Torsor (geometría algebraica)

Análogo de geometría algebraica de un fibrado principal en topología algebraica

En geometría algebraica , un torsor o un fibrado principal es un análogo de un fibrado principal en topología algebraica . Debido a que hay pocos conjuntos abiertos en la topología de Zariski , es más común considerar torsores en la topología étale o algunas otras topologías planas. La noción también generaliza una extensión de Galois en álgebra abstracta. Aunque se conocen otras nociones de torsores en un contexto más general (por ejemplo, sobre pilas ), este artículo se centrará en los torsores sobre esquemas , el entorno original para el que se han pensado los torsores. La palabra torsor proviene del francés torseur . De hecho, se discuten ampliamente, por ejemplo, en el famoso libro de Michel Demazure y Pierre Gabriel Groupes algébriques, Tomo I. [ ^1]

Definición

Sea una topología de Grothendieck y un esquema . Además sea un esquema de grupo sobre , un -torsor (o fibrado principal) sobre para la topología (o simplemente un -torsor cuando la topología se desprende del contexto) es el dato de un esquema y un morfismo con una acción -invariante (derecha) sobre que es localmente trivial en , es decir, existe un recubrimiento tal que el cambio de base sobre es isomorfo al torsor trivial ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle U_{i}\times _{X}P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U_{i}\times G\to U_{i}}$

Notaciones

Cuando se trata de la topología étale (resp. fpqc , etc.) en lugar de un torsor para la topología étale también podemos decir un étale-torsor (resp. fpqc-torsor etc.). ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Topologías Étale, fpqc y fppf.

A diferencia de la topología de Zariski, en muchas topologías de Grothendieck un torsor puede ser en sí mismo una cubierta. Esto sucede en algunas de las topologías de Grothendieck más comunes, como la topología fpqc, la topología fppf , pero también la topología étale (y muchas otras menos famosas). Sea, pues, cualquiera de esas topologías (étale, fpqc, fppf). Sea un esquema y un esquema de grupo sobre . Entonces es un -torsor si y solo si sobre es isomorfo al torsor trivial sobre . En este caso, a menudo decimos que un torsor se trivializa a sí mismo (ya que se convierte en un torsor trivial cuando se tira hacia atrás sobre sí mismo). ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\times _{X}P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\times G}$ ${\displaystyle P}$

Fibras vectoriales de correspondencia GRAMO yo norte Estilo de visualización {GL}_{n}} -torsores

Sobre un esquema dado hay una biyección, entre fibrados vectoriales sobre (es decir, haces localmente libres) y -torsores, donde , el rango de . Dado uno puede tomar el haz (representable) de isomorfismos locales que tiene una estructura de un -torsor. Es fácil demostrar que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {GL}_{n}}$ ${\displaystyle n=rk(V)\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Isom(V,{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})}$ ${\displaystyle Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})}$ ${\displaystyle Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})\simeq GL_{n,X}}$

Torsos y secciones triviales

Un -torsor es isomorfo a un torsor trivial si y solo si no está vacío, es decir, el morfismo admite al menos una sección . En efecto, si existe una sección , entonces es un isomorfismo. Por otra parte, si es isomorfo a un -torsor trivial , entonces ; el elemento identidad da la sección requerida . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle P(X)=\operatorname {Mor} (X,P)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s:X\to P}$ ${\displaystyle s:X\to P}$ ${\displaystyle X\times G\to P,(x,g)\mapsto s(x)g}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\simeq X\times G}$ ${\displaystyle 1_{G}\in G}$ ${\displaystyle s=id_{X}\times 1_{G}}$

Ejemplos y propiedades básicas

• Si es una extensión finita de Galois , entonces es un -torsor (aproximadamente porque el grupo de Galois actúa simplemente de manera transitiva sobre las raíces). Por abuso de notación, todavía hemos denotado por el esquema de grupo constante finito sobre asociado al grupo abstracto . Este hecho es una base para la descendencia de Galois . Véase la extensión integral para una generalización. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} L\to \operatorname {Spec} K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$
• Si es una variedad abeliana sobre un cuerpo entonces la multiplicación por , es un torsor para la topología fpqc bajo la acción del esquema de grupo finito . Eso sucede por ejemplo cuando es una curva elíptica . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n_{X}:X\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ker(n_{X})}$ ${\displaystyle X}$
• Un torsor abeliano, un -torsor donde es una variedad abeliana. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Torsores y cohomología

Sea un -torsor para la topología étale y sea un trivializador de recubrimiento , como en la definición. Un torsor trivial admite una sección: por lo tanto, hay elementos . Fijando tales secciones , podemos escribir de forma única en con . Diferentes elecciones de equivalen a 1-colímites en cohomología; es decir, definen una clase de cohomología en el grupo de cohomología de haces (más precisamente, cohomología de Čech con coeficiente de haces) . ^[3] Un torsor trivial corresponde al elemento identidad. A la inversa, es fácil ver que cualquier clase en define un -torsor sobre , único hasta un isomorfismo único. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{i}\in P(U_{i})}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}g_{ij}=s_{j}}$ ${\displaystyle U_{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}\in G(U_{ij})}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,G)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

El torsor universal de un esquema X {\displaystyle X} y el esquema del grupo fundamental

En este contexto, los torsores deben tomarse en la topología fpqc . Sea un esquema de Dedekind (por ejemplo, el espectro de un campo) y un morfismo fielmente plano , localmente de tipo finito. Supongamos que tiene una sección . Decimos que tiene un esquema de grupo fundamental si existe un -torsor pro-finito y plano , llamado torsor universal de , con una sección tal que para cualquier -torsor finito con una sección hay un morfismo único de torsores que envía a . Su existencia, conjeturada por Alexander Grothendieck , ha sido probada por Madhav V. Nori ^{[4] [5] [6]} para el espectro de un campo y por Marco Antei , Michel Emsalem y Carlo Gasbarri cuando es un esquema de Dedekind de dimensión 1. ^{[7] [8]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

El producto contratado

El producto contraído es una operación que permite construir un nuevo torsor a partir de uno dado, inflando o desinflando su estructura con algún procedimiento particular también conocido como empujar hacia adelante. Aunque la construcción puede presentarse en una generalidad más amplia, aquí solo presentamos la siguiente situación, más fácil y muy común: se nos da un torsor derecho y un morfismo de esquema de grupo . Entonces actúa hacia la izquierda sobre mediante la multiplicación izquierda: . Decimos que dos elementos y son equivalentes si existe tal que . El espacio de órbitas se llama producto contraído de mediante . Los elementos se denotan como . El producto contraído es un esquema y tiene una estructura de un torsor derecho cuando se proporciona con la acción . Por supuesto, todas las operaciones tienen que ser pensadas funcionalmente y no teóricamente. El nombre producto contraído proviene del francés produit contracté y en geometría algebraica se prefiere a su equivalente topológico empujar hacia adelante. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle u:G\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g\star m:=u(g)m}$ ${\displaystyle (p,m)\in P\times M}$ ${\displaystyle (p',m')\in P\times M}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle (pg^{-1},g\star m)=(p',m')}$ ${\displaystyle P\times ^{G}M:={\frac {P\times M}{G}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u:G\to M}$ ${\displaystyle p\wedge m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p\wedge m)*m':=p\wedge (mm')}$

Morfismos de torsores y reducción del esquema del grupo de estructura

Sean y respectivamente un -torsor (derecho) y un -torsor (derecho) en alguna topología de Grothendieck donde y son esquemas de -grupos. Un morfismo (de torsores) de a es un par de morfismos donde es un -morfismo y es un morfismo de esquema de grupo tal que donde y son respectivamente la acción de sobre y de sobre . ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle h:T\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a:Y\to T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b:G\to H}$ ${\displaystyle \sigma _{H}\circ (a\times b)=a\circ \sigma _{G}}$ ${\displaystyle \sigma _{G}}$ ${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

De esta manera se puede demostrar que es isomorfo al producto contraído . Si el morfismo es una inmersión cerrada entonces se dice que es un subtorsor de . También podemos decir, heredando el lenguaje de la topología, que admite una reducción del esquema de grupo de estructura de a . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y\times ^{G}H}$ ${\displaystyle b:G\to H}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Teorema de reducción de estructura

Un resultado importante de Vladimir Drinfeld y Carlos Simpson es el siguiente: sea una curva proyectiva suave sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , un grupo algebraico semisimple, dividido y simplemente conexo (en ese caso un esquema de grupo) y un -torsor en , siendo un -álgebra finitamente generada . Entonces hay un morfismo étale tal que admite una reducción del esquema de grupo de estructura a un esquema de subgrupo de Borel de . ^{[9] [10]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X_{R}=X\times _{\operatorname {Spec} k}\operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R\to R'}$ ${\displaystyle P\times _{X_{R}}X_{R'}}$ ${\displaystyle G}$

Observaciones adicionales

• Es común considerar un torsor no solo para un esquema de grupo sino de manera más general para un haz de grupo (por ejemplo, un haz de grupo fppf).
• La categoría de torsores sobre una base fija forma una pila . Por el contrario, un preapilamiento se puede apilar tomando la categoría de torsores (sobre el preapilamiento).
• Si es un grupo algebraico conexo sobre un cuerpo finito , entonces cualquier -torsor sobre es trivial. ( Teorema de Lang ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$

Invariantes

Si P es un subgrupo parabólico de un esquema de grupo afín suave G con fibras conexas, entonces su grado de inestabilidad, denotado por , es el grado de su álgebra de Lie como un fibrado vectorial en X . El grado de inestabilidad de G es entonces . Si G es un grupo algebraico y E es un G -torsor, entonces el grado de inestabilidad de E es el grado de la forma interna de G inducida por E (que es un esquema de grupo sobre X ); es decir, . Se dice que E es semiestable si y es estable si . ${\displaystyle \deg _{i}(P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (P)}$ ${\displaystyle \deg _{i}(G)=\max\{\deg _{i}(P)\mid P\subset G{\text{ parabolic subgroups}}\}}$ ${\displaystyle {}^{E}G=\operatorname {Aut} _{G}(E)}$ ${\displaystyle \deg _{i}(E)=\deg _{i}({}^{E}G)}$ ${\displaystyle \deg _{i}(E)\leq 0}$ ${\displaystyle \deg _{i}(E)<0}$

Ejemplos de torsores en matemáticas aplicadas

Según John Baez , la energía , el voltaje , la posición y la fase de una función de onda cuántica son ejemplos de torsores en la física cotidiana; en cada caso, solo se pueden medir comparaciones relativas, pero se debe elegir un punto de referencia arbitrariamente para que los valores absolutos sean significativos. Sin embargo, los valores comparativos de energía relativa, diferencia de voltaje, desplazamientos y diferencias de fase no son torsores, sino que se pueden representar mediante estructuras más simples como números reales, vectores o ángulos. ^[11]

En cálculo básico, cita integrales indefinidas como ejemplos de torsores. ^[11]

Véase también

• Teorema de Beauville-Laszlo
• Pila de módulos de haces principales
• Anillo de Cox

Notas

1. Demazure, Michel ; Gabriel, Pierre (2005). Groupes algébriques, tomo I. Holanda del Norte. ISBN 9780720420340.
2. Vistoli, Angelo (2005). Topologías de Grothendieck, en "Geometría algebraica fundamental" . AMS. ISBN 978-0821842454.
3. Milne 1980, La discusión que precede a la Proposición 4.6.
4. Nori, Madhav V. (1976). "Sobre las representaciones del grupo fundamental" (PDF) . Compositio Mathematica . 33 (1): 29–42. MR  0417179. Zbl  0337.14016.
5. Nori, Madhav V. (1982). "El esquema de grupo fundamental". Actas de Ciencias Matemáticas . 91 (2): 73–122. doi :10.1007/BF02967978. S2CID  121156750.
6. Szamuely, Tamás (2009). Grupos de Galois y Grupos Fundamentales . doi :10.1017/CBO9780511627064. ISBN 9780521888509.
7. Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). "Sobre la existencia del esquema en grupos fundamentales". Épijournal de Géométrie Algébrique . arXiv : 1504.05082 . doi : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436. S2CID  227029191.
8. Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). "Fe de erratas para "Alturas de fibrados vectoriales y el esquema de grupo fundamental de una curva"". Revista matemática de Duke . 169 (16). doi :10.1215/00127094-2020-0065. S2CID  225148904.
9. Gaitsgory, Dennis (27 de octubre de 2009). "Notas de seminario: Fibrados de Higgs, sección de Kostant y trivialidad local de los fibrados G" (PDF) . Universidad de Harvard. Archivado desde el original (PDF) el 30 de junio de 2022.
10. Lurie, Jacob (5 de marzo de 2014). "Existencia de reducciones de Borel I (Conferencia 14)" (PDF) . Universidad de Harvard.
11. Baez, John (27 de diciembre de 2009). "Torsors Made Easy". math.ucr.edu . Consultado el 22 de noviembre de 2022 .

Referencias

• Behrend, K. La fórmula de traza de Lefschetz para la pila de módulos de haces principales. Tesis doctoral.
• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006). «Pilas algebraicas». Archivado desde el original el 5 de mayo de 2008.
• Milne, James S. (1980). Étale cohomology. Princeton Mathematical Series. Vol. 33. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08238-7.Sr. 0559531  .

Lectura adicional

• Brian Conrad, [http://math.stanford.edu/~conrad/papers/cosetfinite.pdf Teoremas de finitud para grupos algebraicos sobre cuerpos de funciones]