Posición continua

En la teoría del orden , un conjunto parcialmente ordenado es un conjunto en el que cada elemento es el supremo dirigido de los elementos que lo aproximan.

Definiciones

Sean dos elementos de un conjunto preordenado . Entonces decimos que se aproxima a , o que está muy por debajo de , si se cumplen las dos condiciones equivalentes siguientes. $a,b\en P$ $(P,\lesssim )$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización b}$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización b}$

Para cualquier conjunto dirigido tal que , existe un tal que . $D\subseteq P$ $b\lesssim \sup D$ $d\en D$ $a\lesssim d$
Para cualquier ideal tal que , . $I\subseteq P$ $b\lesssim \sup yo$ $a\en yo$

Si se aproxima a , escribimos . La relación de aproximación es una relación transitiva que es más débil que el orden original, también antisimétrica si es un conjunto parcialmente ordenado , pero no necesariamente un preorden . Es un preorden si y solo si satisface la condición de cadena ascendente . ^[1]^{: p.52, Ejemplos I-1.3, (4)} ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización b}$ ${\estilo de visualización a\ll b}$ ${\estilo de visualización \ll}$ ${\estilo de visualización P}$ $(P,\lesssim )$

Para cualquier , dejemos $a\en P$

\mathop {\Flecha arriba} a=\{b\en L\mid a\ll b\}

\mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\mid b\ll a\}

Entonces es un conjunto superior y un conjunto inferior . Si es un semirretículo superior , es un conjunto dirigido (es decir, implica ), y por lo tanto un ideal . $\mathop {\Flecha hacia arriba} a$ $\mathop {\Downarrow } a$ $P$ $\mathop {\Downarrow } a$ $b,c\ll a$ $b\vee c\ll a$

Un conjunto preordenado se denomina conjunto preordenado continuo si para cualquier , el subconjunto está dirigido y . $(P,\lesssim )$ $a\in P$ $\mathop {\Downarrow } a$ $a=\sup \mathop {\Downarrow } a$

Propiedades

La propiedad de interpolación

Para dos elementos cualesquiera de un conjunto preordenado continuo , si y solo si para cualquier conjunto dirigido tal que , existe un tal que . De aquí se sigue la propiedad de interpolación del conjunto preordenado continuo : para cualquier tal que existe un tal que . $a,b\in P$ $(P,\lesssim )$ $a\ll b$ $D\subseteq P$ $b\lesssim \sup D$ $d\in D$ $a\ll d$ $(P,\lesssim )$ $a,b\in P$ $a\ll b$ $c\in P$ $a\ll c\ll b$

DCPOS continuo

Para dos elementos cualesquiera de una dcpo continua , las dos condiciones siguientes son equivalentes. ^[1]^{: p.61, Proposición I-1.19(i)} $a,b\in P$ $(P,\leq )$

$a\ll b$ y . $a\neq b$
Para cualquier conjunto dirigido tal que , existe un tal que y . $D\subseteq P$ $b\leq \sup D$ $d\in D$ $a\ll d$ $a\neq d$

Con esto se puede demostrar que la siguiente propiedad de interpolación más fuerte es verdadera para dcpos continuos. Para cualquier tal que y , existe un tal que y . ^[1]^{: p.61, Proposición I-1.19(ii)} $a,b\in P$ $a\ll b$ $a\neq b$ $c\in P$ $a\ll c\ll b$ $a\neq c$

Para una dcpo , las siguientes condiciones son equivalentes. ^[1]^{: Teorema I-1.10} $(P,\leq )$

$P$ es continua
El mapa supremo del conjunto parcialmente ordenado de ideales de a tiene un adjunto izquierdo . $\sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$ $P$ $P$

En este caso, el adjunto izquierdo real es

{\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)

{\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup

Retículas completas continuas

Para cualesquiera dos elementos de una red completa , si y sólo si para cualquier subconjunto tal que , existe un subconjunto finito tal que . $a,b\in L$ $L$ $a\ll b$ $A\subseteq L$ $b\leq \sup A$ $F\subseteq A$ $a\leq \sup F$

Sea una red completa . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. $L$

$L$ es continua
El mapa supremo de la red completa de ideales de a preserva ínfimos arbitrarios . $\sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$ $L$ $L$
Para cualquier familia de conjuntos dirigidos de , . ${\mathcal {D}}$ $L$ $\textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$
$L$ es isomorfo a la imagen de un mapa idempotente continuo de Scott sobre la potencia directa de un número arbitrario de redes de dos puntos . ^[2]^{: p.56, Teorema 44} $r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }$ $\{0,1\}$

Una red completa continua a menudo se denomina red continua .

Ejemplos

Redes de conjuntos abiertos

Para un espacio topológico , las siguientes condiciones son equivalentes. $X$

El álgebra de Heyting completa de conjuntos abiertos de es un álgebra de Heyting completa continua . $\operatorname {Open} (X)$ $X$
La sobrificación de es un espacio localmente compacto (en el sentido de que cada punto tiene una base local compacta ) $X$
$X$ es un objeto exponencial en la categoría de espacios topológicos . ^[1]^{: p.196, Teorema II-4.12} Es decir, el funtor tiene un adjunto derecho . $\operatorname {Top}$ $(-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top}$

Referencias

^ abcde Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). Redes y dominios continuos . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511542725. ISBN. 978-0-521-80338-0.MR 1975381.Zbl 1088.06001 .
^ Grätzer, George (2011). Teoría de retículos: fundamento . Basilea: Springer. doi :10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN . 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.

Enlaces externos

"Red continua", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Espacio compacto con núcleo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Posit continuo en el laboratorio n
Categoría continua en el laboratorio n
Ley exponencial para espacios en el laboratorio n
Poético continuo en PlanetMath .