En lógica matemática y filosofía , la paradoja de Skolem es una aparente contradicción que surge del teorema descendente de Löwenheim-Skolem . Thoralf Skolem (1922) fue el primero en discutir los aspectos aparentemente contradictorios del teorema y en descubrir la relatividad de las nociones de la teoría de conjuntos ahora conocidas como no absolutas . Aunque no es una antinomia real como la paradoja de Russell , el resultado suele denominarse paradoja y Skolem lo describió como un "estado de cosas paradójico" (1922: p. 295).
La paradoja de Skolem es que toda axiomatización contable de la teoría de conjuntos en lógica de primer orden , si es consistente , tiene un modelo que es contable. Esto parece contradictorio porque es posible demostrar, a partir de esos mismos axiomas, una frase que intuitivamente dice (o que dice precisamente en el modelo estándar de la teoría) que existen conjuntos que no son contables. Así, la aparente contradicción es que un modelo que es en sí mismo contable y que, por lo tanto, contiene sólo conjuntos contables, satisface la oración de primer orden que intuitivamente establece "hay conjuntos incontables".
Skolem (1922) dio una explicación matemática de la paradoja, mostrando que no es una contradicción en matemáticas. El trabajo de Skolem fue duramente recibido por Ernst Zermelo , quien argumentó en contra de las limitaciones de la lógica de primer orden, pero el resultado rápidamente llegó a ser aceptado por la comunidad matemática.
Las implicaciones filosóficas de la paradoja de Skolem han sido objeto de muchos estudios. Una línea de investigación cuestiona si es exacto afirmar que cualquier oración de primer orden en realidad dice "hay conjuntos incontables". Esta línea de pensamiento puede ampliarse para cuestionar si algún conjunto es incontable en un sentido absoluto. Más recientemente, el artículo "Modelos y realidad" de Hilary Putnam , y las respuestas al mismo, generaron un renovado interés en los aspectos filosóficos del resultado de Skolem.
Uno de los primeros resultados de la teoría de conjuntos , publicado por Georg Cantor en 1874, fue la existencia de conjuntos incontables , como el conjunto potencia de los números naturales , el conjunto de los números reales y el conjunto de Cantor . Un conjunto infinito X es contable si existe una función que proporcione una correspondencia uno a uno entre X y los números naturales, y es incontable si no existe tal función de correspondencia. Cuando Zermelo propuso sus axiomas para la teoría de conjuntos en 1908, demostró el teorema de Cantor a partir de ellos para demostrar su solidez.
Löwenheim (1915) y Skolem (1920, 1923) demostraron el teorema de Löwenheim-Skolem . La forma descendente de este teorema muestra que si una estructura infinita satisface una axiomatización contable de primer orden , entonces los mismos axiomas se satisfacen mediante alguna estructura contable. En particular, esto implica que si las versiones de primer orden de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo son satisfactorias, lo son en algún modelo contable. Lo mismo es válido para cualquier axiomatización consistente de primer orden de la teoría de conjuntos.
Skolem (1922) señaló la aparente contradicción entre el teorema de Löwenheim-Skolem, por un lado, que implica que existe un modelo contable de los axiomas de Zermelo, y el teorema de Cantor, por otro, que afirma que existen conjuntos incontables, y que es demostrable a partir de los axiomas de Zermelo. "Hasta donde yo sé", escribe Skolem, "nadie ha llamado la atención sobre este peculiar y aparentemente paradójico estado de cosas. En virtud de los axiomas podemos probar la existencia de cardinalidades superiores... ¿Cómo puede ser, entonces, que ¿Que todo el dominio B [un modelo contable de los axiomas de Zermelo] ya puede enumerarse mediante números enteros finitos positivos? (Skolem 1922, p. 295, traducción de Bauer-Mengelberg).
Más específicamente, sea B un modelo contable de los axiomas de Zermelo. Entonces hay algún conjunto u en B tal que B satisface la fórmula de primer orden que dice que u es incontable. Por ejemplo, u podría tomarse como el conjunto de números reales en B. Ahora bien, debido a que B es contable, solo hay un número contable de elementos c tales que c ∈ u según B , porque para empezar, solo hay un número contable de elementos c en B. Por tanto, parece que u debería ser contable. Ésta es la paradoja de Skolem.
Skolem continuó explicando por qué no había contradicción. En el contexto de un modelo específico de teoría de conjuntos, el término "conjunto" no se refiere a un conjunto arbitrario, sino sólo a un conjunto que realmente está incluido en el modelo. La definición de contabilidad requiere que exista una cierta correspondencia uno a uno, que en sí misma es un conjunto. Así, es posible reconocer que un conjunto particular u es contable, pero no contable en un modelo particular de teoría de conjuntos, porque no hay ningún conjunto en el modelo que proporcione una correspondencia uno a uno entre u y los números naturales en ese modelo. modelo. [1]
En la teoría de conjuntos de ZFC , el teorema de Cantor es una fórmula larga en el lenguaje formal de ZFC . Lo que significa esta fórmula se da en términos de una estructura en la teoría de modelos . Si ZFC tiene un modelo, llamemos a este modelo y su dominio . La interpretación del símbolo , es un conjunto de pares ordenados de elementos de ; en otras palabras, es un subconjunto de . Dado que el teorema de Löwenheim-Skolem garantiza que es contable, entonces también debe serlo . Hay dos elementos especiales de ; son y . De ello se deduce que hay una cantidad infinita y contable de pares ordenados de la forma , porque es contable. Sin embargo, no hay contradicción con el teorema de Cantor, porque lo que simplemente afirma es que "ningún elemento de es una función biyectiva de (un elemento de ) a (otro elemento de )". [2]
Skolem utilizó el término "relativo" para describir este estado de cosas, donde el mismo conjunto se incluye en dos modelos de teoría de conjuntos, es contable en un modelo y no contable en el otro. Describió esto como el resultado "más importante" en su artículo. Los teóricos de conjuntos contemporáneos describen como absolutos los conceptos que no dependen de la elección de un modelo transitivo . Desde su punto de vista, la paradoja de Skolem simplemente muestra que la contabilización no es una propiedad absoluta en la lógica de primer orden (Kunen 1980 p. 141; Enderton 2001 p. 152; Burgess 1977 p. 406).
Skolem describió su trabajo como una crítica de la teoría de conjuntos (de primer orden), destinada a ilustrar su debilidad como sistema fundamental:
Un objetivo central de las primeras investigaciones sobre la teoría de conjuntos fue encontrar una axiomatización de primer orden para la teoría de conjuntos que fuera categórica , lo que significa que los axiomas tendrían exactamente un modelo, que constaría de todos los conjuntos. El resultado de Skolem demostró que esto no es posible, generando dudas sobre el uso de la teoría de conjuntos como base de las matemáticas. Llevó algún tiempo hasta que la teoría de la lógica de primer orden se desarrolló lo suficiente como para que los matemáticos comprendieran la causa del resultado de Skolem; Durante la década de 1920 no se aceptó ampliamente ninguna resolución de la paradoja. Fraenkel (1928) todavía describió el resultado como una antinomia:
En 1925, von Neumann presentó una novedosa axiomatización de la teoría de conjuntos, que se convirtió en la teoría de conjuntos NBG . Muy consciente del artículo de Skolem de 1922, von Neumann investigó en detalle modelos contables de sus axiomas. En sus observaciones finales, von Neumann comenta que no existe una axiomatización categórica de la teoría de conjuntos, ni de ninguna otra teoría con un modelo infinito. Hablando del impacto de la paradoja de Skolem, escribió:
Al principio, Zermelo consideró la paradoja de Skolem como un engaño (van Dalen y Ebbinghaus, 2000, p. 148 y sigs.) y habló en contra de ella a partir de 1929. El resultado de Skolem se aplica sólo a lo que ahora se llama lógica de primer orden , pero Zermelo argumentó en contra de la metamatemáticas finitas que subyacen a la lógica de primer orden (Kanamori 2004, p. 519 y siguientes). Zermelo argumentó que sus axiomas deberían estudiarse en lógica de segundo orden , un entorno en el que el resultado de Skolem no se aplica. Zermelo publicó una axiomatización de segundo orden en 1930 y demostró varios resultados de categoricidad en ese contexto. El trabajo posterior de Zermelo sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos después del artículo de Skolem lo llevó a descubrir la jerarquía acumulativa y la formalización de la lógica infinita (van Dalen y Ebbinghaus, 2000, nota 11).
Fraenkel et al. (1973, pp. 303-304) explican por qué el resultado de Skolem fue tan sorprendente para los teóricos de los conjuntos en la década de 1920. El teorema de completitud de Gödel y el teorema de compacidad no se demostraron hasta 1929. Estos teoremas iluminaron la forma en que se comporta la lógica de primer orden y establecieron su naturaleza finita, aunque la demostración original del teorema de completitud de Gödel era complicada. La prueba alternativa del teorema de completitud de Leon Henkin , que ahora es una técnica estándar para construir modelos contables de una teoría de primer orden consistente, no se presentó hasta 1947. Así, en 1922, se analizaron las propiedades particulares de la lógica de primer orden que permiten La paradoja que Skolem atravesó aún no se entendía. Ahora se sabe que la paradoja de Skolem es exclusiva de la lógica de primer orden; Si la teoría de conjuntos se estudia utilizando lógica de orden superior con semántica completa, entonces no tiene ningún modelo contable, debido a la semántica que se utiliza.
Los lógicos matemáticos actuales no ven la paradoja de Skolem como ningún tipo de defecto fatal en la teoría de conjuntos. Kleene (1967, p. 324) describe el resultado como "no una paradoja en el sentido de contradicción absoluta, sino más bien una especie de anomalía". Después de examinar el argumento de Skolem de que el resultado no es contradictorio, Kleene concluye: "no existe una noción absoluta de contabilidad". Hunter (1971, p. 208) describe la contradicción como "ni siquiera una paradoja". Fraenkel et al. (1973, p. 304) explican que a los matemáticos contemporáneos no les molesta más la falta de categoricidad de las teorías de primer orden que la conclusión del teorema de incompletitud de Gödel de que no existe un conjunto consistente, efectivo y suficientemente fuerte de teorías de primer orden. los axiomas están completos.
Los modelos contables de ZF se han convertido en herramientas comunes en el estudio de la teoría de conjuntos. El forzamiento , por ejemplo, a menudo se explica en términos de modelos contables. El hecho de que estos modelos contables de ZF todavía satisfagan el teorema de que hay conjuntos incontables no se considera una patología; van Heijenoort (1967) lo describe como "una característica novedosa e inesperada de los sistemas formales" (van Heijenoort 1967, p. 290).
