fasor

Número complejo que representa una onda sinusoidal particular

Un ejemplo de circuito RLC en serie y diagrama fasor respectivo para un ω específico . Las flechas en el diagrama superior son fasores, dibujados en un diagrama fasor ( se muestra un plano complejo sin eje), que no debe confundirse con las flechas en el diagrama inferior, que son la polaridad de referencia para los voltajes y la dirección de referencia para la corriente. .

En física e ingeniería , un fasor (un acrónimo de vector de fase ^{[1] [2]} ) es un número complejo que representa una función sinusoidal cuya amplitud ( A ) y fase inicial ( θ ) son invariantes en el tiempo y cuya frecuencia angular ( ω ) está arreglado. Está relacionado con un concepto más general llamado representación analítica , ^[3] que descompone una sinusoide en el producto de una constante compleja y un factor que depende del tiempo y la frecuencia. La constante compleja, que depende de la amplitud y la fase, se conoce como fasor , o amplitud compleja , ^{[4] [5]} y (en textos más antiguos) sinor ^[6] o incluso complexor . ^[6]

Una aplicación común es el análisis de estado estacionario de una red eléctrica alimentada por corriente variable en el tiempo , donde se supone que todas las señales son sinusoidales con una frecuencia común. La representación fasorial permite al analista representar la amplitud y fase de la señal utilizando un único número complejo. La única diferencia en sus representaciones analíticas es la amplitud compleja (fasor). Una combinación lineal de tales funciones se puede representar como una combinación lineal de fasores (conocida como aritmética fasorial o álgebra fasorial ^{[7] : 53} ) y el factor dependiente del tiempo/frecuencia que todos tienen en común.

El origen del término fasor sugiere con razón que un cálculo (diagramático) algo similar al posible para los vectores también es posible para los fasores. ^[6] Una característica adicional importante de la transformada fasor es que la diferenciación e integración de señales sinusoidales (que tienen amplitud, período y fase constantes) corresponde a operaciones algebraicas simples en los fasores; la transformada fasorial permite así el análisis (cálculo) del estado estacionario de CA de los circuitos RLC resolviendo ecuaciones algebraicas simples (aunque con coeficientes complejos) en el dominio fasor en lugar de resolver ecuaciones diferenciales (con coeficientes reales ) en el dominio del tiempo. ^{[8] [9] [a]} El creador de la transformada fasorial fue Charles Proteus Steinmetz, que trabajaba en General Electric a finales del siglo XIX. ^{[10] [11]} Se inspiró en Oliver Heaviside . El cálculo operativo de Heaviside se modificó para que la variable p se convierta en jw. El número complejo j tiene un significado simple: cambio de fase. ^[12]

Pasando por alto algunos detalles matemáticos, la transformada fasorial también puede verse como un caso particular de la transformada de Laplace (limitada a una sola frecuencia), que, a diferencia de la representación fasorial, puede usarse para derivar (simultáneamente) la respuesta transitoria de una Circuito RLC. ^{[9] [11]} Sin embargo, la transformada de Laplace es matemáticamente más difícil de aplicar y el esfuerzo puede ser injustificado si sólo se requiere un análisis de estado estacionario. ^[11]

Fig 2. Cuando la función se representa en el plano complejo, el vector formado por sus partes imaginaria y real gira alrededor del origen. Su magnitud es A y completa un ciclo cada 2 π /ω. θ es el ángulo que forma con el eje real positivo en t = 0 (y en t = n 2 π / ω para todos los valores enteros de n ). ${\displaystyle A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}}$

Notación

La notación fasorial (también conocida como notación de ángulos ) es una notación matemática utilizada en ingeniería electrónica e ingeniería eléctrica . Un vector cuyas coordenadas polares son magnitud y ángulo se escribe ^[13] puede representar el vector o el número complejo , con , los cuales tienen magnitudes de 1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A\angle \theta .}$ ${\displaystyle 1\angle \theta }$ ${\displaystyle (\cos \theta ,\,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

El ángulo puede expresarse en grados con una conversión implícita de grados a radianes . Por ejemplo se supondría cuál es el vector o el número ${\displaystyle 1\angle 90}$ ${\displaystyle 1\angle 90^{\circ },}$ ${\displaystyle (0,\,1)}$ ${\displaystyle e^{i\pi /2}=i.}$

Definición

Una sinusoide de valor real con amplitud, frecuencia y fase constantes tiene la forma:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ),}$

donde el único parámetro varía en el tiempo. La inclusión de un componente imaginario : ${\displaystyle t}$

${\displaystyle i\cdot A\sin(\omega t+\theta )}$

le da, de acuerdo con la fórmula de Euler , la propiedad de factorización descrita en el párrafo inicial:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta )+i\cdot A\sin(\omega t+\theta )=Ae^{i(\omega t+\theta )}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t},}$

cuya parte real es la sinusoide original. El beneficio de la representación compleja es que las operaciones lineales con otras representaciones complejas producen un resultado complejo cuya parte real refleja las mismas operaciones lineales con las partes reales de las otras sinusoides complejas. Además, todas las matemáticas se pueden hacer sólo con los fasores y el factor común se reinserta antes de la parte real del resultado. ${\displaystyle Ae^{i\theta },}$ ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

La función es una representación analítica de la Figura 2, que la representa como un vector giratorio en el plano complejo. A veces es conveniente referirse a toda la función como fasor , ^[14] como lo hacemos en la siguiente sección. ${\displaystyle Ae^{i(\omega t+\theta )}}$ ${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ).}$

Aritmética

Multiplicación por una constante (escalar)

La multiplicación del fasor por una constante compleja, produce otro fasor. Eso significa que su único efecto es cambiar la amplitud y fase de la sinusoide subyacente: ${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle Be^{i\phi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}}$$

En electrónica, representaría una impedancia , que es independiente del tiempo. En particular, no es la notación abreviada de otro fasor. Multiplicar una corriente fasor por una impedancia produce un voltaje fasor. Pero el producto de dos fasores (o elevar al cuadrado un fasor) representaría el producto de dos sinusoides, que es una operación no lineal que produce nuevos componentes de frecuencia. La notación fasorial sólo puede representar sistemas con una frecuencia, como un sistema lineal estimulado por una sinusoide. ${\displaystyle Be^{i\phi }}$

Suma

La suma de fasores como suma de vectores giratorios.

La suma de múltiples fasores produce otro fasor. Esto se debe a que la suma de sinusoides con la misma frecuencia también es una sinusoide con esa frecuencia:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$$

y si tomamos , entonces es: ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$si con la función signum ; ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$si ; ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$si . ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$

o, mediante la ley de los cosenos en el plano complejo (o la identidad trigonométrica para diferencias de ángulos ):

$${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$$

${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

Un punto clave es que A ₃ y θ ₃ no dependen de ω o t , que es lo que hace posible la notación fasorial. La dependencia del tiempo y la frecuencia se puede suprimir y reinsertar en el resultado siempre que las únicas operaciones utilizadas en el medio sean aquellas que produzcan otro fasor. En notación de ángulos , la operación que se muestra arriba se escribe:

$${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$$

Otra forma de ver la suma es que dos vectores con coordenadas [ A ₁ cos( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin( ωt + θ ₁ )] y [ A ₂ cos( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin( ωt + θ ₂ )] se suman vectorialmente para producir un vector resultante con coordenadas [ A ₃ cos( ωt + θ ₃ ), A ₃ sin( ωt + θ ₃ )] (ver animación).

Diagrama fasorial de tres ondas en perfecta interferencia destructiva.

En física, este tipo de suma ocurre cuando las sinusoides interfieren entre sí, de manera constructiva o destructiva. El concepto de vector estático proporciona información útil sobre preguntas como ésta: "¿Qué diferencia de fase se requeriría entre tres sinusoides idénticas para una cancelación perfecta?" En este caso, simplemente imagine tomar tres vectores de igual longitud y colocarlos cabeza con cola de manera que la última cabeza coincida con la primera cola. Claramente, la forma que satisface estas condiciones es un triángulo equilátero , por lo que el ángulo entre cada fasor con respecto al siguiente es de 120° ( 2 π ⁄ 3  radianes), o un tercio de una longitud de onda λ ⁄ 3 . Por lo que la diferencia de fase entre cada onda también debe ser de 120°, como ocurre en la energía trifásica .

En otras palabras, lo que esto muestra es que:

$${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.}$$

En el ejemplo de tres ondas, la diferencia de fase entre la primera y la última onda fue de 240°, mientras que para dos ondas la interferencia destructiva ocurre a 180°. En el límite de muchas ondas, los fasores deben formar un círculo para provocar una interferencia destructiva, de modo que el primer fasor sea casi paralelo al último. Esto significa que para muchas fuentes, la interferencia destructiva ocurre cuando la primera y la última onda difieren 360 grados, una longitud de onda completa . Esta es la razón por la que en la difracción de rendija única , los mínimos ocurren cuando la luz del borde lejano viaja una longitud de onda completa más lejos que la luz del borde cercano. ${\displaystyle \lambda }$

A medida que el vector único gira en sentido antihorario, su punta en el punto A girará una revolución completa de 360° o 2 π  radianes que representan un ciclo completo. Si la longitud de su punta móvil se transfiere en diferentes intervalos angulares en el tiempo a un gráfico como se muestra arriba, se dibujaría una forma de onda sinusoidal comenzando por la izquierda con tiempo cero. Cada posición a lo largo del eje horizontal indica el tiempo transcurrido desde el tiempo cero, t = 0 . Cuando el vector es horizontal, la punta del vector representa los ángulos de 0°, 180° y 360°.

Asimismo, cuando la punta del vector es vertical representa el valor de pico positivo, ( + A _max ) a 90° o π ⁄ 2 y el valor de pico negativo, ( − A _max ) a 270° o 3 π ⁄ 2 . Entonces, el eje temporal de la forma de onda representa el ángulo en grados o radianes a través del cual se ha movido el fasor. Entonces, podemos decir que un fasor representa un valor de voltaje o corriente escalado de un vector giratorio que está "congelado" en algún momento, ( t ) y en nuestro ejemplo anterior, esto está en un ángulo de 30°.

A veces, cuando analizamos formas de onda alternas, es posible que necesitemos conocer la posición del fasor, que representa la cantidad alterna en algún instante particular, especialmente cuando queremos comparar dos formas de onda diferentes en el mismo eje. Por ejemplo, voltaje y corriente. Hemos asumido en la forma de onda anterior que la forma de onda comienza en el momento t = 0 con un ángulo de fase correspondiente en grados o radianes.

Pero si una segunda forma de onda comienza a la izquierda o a la derecha de este punto cero, o si queremos representar en notación fasorial la relación entre las dos formas de onda, entonces necesitaremos tener en cuenta esta diferencia de fase, Φ de la forma de onda. . Considere el siguiente diagrama del tutorial anterior de Diferencia de Fase.

Diferenciación e integración

La derivada temporal o integral de un fasor produce otro fasor. ^[b] Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, en la representación fasorial, la derivada temporal de una sinusoide se convierte simplemente en una multiplicación por la constante . ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$

De manera similar, la integración de un fasor corresponde a la multiplicación por El factor dependiente del tiempo no se ve afectado. ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ ${\displaystyle e^{i\omega t},}$

Cuando resolvemos una ecuación diferencial lineal con aritmética fasorial, simplemente factorizamos todos los términos de la ecuación y los reinsertamos en la respuesta. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación diferencial para el voltaje a través del capacitor en un circuito RC : ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).}$$

Cuando la fuente de voltaje en este circuito es sinusoidal:

$${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),}$$

podemos sustituir ${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),}$$

${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$ ${\displaystyle V_{\text{c}}}$

En la notación abreviada de fasores, la ecuación diferencial se reduce a:

$${\displaystyle i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.}$$

Derivación

Dado que esto debe ser válido para todos , específicamente: se deduce que: ${\displaystyle t}$ ${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$

También se ve fácilmente que:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Re} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Im} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Im} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$

Sustituyéndolos en la Ec.1 y la Ec.2 , multiplicando la Ec.2 por y sumando ambas ecuaciones se obtiene: ${\displaystyle i,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\\\left(i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\right)\!\cdot e^{i\omega t}&=\left({\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\right)\cdot e^{i\omega t}\\i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.\end{aligned}}}$$

Resolviendo el voltaje del capacitor fasor se obtiene:

$${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.}$$

Como hemos visto, el factor multiplicador representa diferencias de amplitud y fase en relación con y ${\displaystyle V_{\text{s}}}$ ${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$ ${\displaystyle V_{\text{P}}}$ ${\displaystyle \theta .}$

En forma de coordenadas polares, el primer término de la última expresión es:

$${\displaystyle {\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},}$$

${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$

Por lo tanto:

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).}$$

Relación de fasores

Una cantidad llamada impedancia compleja es la relación de dos fasores, que no es un fasor porque no corresponde a una función que varía sinusoidalmente.

Aplicaciones

Leyes del circuito

Con fasores, las técnicas para resolver circuitos de CC se pueden aplicar para resolver circuitos de CA lineales. ^[a]

Ley de Ohm para resistencias.

Una resistencia no tiene retrasos de tiempo y por lo tanto no cambia la fase de una señal, por lo tanto V = IR sigue siendo válido.

Ley de Ohm para resistencias, inductores y condensadores.

V = IZ donde Z es la impedancia compleja.

Leyes del circuito de Kirchhoff

Trabajar con tensiones y corrientes como fasores complejos.

En un circuito de CA tenemos potencia real ( P ), que es una representación de la potencia promedio que ingresa al circuito, y potencia reactiva ( Q ), que indica la potencia que fluye hacia adelante y hacia atrás. También podemos definir la potencia compleja S = P + jQ y la potencia aparente que es la magnitud de S. La ley de potencia para un circuito de CA expresada en fasores es entonces S = VI ^* (donde I ^* es el conjugado complejo de I , y las magnitudes de los fasores de voltaje y corriente V y de I son los valores RMS del voltaje y la corriente, respectivamente).

Dado esto podemos aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar circuitos de CA lineales de frecuencia única que contienen resistencias, condensadores e inductores . Se pueden analizar circuitos de CA lineales de frecuencia múltiple y circuitos de CA con diferentes formas de onda para encontrar voltajes y corrientes transformando todas las formas de onda en componentes de onda sinusoidal (usando series de Fourier ) con magnitud y fase y luego analizando cada frecuencia por separado, según lo permite el teorema de superposición . Este método de solución se aplica sólo a entradas que son sinusoidales y para soluciones que están en estado estacionario, es decir, después de que todos los transitorios hayan desaparecido. ^[15]

El concepto interviene frecuentemente en la representación de una impedancia eléctrica . En este caso, el ángulo de fase es la diferencia de fase entre el voltaje aplicado a la impedancia y la corriente que la atraviesa.

Ingeniería de la Energía

En el análisis de sistemas de energía CA trifásicos , generalmente un conjunto de fasores se define como las tres raíces cúbicas complejas de la unidad , representadas gráficamente como magnitudes unitarias en ángulos de 0, 120 y 240 grados. Al tratar las cantidades de circuitos de CA polifásicos como fasores, los circuitos balanceados se pueden simplificar y los circuitos desequilibrados se pueden tratar como una combinación algebraica de componentes simétricos . Este enfoque simplifica enormemente el trabajo requerido en los cálculos eléctricos de caída de voltaje, flujo de potencia y corrientes de cortocircuito. En el contexto del análisis de sistemas de potencia, el ángulo de fase a menudo se da en grados y la magnitud en valor RMS en lugar de la amplitud máxima de la sinusoide.

La técnica de los sincrofasores utiliza instrumentos digitales para medir los fasores que representan los voltajes del sistema de transmisión en puntos extendidos de una red de transmisión. Las diferencias entre los fasores indican el flujo de energía y la estabilidad del sistema.

Telecomunicaciones: modulaciones analógicas

A: representación fasorial de modulación de amplitud, B: representación alternativa de modulación de amplitud, C: representación fasorial de modulación de frecuencia, D: representación alternativa de modulación de frecuencia

La imagen de marco giratorio que utiliza fasores puede ser una herramienta poderosa para comprender modulaciones analógicas como la modulación de amplitud (y sus variantes ^[16] ) y la modulación de frecuencia .

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),}$$

El fasor tiene una longitud de , gira en sentido antihorario a una velocidad de revoluciones por segundo y en un momento forma un ángulo de con respecto al eje real positivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \theta }$

La forma de onda puede verse entonces como una proyección de este vector sobre el eje real. Una forma de onda modulada está representada por este fasor (la portadora) y dos fasores adicionales (los fasores de modulación). Si la señal moduladora es un tono único de la forma , donde es la profundidad de modulación y es la frecuencia de la señal moduladora, entonces, para la modulación de amplitud, los dos fasores de modulación vienen dados por, ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f_{m}}$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},}$$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.}$$

Los dos fasores de modulación están en fase de manera que su suma vectorial esté siempre en fase con el fasor de la portadora. Una representación alternativa son dos fasores que giran en sentido contrario alrededor del extremo del fasor portador a una velocidad relativa al fasor portador. Eso es, ${\displaystyle f_{m}}$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},}$$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.}$$

La modulación de frecuencia es una representación similar excepto que los fasores de modulación no están en fase con la portadora. En este caso, la suma vectorial de los fasores moduladores se desplaza 90° con respecto a la fase de la portadora. Estrictamente, la representación de la modulación de frecuencia requiere pequeños fasores de modulación adicionales, etc., pero para la mayoría de los propósitos prácticos estos se ignoran porque su efecto es muy pequeño. ${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$

Ver también

• Componentes en fase y en cuadratura.
  • Diagrama de constelación
• Señal analítica , una generalización de fasores para amplitud, fase y frecuencia variables en el tiempo.
  • envolvente compleja
• Factor de fase , un fasor de magnitud unitaria

Notas a pie de página

1. Incluyendo análisis de los circuitos de CA. ^{[7] : 53}
2. Esto resulta de lo cual significa que la exponencial compleja es la función propia del operador derivada. ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$

Referencias

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3. Bracewell, Ron. La transformada de Fourier y sus aplicaciones . McGraw-Hill, 1965. p269
4. KS Suresh Kumar (2008). Circuitos y Redes Eléctricas . Educación Pearson India. pag. 272.ISBN​ 978-81-317-1390-7.
5. Kequian Zhang; Dejie Li (2007). Teoría electromagnética para microondas y optoelectrónica (2ª ed.). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 13.ISBN​ 978-3-540-74296-8.
6. J. Hindmarsh (1984). Máquinas eléctricas y sus aplicaciones (4ª ed.). Elsevier. pag. 58.ISBN​ 978-1-4832-9492-6.
7. Gross, Charles A. (2012). Fundamentos de la ingeniería eléctrica . Tadeo Adam Roppel. Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4398-9807-9. OCLC  863646311.
8. William J. Eccles (2011). Ingeniería eléctrica pragmática: fundamentos . Editores Morgan y Claypool. pag. 51.ISBN​ 978-1-60845-668-0.
9. Richard C. Dorf; James A. Svoboda (2010). Introducción a los circuitos eléctricos (8ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 661.ISBN​ 978-0-470-52157-1.
10. Allan H. Robbins; Wilhelm Miller (2012). Análisis de circuitos: teoría y práctica (5ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 536.ISBN​ 978-1-285-40192-8.
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12. Albahaca Mahón (2017). El genio olvidado de Oliver Heaviside (1ª ed.). Aprendizaje de libros de Prometeo. pag. 230.ISBN​ 978-1-63388-331-4.
13. Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). Circuitos eléctricos (8ª ed.). Prentice Hall. pag. 338.ISBN​ 978-0-13-198925-2., Capítulo 9, página 338
14. Singh, Ravish R (2009). "Sección 4.5: Representación fasorial de cantidades alternas". Redes Eléctricas . Educación superior de McGraw Hill. pag. 4.13. ISBN 978-0070260962.
15. Clayton, Paul (2008). Introducción a la compatibilidad electromagnética . Wiley. pag. 861.ISBN​ 978-81-265-2875-2.
16. de Oliveira, HM y Nunes, FD Acerca de las vías fasoriales en modulaciones de amplitud analógicas . Revista Internacional de Investigación en Ingeniería y Ciencias (IJRES) Vol.2, N.1, enero, páginas 11-18, 2014. ISSN 2320-9364

Otras lecturas

• Douglas C. Giancoli (1989). Física para científicos e ingenieros . Prentice Hall. ISBN 0-13-666322-2.
• Dorf, Richard C.; Tallarida, Ronald J. (15 de julio de 1993). Libro de bolsillo de fórmulas de ingeniería eléctrica (1 ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. págs. 152-155. ISBN 0849344735.

enlaces externos

• Fábrica de fasores
• Representación visual de fasores
• Notación polar y rectangular
• Fasor en Telecomunicaciones