita , eligiendo una base ortonormal y tomando el producto de cuña de las funciones de onda correspondientes ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\big (}\psi ^{u_{1}}\wedge \cdots \wedge \psi ^{u_{f}}{\big )}(x_{1},\ldots ,x_{f})}$

da un estado de espacio de Fock fermiónico de partículas . Debido a la antisimetrización total, este estado depende de la elección de la base únicamente por un factor de fase. ^[12] Esta correspondencia explica por qué los vectores en el espacio de partículas deben interpretarse como fermiones . También motiva el nombre de sistema de fermiones causal . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Principios físicos subyacentes

Los sistemas de fermiones causales incorporan varios principios físicos de forma específica:

• Un principio de calibre local : para representar las funciones de onda en componentes, se eligen las bases de los espacios de espín. Que denota la firma del producto escalar de espín en por , una base pseudoortonormal de está dada por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x})}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))_{\alpha =1,\ldots ,{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}}$ ${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\prec }{\mathfrak {e}}_{\alpha }|{\mathfrak {e}}_{\beta }{\succ }=s_{\alpha }{\,}\delta _{\alpha \beta }\quad {\text{with}}\quad s_{1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}}=1,\;\;s_{{\mathfrak {p}}_{x}+1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}=-1{\,}.}$

Entonces una función de onda se puede representar con funciones componentes, ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\alpha =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}\psi ^{\alpha }(x){\,}{\mathfrak {e}}_{\alpha }(x){\,}.}$

La libertad de elegir las bases de forma independiente en cada punto del espacio-tiempo corresponde a transformaciones unitarias locales de las funciones de onda, ${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))}$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x)\rightarrow \sum _{\beta =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}U(x)_{\beta }^{\alpha }\,\,\psi ^{\beta }(x)\quad {\text{with}}\quad U(x)\in {\text{U}}({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x}){\,}.}$

Estas transformaciones tienen la interpretación como transformaciones de calibre local . Se determina que el grupo de calibre es el grupo de isometría del producto escalar de espín. La acción causal es invariante de calibre en el sentido de que no depende de la elección de las bases del espinor.

• El principio de equivalencia : para una descripción explícita del espacio-tiempo hay que trabajar con coordenadas locales. La libertad para elegir tales coordenadas generaliza la libertad para elegir marcos de referencia generales en una variedad de espacio-tiempo. Por tanto, se respeta el principio de equivalencia de la relatividad general . La acción causal es generalmente covariante en el sentido de que no depende de la elección de las coordenadas.
• El principio de exclusión de Pauli : El estado fermiónico de Fock asociado al sistema causal de fermiones permite describir el estado de muchas partículas mediante una función de onda totalmente antisimétrica. Esto coincide con el principio de exclusión de Pauli .
• El principio de causalidad se incorpora a la forma de la acción causal en el sentido de que los puntos del espacio-tiempo con separación espacial no interactúan.

Casos limitantes

Los sistemas de fermiones causales tienen casos límite matemáticamente sólidos que dan una conexión con estructuras físicas convencionales.

Geometría de espín lorentziana de espacios-tiempos globalmente hiperbólicos

A partir de cualquier variedad de espín de Lorentz globalmente hiperbólica con haz de espinor , se entra en el marco de los sistemas de fermiones causales eligiendo como subespacio del espacio de solución de la ecuación de Dirac . Definición del llamado operador de correlación local para por ${\displaystyle ({\hat {M}},g)}$ ${\displaystyle S{\hat {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\langle }.|.{\rangle }_{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle p\in {\hat {M}}}$

${\displaystyle {\langle }\psi |F(p)\phi {\rangle }_{\mathcal {H}}=-{\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$

(donde está el producto interno en la fibra ) e introduciendo la medida universal como avance de la medida de volumen en , ${\displaystyle {\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$ ${\displaystyle S_{p}{\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$

${\displaystyle \rho =F_{*}d\mu {\,},}$

se obtiene un sistema de fermiones causal. Para que los operadores de correlación local estén bien definidos, deben constar de secciones continuas, por lo que normalmente es necesario introducir una regularización a escala microscópica . En el límite , todas las estructuras intrínsecas del sistema de fermiones causal (como la estructura causal, la conexión y la curvatura) pasan a las estructuras correspondientes en la variedad de espín de Lorentz. ^[5] Así, la geometría del espacio-tiempo está codificada completamente en los correspondientes sistemas de fermiones causales. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \searrow 0}$

Mecánica cuántica y ecuaciones de campo clásicas.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes al principio de acción causal tienen un límite bien definido si los espacio-tiempos de los sistemas de fermiones causales pasan al espacio de Minkowski . Más concretamente, se considera una secuencia de sistemas de fermiones causales (por ejemplo, de dimensión finita para garantizar la existencia del estado fermiónico de Fock, así como de minimizadores de la acción causal), de modo que las funciones de onda correspondientes pasen a un configuración de mares de Dirac que interactúan y que implican estados de partículas adicionales o "agujeros" en los mares. Este procedimiento, denominado límite continuo , proporciona ecuaciones efectivas que tienen la estructura de la ecuación de Dirac acoplada a ecuaciones de campo clásicas . Por ejemplo, para un modelo simplificado que involucra tres partículas fermiónicas elementales en la dimensión de espín dos, se obtiene una interacción a través de un campo de calibre axial clásico ^[2] descrito por las ecuaciones acopladas de Dirac- y Yang-Mills. ${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(i\partial \!\!\!/\ +\gamma ^{5}A\!\!\!/\ -m)\psi &=0\\C_{0}(\partial _{j}^{k}A^{j}-\Box A^{k})-C_{2}A^{k}&=12\pi ^{2}{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{k}\psi \,.\end{aligned}}}$

Tomando el límite no relativista de la ecuación de Dirac, se obtiene la ecuación de Pauli o la ecuación de Schrödinger , dando la correspondencia a la mecánica cuántica . Aquí dependemos de la regularización y determinamos la constante de acoplamiento así como la masa en reposo. ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Del mismo modo, para un sistema que involucra neutrinos en la dimensión de espín 4, se obtiene efectivamente un campo de calibre masivo acoplado al componente izquierdo de los espinores de Dirac. ^[2] La configuración de fermiones del modelo estándar se puede describir en la dimensión de giro 16. ^[1] ${\displaystyle SU(2)}$

Las ecuaciones de campo de Einstein

Para el sistema recién mencionado que involucra neutrinos, ^[2] el límite del continuo también produce las ecuaciones de campo de Einstein acopladas a los espinores de Dirac,

${\displaystyle R_{jk}-{\frac {1}{2}}\,R\,g_{jk}+\Lambda \,g_{jk}=\kappa \,T_{jk}[\Psi ,A]\,,}$

hasta correcciones de orden superior en el tensor de curvatura. Aquí la constante cosmológica es indeterminada y denota el tensor de energía-momento de los espinores y el campo de calibre. La constante de gravitación depende de la longitud de regularización. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle T_{jk}}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle \kappa }$

Teoría cuántica de campos en el espacio de Minkowski

Partiendo del sistema acoplado de ecuaciones obtenido en el límite del continuo y expandiendo en potencias de la constante de acoplamiento, se obtienen integrales que corresponden a diagramas de Feynman a nivel de árbol. Los diagramas de bucles fermiónicos surgen debido a la interacción con los estados del mar, mientras que los diagramas de bucles bosónicos aparecen cuando se toman promedios de la estructura espacio-temporal microscópica (generalmente no uniforme) de un sistema de fermiones causal (la llamada mezcla microscópica ). ^[3] El análisis detallado y la comparación con la teoría cuántica de campos estándar son trabajos en progreso. ^[4]

Referencias

1. Finster, Félix (2006). El principio del proyector fermiónico . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-3974-4. OCLC  61211466.Capítulos 1-4Capítulos 5-8Apéndices
2. Finster, Félix (2016). El límite continuo de los sistemas de fermiones causales . Teorías fundamentales de la física. vol. 186. Cham: Editorial Internacional Springer. arXiv : 1605.04742 . doi :10.1007/978-3-319-42067-7. ISBN 978-3-319-42066-0. ISSN  0168-1222. S2CID  119123208.
3. Finster, Félix (2014). "Teoría de campos cuánticos perturbativos en el marco del proyector fermiónico". Revista de Física Matemática . 55 (4): 042301. arXiv : 1310.4121 . Código Bib : 2014JMP....55d2301F. doi : 10.1063/1.4871549. ISSN  0022-2488. S2CID  10515274.
4. Finster, Félix; Kamran, Niky (2021). "Estructuras complejas en espacios en chorro y dinámica espacial bosónica de Fock para principios variacionales causales". Matemática Pura y Aplicada Trimestral . 17 : 55-140. arXiv : 1808.03177 . doi :10.4310/PAMQ.2021.v17.n1.a3. S2CID  119602224.
5. Finster, Félix; Grotz, Andreas (2012). "Una geometría cuántica lorentziana". Avances en Física Teórica y Matemática . 16 (4): 1197-1290. arXiv : 1107.2026 . doi :10.4310/atmp.2012.v16.n4.a3. ISSN  1095-0761. S2CID  54886814.
6. Finster, Félix; Kamran, Niky (2019). "Espinores en espacios singulares y topología de sistemas de fermiones causales". Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense . 259 (1251):v+83. arXiv : 1403.7885 . doi : 10.1090/memo/1251. ISSN  0065-9266. S2CID  44295203.
7. Finster, Félix; Grotz, Andreas; Schiefeneder, Daniela (2012). "Sistemas causales de fermiones: un espacio-tiempo cuántico que emerge de un principio de acción". Teoría cuántica de campos y gravedad . Basilea: Springer Basilea. págs. 157–182. arXiv : 1102.2585 . doi :10.1007/978-3-0348-0043-3_9. ISBN 978-3-0348-0042-6. S2CID  39687703.
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10. Finster, Félix; Kleiner, Johannes (2017). "Una formulación hamiltoniana de principios variacionales causales". Cálculo de Variaciones y Ecuaciones Diferenciales Parciales . 56 (3): 73. arXiv : 1612.07192 . doi :10.1007/s00526-017-1153-5. ISSN  0944-2669. S2CID  8742665.
11. Finster, Félix; Kleiner, Johannes (2019). "Una clase de integrales de capa superficial conservadas para principios variacionales causales". Cálculo de Variaciones y Ecuaciones Diferenciales Parciales . 58 : 38. arXiv : 1801.08715 . doi :10.1007/s00526-018-1469-9. ISSN  0944-2669. S2CID  54692714.
12. Finster, Félix (2010). "Enredo y segunda cuantificación en el marco del proyector fermiónico". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 43 (39): 395302. arXiv : 0911.0076 . Código Bib : 2010JPhA...43M5302F. doi :10.1088/1751-8113/43/39/395302. ISSN  1751-8113. S2CID  33980400.

Otras lecturas

• Plataforma web sobre sistemas causales de fermiones.