Puntual

Aplicación de operaciones a funciones en términos de valores para cada "punto" de entrada

En matemáticas , el calificador puntual se utiliza para indicar que una determinada propiedad se define considerando cada valor de alguna función. Una clase importante de conceptos puntuales son las operaciones puntuales , es decir, operaciones definidas sobre funciones aplicando las operaciones a los valores de la función por separado para cada punto en el dominio de definición. Las relaciones importantes también se pueden definir puntualmente. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f.}$

Operaciones puntuales

Suma puntual (gráfico superior, violeta) y producto (verde) de las funciones sen (gráfico inferior, azul) y ln (rojo). El corte vertical resaltado muestra el cálculo en el punto x = 2π.

Definición formal

Una operación binaria o : Y × Y → Y sobre un conjunto Y puede elevarse puntualmente a una operación O : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y ) sobre el conjunto X → Y de todas las funciones de X a Y de la siguiente manera: Dadas dos funciones f ₁ : X → Y y f ₂ : X → Y , defina la función O ( f ₁ , f ₂ ): X → Y por

( O ( f ₁ , f ₂ ))( x ) = o ( f ₁ ( x ), f ₂ ( x )) para todo x ∈ X .

Comúnmente, o y O se denotan con el mismo símbolo. Se utiliza una definición similar para las operaciones unarias o y para las operaciones de otras aridades . ^{[ cita requerida ]}

Ejemplos

La suma puntual de dos funciones y con el mismo dominio y codominio se define por: ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x).}$

El producto puntual o multiplicación puntual es:

${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).}$

El producto puntual con un escalar se escribe generalmente con el término escalar primero. Por lo tanto, cuando es un escalar : ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x).}$

Un ejemplo de una operación sobre funciones que no es puntual es la convolución .

Propiedades

Las operaciones puntuales heredan propiedades como la asociatividad , la conmutatividad y la distributividad de las operaciones correspondientes en el codominio . Si es alguna estructura algebraica , el conjunto de todas las funciones del conjunto portador de se puede convertir en una estructura algebraica del mismo tipo de manera análoga. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

Operaciones por componentes

Las operaciones por componentes suelen definirse sobre vectores, donde los vectores son elementos del conjunto para algún número natural y algún cuerpo . Si denotamos el componente -ésimo de cualquier vector como , entonces la suma por componentes es . ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle (u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}}$

Se pueden definir operaciones por componentes en matrices. La suma de matrices, donde es una operación por componentes, mientras que la multiplicación de matrices no lo es. ${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}$

Una tupla puede considerarse una función y un vector es una tupla. Por lo tanto, cualquier vector corresponde a la función tal que , y cualquier operación componente por componente sobre vectores es la operación puntual sobre funciones correspondientes a esos vectores. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f:n\to K}$ ${\displaystyle f(i)=v_{i}}$

Relaciones puntuales

En la teoría del orden es común definir un orden parcial puntual en funciones. Con los conjuntos parciales A , B , el conjunto de funciones A → B se puede ordenar definiendo f ≤ g si (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ) . Los órdenes puntuales también heredan algunas propiedades de los conjuntos parciales subyacentes. Por ejemplo, si A y B son redes continuas , entonces también lo es el conjunto de funciones A → B con orden puntual. ^[1] Utilizando el orden puntual en funciones se pueden definir de forma concisa otras nociones importantes, por ejemplo: ^[2]

• Un operador de cierre c en un conjunto posexpuesto P es un automapa monótono e idempotente en P (es decir, un operador de proyección ) con la propiedad adicional de que id _A ≤ c , donde id es la función identidad .
• De manera similar, un operador de proyección k se denomina operador de núcleo si y solo si k ≤ id _A .

Un ejemplo de una relación puntual infinitaria es la convergencia puntual de funciones: una secuencia de funciones que converge puntualmente a una función f si para cada x en X $${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$$ $${\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

Notas

1. Gierz y otros, pág. xxxiii
2. Gierz, et al., pág. 26

Referencias

Para ejemplos de teoría del orden:

• TS Blyth, Redes y estructuras algebraicas ordenadas , Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5 .
• G. Gierz, K. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, DS Scott : Redes y dominios continuos , Cambridge University Press, 2003.

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