En matemáticas, el concepto de aplicación residual surge en la teoría de conjuntos parcialmente ordenados y perfecciona el concepto de función monótona .
Si A , B son conjuntos parciales , una función f : A → B se define como monótona si preserva el orden: es decir, si x ≤ y implica f ( x ) ≤ f ( y ). Esto es equivalente a la condición de que la preimagen bajo f de cada conjunto descendente de B sea un conjunto descendente de A . Definimos un conjunto descendente principal como uno de la forma ↓{ b } = { b ' ∈ B : b ' ≤ b }. En general, la preimagen bajo f de un conjunto descendente principal no necesita ser un conjunto descendente principal. Si todos lo son, f se llama residual .
La noción de mapa residual se puede generalizar a un operador binario (o cualquier aridad superior ) a través de la residuación componente por componente. Este enfoque da lugar a nociones de división izquierda y derecha en un magma parcialmente ordenado , dotándolo además de una estructura de cuasigrupo . (Se habla sólo de álgebra residual para aridades superiores). Un mapa residual binario (o de aridad superior) normalmente no se residua como un mapa unario. [1]
Si A , B son conjuntos poses, una función f : A → B se residua si y solo si la preimagen bajo f de cada conjunto descendente principal de B es un conjunto descendente principal de A .
Si B es un conjunto posesivo, el conjunto de funciones A → B se puede ordenar mediante el orden puntual f ≤ g ↔ (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ).
Se puede demostrar que una función monótona f es residuada si y solo si existe una función monótona (necesariamente única) f + : B → A tal que f o f + ≤ id B y f + o f ≥ id A , donde id es la función identidad . La función f + es el residuo de f . Una función residual y su residuo forman una conexión de Galois bajo la definición monótona (más reciente) de ese concepto, y para cada conexión de Galois (monótona) el adjunto inferior es residuado y el residuo es el adjunto superior. [2] Por lo tanto, las nociones de conexión de Galois monótona y aplicación residual coinciden esencialmente.
Además, tenemos f -1 (↓{ b }) = ↓{ f + ( b )}.
Si B ° denota el orden dual (conjunto opuesto) de B entonces f : A → B es una aplicación residual si y sólo si existe una f * tal que f : A → B ° y f * : B ° → A forman una conexión de Galois bajo la definición antitónica original de esta noción.
Si f : A → B y g : B → C son aplicaciones residuales, entonces también lo es la composición de funciones gf : A → C , con residuo ( gf ) + = f + g + . Las conexiones de Galois antitónicas no comparten esta propiedad.
El conjunto de transformaciones monótonas (funciones) sobre un conjunto parcial es un monoide ordenado con orden puntual, y también lo es el conjunto de transformaciones residuales. [3]
Si • : P × Q → R es una función binaria y P , Q y R son conjuntos parciales, entonces se puede definir la residuación componente por componente para las traslaciones izquierda y derecha, es decir, la multiplicación por un elemento fijo. Para un elemento x en P defina x λ ( y ) = x • y , y para x en Q defina λ x ( y ) = y • x . Entonces se dice que • está residuada si y solo si x λ y λ x están residuadas para todo x (en P y respectivamente en Q ). La división izquierda (y respectivamente derecha) se define tomando los residuos de las traslaciones izquierda (y respectivamente derecha): x \ y = ( x λ ) + ( y ) y x / y = ( λ x ) + ( y )
Por ejemplo, cada grupo ordenado es residual, y la división definida por lo anterior coincide con la noción de división en un grupo . Un ejemplo menos trivial es el conjunto Mat n ( B ) de matrices cuadradas sobre un álgebra booleana B , donde las matrices están ordenadas puntualmente . El orden puntual dota a Mat n ( B ) de encuentros, uniones y complementos puntuales. La multiplicación de matrices se define de la manera habitual con el "producto" siendo un encuentro, y la "suma" una unión. Se puede demostrar [4] que X \ Y = ( Y t X ′)′ y X / Y = ( X ′ Y t )′ , donde X ′ es el complemento de X , e Y t es la matriz transpuesta ).
