En el área matemática de la teoría del orden , existen varias nociones del concepto común de distributividad , aplicadas a la formación de supremas e ínfimas . La mayoría de ellas se aplican a conjuntos parcialmente ordenados que son al menos retículos , pero el concepto puede, de hecho, generalizarse razonablemente también a semirretículos .
Probablemente el tipo más común de distributividad es el definido para los retículos , donde la formación de supremas e ínfimas binarias proporciona las operaciones totales de unión ( ) y encuentro ( ). La distributividad de estas dos operaciones se expresa entonces exigiendo que la identidad
Se cumple para todos los elementos x , y y z . Esta ley de distributividad define la clase de redes distributivas . Nótese que este requisito se puede reformular diciendo que las uniones binarias se cumplen y se conservan . Se sabe que la afirmación anterior es equivalente a su dual de orden.
de manera que una de estas propiedades es suficiente para definir la distributividad de los retículos. Ejemplos típicos de retículos distributivos son los conjuntos totalmente ordenados , las álgebras de Boole y las álgebras de Heyting . Todo retículo distributivo finito es isomorfo a un retículo de conjuntos, ordenados por inclusión ( teorema de representación de Birkhoff ).
Un semirretículo es un conjunto parcialmente ordenado con solo una de las dos operaciones de retículo, ya sea un semirretículo de encuentro o de unión . Dado que solo hay una operación binaria, la distributividad obviamente no se puede definir de la manera estándar. Sin embargo, debido a la interacción de la operación única con el orden dado, la siguiente definición de distributividad sigue siendo posible. Un semirretículo de encuentro es distributivo , si para todos a , b y x :
Los semirretículos de unión distributivos se definen dualmente : un semirretículo de unión es distributivo si para todos a , b y x :
En cualquier caso, a' y b' no tienen por qué ser únicos. Estas definiciones se justifican por el hecho de que, dada cualquier red L , las siguientes afirmaciones son todas equivalentes:
Por lo tanto, cualquier semirretículo de encuentro distributivo en el que existan uniones binarias es un retículo distributivo. Un semirretículo de unión es distributivo si y solo si el retículo de sus ideales (bajo inclusión) es distributivo. [1]
Esta definición de distributividad permite generalizar algunas afirmaciones sobre redes distributivas a semirredes distributivas.
Para una red completa , los subconjuntos arbitrarios tienen tanto ínfima como suprema y, por lo tanto, están disponibles las operaciones de encuentro y unión infinitarias. Por lo tanto, se pueden describir varias nociones extendidas de distributividad. Por ejemplo, para la ley distributiva infinita , los encuentros finitos pueden distribuirse sobre uniones arbitrarias, es decir
Puede cumplirse para todos los elementos x y todos los subconjuntos S de la red. Las redes completas con esta propiedad se denominan marcos , locales o álgebras de Heyting completas . Surgen en relación con la topología sin punto y la dualidad de Stone . Esta ley distributiva no es equivalente a su enunciado dual.
que define la clase de marcos duales o álgebras de co-Heyting completas.
Ahora se puede ir aún más lejos y definir órdenes donde las uniones arbitrarias se distribuyen sobre encuentros arbitrarios. Tales estructuras se denominan retículos completamente distributivos . Sin embargo, expresar esto requiere formulaciones que son un poco más técnicas. Consideremos una familia doblemente indexada { x j , k | j en J , k en K ( j )} de elementos de un retículo completo, y sea F el conjunto de funciones de elección f que eligen para cada índice j de J algún índice f ( j ) en K ( j ). Un retículo completo es completamente distributivo si para todos esos datos se cumple la siguiente afirmación:
La distributividad completa es nuevamente una propiedad autodual, es decir, al dualizar la afirmación anterior se obtiene la misma clase de redes completas. Las redes completas completamente distributivas (también llamadas redes completamente distributivas para abreviar) son, de hecho, estructuras muy especiales. Consulte el artículo sobre redes completamente distributivas .
En un retículo arbitrario, un elemento x se denomina elemento distributivo si ∀ y , z : x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ). Un elemento x se denomina elemento distributivo dual si ∀ y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ).
En una red distributiva, cada elemento es, por supuesto, tanto distributivo como dual distributivo. En una red no distributiva, puede haber elementos que sean distributivos, pero no dual distributivos (y viceversa). Por ejemplo, en la red pentagonal representada N 5 , el elemento x es distributivo, [2] pero no dual distributivo, ya que x ∧ ( y ∨ z ) = x ∧ 1 = x ≠ z = 0 ∨ z = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ).
En una red arbitraria L , los siguientes son equivalentes:
En una red arbitraria, si x 1 y x 2 son elementos distributivos, entonces también lo es x 1 ∨ x 2 . [4]
La distributividad es un concepto básico que se trata en cualquier libro de texto sobre teoría de redes y orden. Consulte la bibliografía que se proporciona para los artículos sobre teoría de orden y teoría de redes . La bibliografía más específica incluye:
