Glosario de teoría del orden

Este es un glosario de algunos términos utilizados en diversas ramas de las matemáticas que están relacionados con los campos del orden , la red y la teoría de dominios . Tenga en cuenta que también hay una lista estructurada de temas de pedidos disponibles. Otros recursos útiles podrían ser los siguientes artículos de descripción general:

• propiedades de integridad de pedidos parciales
• leyes de distributividad de la teoría del orden
• propiedades de conservación de funciones entre posets.

A continuación, los pedidos parciales normalmente se indicarán únicamente por sus conjuntos de transportistas. Siempre que el significado pretendido resulte claro del contexto, será suficiente denotar el símbolo relacional correspondiente, incluso sin introducción previa. Además, < denotará el orden estricto inducido por ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

A

• Acíclico . Una relación binaria es acíclica si no contiene "ciclos": de manera equivalente, su cierre transitivo es antisimétrico . ^[1]
• Adjunto . Véase conexión de Galois .
• Topología de Alexandrov . Para un conjunto P reservado por adelantado , cualquier conjunto superior O es Alexandrov-abierto . A la inversa, una topología es Alexandrov si cualquier intersección de conjuntos abiertos es abierta.
• Poset algebraico . Un poset es algebraico si tiene una base de elementos compactos.
• Anticadena . Una anticadena es un poset en el que no hay dos elementos comparables, es decir, no hay dos elementos distintos x e y tales que x ≤ y . En otras palabras, la relación de orden de una anticadena es simplemente la relación de identidad.
• Relación aproximada . Ver la relación más abajo .
• Relación antisimétrica . Una relación homogénea R en un conjunto X es antisimétrica , si x R y y y R x implica x = y , para todos los elementos x , y en X.
• Antítono . Una función antitono f entre posets P y Q es una función para la cual, para todos los elementos x , y de P , x ≤ y (en P ) implica f ( y ) ≤ f ( x ) (en Q ). Otro nombre para esta propiedad es inversión de orden . En análisis , en presencia de órdenes totales , estas funciones a menudo se denominan monótonamente decrecientes , pero ésta no es una descripción muy conveniente cuando se trata de órdenes no totales. La noción dual se llama monótona o preservadora del orden .
• Relación asimétrica . Una relación homogénea R en un conjunto X es asimétrica, si x R y implica no y R x , para todos los elementos x , y en X .
• Átomo . Un átomo en un poset P con menos elemento 0 es un elemento mínimo entre todos los elementos que no son iguales a 0.
• Atómico . Un poset atómico P con mínimo elemento 0 es aquel en el que, por cada elemento x distinto de cero de P , existe un átomo a de P con a ≤ x .

B

• Base . Ver poset continuo .
• Relación binaria . Una relación binaria entre dos conjuntoses un subconjunto de su producto cartesiano. ${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
• Álgebra de Boole . Un álgebra booleana es una red distributiva con mínimo elemento 0 y mayor elemento 1, en la que cada elemento x tiene un complemento ¬ x , tal que x ∧ ¬ x = 0 y x ∨ ¬ x = 1.
• Poset acotado . Un poset acotado es aquel que tiene un elemento mínimo y un elemento mayor.
• Acotado completo . Un poset está acotado completo si cada uno de sus subconjuntos con algún límite superior también tiene al menos ese límite superior. La noción dual no es común.

C

• Cadena . Una cadena es un conjunto totalmente ordenado o un subconjunto totalmente ordenado de un poset. Véase también pedido total .
• Cadena completa . Un conjunto parcialmente ordenado en el que cada cadena tiene un límite superior mínimo .
• Operador de cierre . Un operador de cierre en el poset P es una función C  : P → P que es monótona, idempotente y satisface C ( x ) ≥ x para todo x en P .
• Compacto . Un elemento x de un poset es compacto si está muy por debajo de sí mismo, es decir, x << x . También se dice que tal x es finita .
• Comparables . Dos elementos x e y de un poset P son comparables si x ≤ y o y ≤ x .
• Gráfico de comparabilidad . El gráfico de comparabilidad de un poset ( P , ≤) es el gráfico con conjunto de vértices P en el que las aristas son aquellos pares de elementos distintos de P que son comparables bajo ≤ (y, en particular, bajo su reducción reflexiva <).
• Completar álgebra booleana . Un álgebra booleana que es una red completa.
• Completa el álgebra de Heyting . Un álgebra de Heyting que es una red completa se llama álgebra de Heyting completa. Esta noción coincide con los conceptos marco y lugar .
• Celosía completa . Una red completaes un poset en el que existen uniones (suprema) y encuentros (infima) arbitrarios (posiblemente infinitos).
• Completar pedido parcial . Un orden parcial completo, o cpo , es un orden parcial completo dirigido (qv) con el menor elemento.
• Relación completa . Sinónimo de relación conectada .
• Semired completa . La noción de semired completa se define de diferentes maneras. Como se explica en el artículo sobre completitud (teoría del orden) , cualquier poset para el cual existan todos los supremas o todos los ínfima ya es un entramado completo. De ahí que la noción de semired completa se utilice a veces para coincidir con la de red completa. En otros casos, las semiredes completas (cumplidas) se definen como cpos completos acotados , que posiblemente sea la clase más completa de posets que aún no son redes completas.
• Red completamente distributiva . Una red completa es completamente distributiva si las uniones arbitrarias se distribuyen en encuentros arbitrarios.
• Finalización . Una finalización de un poset es una inclusión ordenada del poset en una red completa.
• Terminación por cortes . Sinónimo de finalización de Dedekind-MacNeille .
• Relación conectada . Una relación total o completa R en un conjunto X tiene la propiedad de que para todos los elementos x , y de X , al menos uno de x R y o y R x se cumple.
• Postura continua . Un poset es continuo si tiene una base , es decir, un subconjunto B de P tal que cada elemento x de P es el supremo de un conjunto dirigido contenido en { y en B | y << x }.
• Función continua . Ver Scott-continuo .
• Conversar . El inverso <° de un orden < es aquel en el que x <° y siempre que y < x.
• Cubrir . Se dice que un elemento y de un poset P cubre un elemento x de P (y se llama cobertura de x ) si x < y y no hay ningún elemento z de P tal que x < z < y .
• cpo . Ver pedido parcial completo .

D

• dcpo . Ver pedido parcial completo dirigido .
• Finalización de Dedekind-MacNeille . La compleción de Dedekind-MacNeille de un conjunto parcialmente ordenado es la red completa más pequeña que lo contiene.
• Orden denso . Unposet denso P es aquel en el que, para todos los elementos x e y en P con x < y , hay un elemento z en P , tal que x < z < y . Un subconjunto Q de P es denso en P si para cualquier elemento x < y en P , hay un elemento z en Q tal que x < z < y .
• Trastorno . Permutación de los elementos de un conjunto, de manera que ningún elemento aparece en su posición original.
• Conjunto dirigido . Unsubconjunto X no vacío de un poset P se llama dirigido si, para todos los elementos x e y de X , existe un elemento z de X tal que x ≤ z e y ≤ z . La noción dual se llama filtrada .
• Orden parcial completa dirigida .un poset D es un poset completo dirigido, o dcpo , si cada subconjunto dirigido de D tiene un supremo.
• Distributivo . Una red L se llama distributiva si, para todo x , y y z en L , encontramos que x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ). Se sabe que esta condición es equivalente a su orden dual. Una semired de encuentro es distributiva si para todos los elementos a , b y x , a ∧ b ≤ x implica la existencia de elementos a' ≥ a y b' ≥ b tales que a' ∧ b' = x . Véase también completamente distributivo .
• Dominio . Dominio es un término general para objetos como los que se estudian en la teoría de dominios . Si se utiliza, requiere una definición adicional.
• Abajo . Ver conjunto inferior .
• Doble . Para un poset ( P , ≤), el orden dual P ^d = ( P , ≥) se define estableciendo x ≥ y si y solo si y ≤ x . El orden dual de P a veces se denota por P ^op y también se denominaorden opuesto o inverso . Cualquier noción teórica de orden induce una noción dual, definida aplicando el enunciado original al orden dual de un conjunto dado. Esto intercambia ≤ y ≥, encuentra y une, cero y unidad.

mi

• Extensión . Para órdenes parciales ≤ y ≤′ en un conjunto X , ≤′ es una extensión de ≤ siempre que para todos los elementos xey de X , x ≤ y implica que x ≤′ y .

F

• Filtrar . Un subconjunto X de un poset P se denomina filtro si es un conjunto superior filtrado. La noción dual se llama ideal .
• Filtrado . Un subconjunto X no vacío de un poset P se llama filtrado si, para todos los elementos x e y de X , existe un elemento z de X tal que z ≤ x y z ≤ y . La noción dual se llama dirigida .
• Elemento finito . Ver compacto .
• Marco . Un marco F es una red completa, en la que, para cada x en F y cada subconjunto Y de F , la ley distributiva infinita x ∧ Y ={ x ∧ y | y en Y } se mantiene. Los marcos también se conocen como locales y como álgebras completas. ${\displaystyle \bigvee }$ ${\displaystyle \bigvee }$

GRAMO

• Conexión Galois . Dados dos posets P y Q , un par de funciones monótonas F : P → Q y G : Q → P se llama conexión de Galois, si F ( x ) ≤ y es equivalente a x ≤ G ( y ), para todo x en P e y en Q . F se llama adjunto inferior de G y G sellama adjunto superior de F.
• Elemento más grande .Paraun subconjunto X de un poset P , un elemento a de X se llama elemento mayor de X , si x ≤ a para cada elemento x en X. La noción dual se llama elemento mínimo .
• Conjunto de terreno . El conjunto fundamental de un poset ( X , ≤) es el conjunto X en el que se define el orden parcial ≤.

h

• Álgebra de Heyting . Un álgebra de Heyting H es una red acotada en la que la función f _a : H → H , dada por f _a ( x ) = a ∧ x es el adjunto inferior de una conexión de Galois , para cada elemento a de H . El adjunto superior de f _a se denota entonces por g _a , con g _a ( x ) = a ⇒; X . Cada álgebra de Boole es un álgebra de Heyting.
• Diagrama de Hasse . Un diagrama de Hasse es un tipo de diagrama matemático utilizado para representar un conjunto finito parcialmente ordenado, en forma de dibujo de su reducción transitiva .
• Relación homogénea . Una relación homogénea en un conjuntoes un subconjunto deDicho de otra manera, es una relación binaria sobresí misma. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle X}$

I

• Ideal . Un ideal es un subconjunto X de un poset P que es un conjunto inferior dirigido. La noción dual se llama filtro .
• Álgebra de incidencia . El álgebra de incidencia de un poset es el álgebra asociativa de todas las funciones con valores escalares en intervalos, con la suma y la multiplicación escalar definidas puntualmente y la multiplicación definida como una determinada convolución; consulte álgebra de incidencia para obtener más detalles.
• Ínfimo . Para un poset P y un subconjunto X de P , el elemento mayor en el conjunto de límites inferiores de X (si existe, que puede que no) se llamamínimo , encuentro o mayor límite inferior de X. Se denota por inf X o X . El mínimo de dos elementos se puede escribir como inf{ x , y } o x ∧ y . Si el conjunto X es finito, se habla de un infinito finito . La noción dual se llama suprema . ${\displaystyle \bigwedge }$
• Intervalo . Para dos elementos a , b de un conjunto parcialmente ordenado P , el intervalo [ a , b ] es el subconjunto { x en P | a ≤ x ≤ b } de P . Si a ≤ b no se cumple, el intervalo estará vacío.
• Poset de intervalo finito . Un conjunto parcialmente ordenado P es de intervalo finito si cada intervalo de la forma {x en P | x ≤ a} es un conjunto finito. ^[2]
• Inverso . Ver conversar .
• Irreflexivo . Una relación R en un conjunto X es irreflexiva, si no hay ningún elemento x en X tal que x R x .
• Isótona . Ver monótono .

j

• Unirse . Ver supremo .

l

• Celosía . Una celosía es un poset en el que existen todas las uniones finitas no vacías (suprema) y encuentros (infima).
• Elemento mínimo .Paraun subconjunto X de un poset P , un elemento a de X se llama elemento mínimo de X , si a ≤ x para cada elemento x en X. La noción dual se llama elemento mayor .
• La longitud de una cadena es el número de elementos menos uno. Una cadena con 1 elemento tiene longitud 0, una con 2 elementos tiene longitud 1, etc.
• Lineal . Ver pedido total .
• Extensión lineal . Una extensión lineal de un orden parcial es una extensión de orden lineal u orden total.
• Localidad . Una localización es un álgebra de Heyting completa . Las configuraciones regionales también se denominan marcos y aparecen en la dualidad de Stone y la topología sin sentido .
• Poset localmente finito . Un conjunto parcialmente ordenado P es localmente finito si cada intervalo [ a , b ] = { x en P | a ≤ x ≤ b } es un conjunto finito.
• Límite inferior .inferiorde un subconjunto X de un poset P es un elemento b de P , tal que b ≤ x , para todo x en X. La noción dual se llama límite superior .
• Conjunto inferior . Un subconjunto X de un poset P se denomina conjunto inferior si, para todos los elementos x en X y p en P , p ≤ x implica que p está contenidoen X. La noción dual se denomina conjunto superior .

METRO

• Cadena máxima . Una cadena en un poset a la que no se le puede añadir ningún elemento sin perder la propiedad de estar totalmente ordenado. Esto es más fuerte que ser una cadena saturada, ya que también excluye la existencia de elementos menores que todos los elementos de la cadena o mayores que todos sus elementos. Una cadena saturada finita es máxima si y sólo si contiene un elemento mínimo y máximo del poset.
• Elemento máximo . Un elemento máximo de un subconjunto X de un poset P es un elemento m de X , tal quem ≤ x implica m = x , para todo x en X. La noción dual se denomina elemento mínimo .
• Elemento máximo . Sinónimo de mayor elemento.Paraun subconjunto X de un poset P , un elemento a de X se llama elemento máximo de X si x ≤ a para cada elemento x en X. Un elemento máximo es necesariamente máximo , pero no es necesario que se cumpla lo contrario.
• Encontrarse . Ver mínimo .
• Elemento mínimo .mínimode un subconjunto X de un poset P es un elemento m de X , tal que x ≤ m implica m = x , para todo x en X. La noción dual se llama elemento maximal .
• Elemento mínimo . Sinónimo de elemento mínimo.Paraun subconjunto X de un poset P , un elemento a de X se llama elemento mínimo de X si x ≥ a para cada elemento x en X. Un elemento mínimo es necesariamente mínimo , pero no es necesario que se cumpla lo contrario.
• Monótono . Una función f entre posets P y Q es monótona si, para todos los elementos x , y de P , x ≤ y (en P ) implica f ( x ) ≤ f ( y ) (en Q ). Otros nombres para esta propiedad son isótono y preservación del orden . En análisis , en presencia de órdenes totales , estas funciones a menudo se denominan monótonamente crecientes , pero ésta no es una descripción muy conveniente cuando se trata de órdenes no totales. La noción dual se llama antítono o inversión de orden .

oh

• Orden dual . El orden dual de un conjunto parcialmente ordenado es el mismo conjunto con la relación de orden parcial reemplazada por su inversa.
• Incrustación de pedidos . Una función f entre posets P y Q es una incrustación de orden si, para todos los elementos x , y de P , x ≤ y (en P ) es equivalente a f ( x ) ≤ f ( y ) (en Q ).
• Isomorfismo de orden . Una aplicación f : P → Q entre dos posets P y Q se llama isomorfismo de orden, si es biyectiva y tanto f como f ⁻¹ son funciones monótonas . De manera equivalente, un isomorfismo de orden es una incrustación de orden sobreyectiva .
• Preservación del orden . Ver monótono .
• Inversión de orden . Ver antítono .

PAG

• Orden parcial . Un orden parcial es una relación binaria que es reflexiva , antisimétrica y transitiva . En un ligero abuso de terminología, el término también se utiliza a veces para referirse no a tal relación, sino a su correspondiente conjunto parcialmente ordenado.
• Conjunto parcialmente ordenado . Un conjunto parcialmente ordenadoo poset para abreviar, es un conjuntojunto con un orden parcialen ${\displaystyle (P,\leq ),}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle P.}$
• Poset . Un conjunto parcialmente ordenado.
• Hacer un pedido . Un preorden es una relación binaria que es reflexiva y transitiva . Estas órdenes también pueden denominarse cuasiórdenes o pedidos anticipados no estrictos . El término preorden también se utiliza para denotar una relación binaria acíclica (también llamada dígrafo acíclico ).
• Conjunto reservado . Un conjunto reservadoes un conjuntojunto con un pedido anticipadoen ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle P.}$
• Preservando .una función f entre posets P y Q preserva suprema (uniones), si, para todos los subconjuntos X de P que tienen un supremum sup X en P , encontramos que sup{ f ( x ): x in X } existe y es igual a f (sup X ). Esta función también se denomina preservación de unión . De manera análoga, se dice que f conserva uniones (o encuentros) finitas, no vacías, dirigidas o arbitrarias. La propiedad inversa se llama reflexión de unión .
• Principal . Un ideal I en una red L se dice que es primo si, para todos loselementos x e y en L , x ∧ y en I implica x en I o y en I. La noción dual se llama filtro primario . De manera equivalente, un conjunto es un filtro primo si y sólo si su complemento es un ideal primo.
• Principal . Un filtro se llama filtro principal si tiene un elemento mínimo. Dualmente, un ideal principal es un ideal con un elemento máximo. Los elementos menores o mayores también pueden denominarse elementos principales en estas situaciones.
• Proyección (operador) . Un automapa en un conjunto parcialmente ordenado que es monótono e idempotente bajo composición de funciones . Las proyecciones juegan un papel importante en la teoría de dominios .
• Pseudocomplemento . En un álgebra de Heyting , el elemento x ⇒; 0 se llama pseudocomplemento de x . También viene dado por sup{ y  : y ∧ x = 0}, es decir, como el límite superior mínimo de todos los elementos y con y ∧ x = 0.

q

• Cuasiorden . Ver pedido anticipado .
• Cuasitransitivo . Una relación es cuasitransitiva si la relación entre distintos elementos es transitiva. Transitivo implica cuasitransitivo y cuasitransitivo implica acíclico. ^[1]

R

• Reflexionando .una función f entre posets P y Q refleja suprema (uniones), si, para todos los subconjuntos X de P para los cuales el supremum sup{ f ( x ): x en X } existe y es de la forma f ( s ) para algunos s en P , entonces encontramos que sup X existe y que sup X = s . De manera análoga, se dice que f refleja uniones (o encuentros) finitas, no vacías, dirigidas o arbitrarias. La propiedad inversa se llama conservación de unión .
• Reflexivo . Una relación binaria R en un conjunto X es reflexiva, si x R x se cumple para cada elemento x en X .
• Residuales . Un mapa dual adjunto a un mapeo residual .
• Mapeo de residuos . Un mapa monótono en el que la preimagen de un escenario principal vuelve a ser principal. Equivalentemente, un componente de una conexión de Galois.

S

• Cadena saturada . Cadena de un poset tal que no se puede añadir ningún elemento entre dos de sus elementos sin perder la propiedad de estar totalmente ordenado. Si la cadena es finita, esto significa que en cada par de elementos sucesivos el mayor cubre al menor. Véase también cadena máxima.
• Disperso . Un orden total está disperso si no tiene un subconjunto densamente ordenado.
• Scott-continuo . Una función monótona f  : P → Q entre posets P y Q es continua de Scott si, para cada conjunto dirigido D que tiene un supremum sup D en P , el conjunto { fx | x en D } tiene el supremo f (sup D ) en Q . Dicho de otra manera, una función continua de Scott es aquella que preserva toda suprema dirigida. De hecho, esto equivale a ser continuo con respecto a la topología de Scott en los respectivos posets.
• Dominio Scott . Un dominio de Scott es un conjunto parcialmente ordenado que es un cpo algebraico completo acotado .
• Scott abierto . Ver topología de Scott .
• Topología de Scott . Para un poset P , un subconjunto O es abierto de Scott si es un conjunto superior y todos los conjuntos dirigidos D que tienen un supremo en O tienen una intersección no vacía con O. El conjunto de todos los conjuntos abiertos de Scott forma una topología , la topología de Scott .
• Semirrejilla . Una semired es un poset en el que existen todas las uniones finitas no vacías (suprema) o todas las reuniones finitas no vacías (infima). En consecuencia, se habla de semirrejilla de unión o semirrejilla de encuentro .
• Elemento más pequeño . Ver mínimo elemento .
• Propiedad de Sperner de un conjunto parcialmente ordenado
• Poset de Sperner
• Poset estrictamente de Sperner
• Poset fuertemente de Sperner
• Orden estricto . Ver orden parcial estricta .
• Orden parcial estricto . Un orden parcial estricto es una relación binaria homogénea que es transitiva , irreflexiva y antisimétrica .
• Reserva estricta . Ver orden parcial estricta .
• Supremo . Para un poset P y un subconjunto X de P , el elemento mínimo en el conjunto de límites superiores de X ( siexiste, que puede que no) se llama supremo , unión o límite superior mínimo de X. Se denota por sup X o X . El supremo de dos elementos se puede escribir como sup{ x , y } o x ∨ y . Si el conjunto X es finito, se habla de un supremo finito . La noción dual se llama ínfimo . ${\displaystyle \bigvee }$
• Consistencia de Suzumura . Una relación binaria R es consistente con Suzumura si x R ^∗ y implica que x R y o no y R x . ^[1]
• Relación simétrica . Una relación homogénea R en un conjunto X es simétrica, si x R y implica y R x , para todos los elementos x , y en X .

t

• Arriba . Ver unidad .
• Orden total . Un orden total T es un orden parcial en el que, para cada x e y en T , tenemos x ≤ y o y ≤ x . Los pedidos totales también se denominan pedidos lineales o cadenas .
• Relación total . Sinónimo de relación conectada .
• Relación transitiva . Una relación R en un conjunto X es transitiva, si x R y y y R z implican x R z , para todos los elementos x , y , z en X .
• Clausura transitiva . La clausura transitiva R ^∗ de una relación R consta de todos los pares x , y para los cuales existe una cadena finita x R a , a R b , ..., z R y . ^[1]

Ud.

• Unidad . El mayor elemento de un poset P se puede llamar unidad o simplemente 1 (si existe). Otro término común para este elemento es superior . Es el mínimo del conjunto vacío y el supremo de P . La noción dual se llama cero .
• Decepcionado . Ver conjunto superior .
• Límite superior .superiorde un subconjunto X de un poset P es un elemento b de P , tal que x ≤ b , para todo x en X. La noción dual se llama límite inferior .
• Conjunto superior . Un subconjunto X de un poset P se llama conjunto superior si, para todos los elementos x en X y p en P , x ≤ p implica que p está contenidoen X. La noción dual se denomina conjunto inferior .

V

• Valoración . Dada una red , una valoración es estricta (es decir, ), monótona, modular (es decir, ) y positiva. Las valoraciones continuas son una generalización de medidas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu :X\to [0,1]}$ ${\displaystyle \nu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \nu (U)+\nu (V)=\nu (U\cup V)+\nu (U\cap V)}$

W.

• Relación muy por debajo . En un poset P , algún elemento x está muy por debajo de y , escrito x << y , si para todos los subconjuntos dirigidos D de P que tienen un supremo, y ≤ sup D implica x ≤ d para algún d en D. También se dice que x se aproxima a y . Véase también teoría de dominios .
• Orden débil . Un orden parcial ≤ en un conjunto X es un orden débil siempre que el poset (X, ≤) sea isomorfo a una colección contable de conjuntos ordenados por comparación de cardinalidad .

z

• Cero . El elemento mínimo de un poset P puede denominarse cero o simplemente 0 (si existe). Otro término común para este elemento es fondo . Cero es el supremo del conjunto vacío y el mínimo de P . La noción dual se llama unidad .

Notas

1. Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (2010). Coherencia, elección y racionalidad . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 978-0674052994.
2. Deng 2008, pág. 22

Referencias

Las definiciones dadas aquí son consistentes con las que se pueden encontrar en los siguientes libros de referencia estándar:

• BA Davey y HA Priestley, Introducción a las celosías y al orden , segunda edición, Cambridge University Press, 2002.
• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove y DS Scott, Celosías y dominios continuos , en Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones , vol. 93, Prensa de la Universidad de Cambridge, 2003.

Definiciones específicas:

• Deng, Bangming (2008), Álgebras de dimensión finita y grupos cuánticos , Estudios y monografías matemáticas, vol. 150, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-4186-0