En el área matemática de la teoría del orden , a menudo se habla de funciones que preservan ciertos límites, es decir, ciertos supremos o ínfimos . En términos generales, estas funciones asignan el supremo/ínfimo de un conjunto al supremo/ínfimo de la imagen del conjunto. Dependiendo del tipo de conjuntos para los que una función satisface esta propiedad, puede preservar supremos o ínfimos finitos, dirigidos, no vacíos o simplemente arbitrarios. Cada uno de estos requisitos aparece de forma natural y frecuente en muchas áreas de la teoría del orden y existen varias relaciones importantes entre estos conceptos y otras nociones como la monotonía . Si se invierte la implicación de la preservación de límites, de modo que la existencia de límites en el rango de una función implique la existencia de límites en el dominio, entonces se obtienen funciones que reflejan límites .
El propósito de este artículo es aclarar la definición de estos conceptos básicos, lo cual es necesario ya que la literatura no siempre es consistente en este punto, y dar resultados y explicaciones generales sobre estos temas.
En muchas áreas especializadas de la teoría del orden, se restringe a clases de conjuntos parcialmente ordenados que son completos con respecto a ciertas construcciones límite. Por ejemplo, en la teoría de retículos , uno está interesado en los órdenes donde todos los conjuntos finitos no vacíos tienen tanto un límite superior mínimo como un límite inferior máximo. En la teoría de dominios , por otro lado, uno se centra en los conjuntos parcialmente ordenados en los que cada subconjunto dirigido tiene un supremo. Los retículos completos y los órdenes con un elemento mínimo (el "supremo vacío") proporcionan más ejemplos.
En todos estos casos, los límites juegan un papel central para las teorías, apoyadas por sus interpretaciones en aplicaciones prácticas de cada disciplina. También interesa especificar aplicaciones apropiadas entre tales órdenes. Desde un punto de vista algebraico , esto significa que se desea encontrar nociones adecuadas de homomorfismos para las estructuras en consideración. Esto se logra considerando aquellas funciones que son compatibles con las construcciones que son características para los respectivos órdenes. Por ejemplo, los homomorfismos reticulares son aquellas funciones que preservan supremas e ínfimas finitos no vacíos, es decir, la imagen de un supremo/ínfimo de dos elementos es simplemente el supremo/ínfimo de sus imágenes. En la teoría de dominios, a menudo se trabaja con las llamadas funciones Scott-continuas que preservan todas las supremas dirigidas.
El contexto de las definiciones y la terminología que se dan a continuación se encuentra en la teoría de categorías , donde se consideran los límites (y co-límites ) en un sentido más general. El concepto categórico de funtores que preservan y reflejan límites está en completa armonía con la teoría del orden, ya que los órdenes pueden considerarse como categorías pequeñas definidas como categorías de conjuntos parciales con una estructura adicional definida.
Considérese dos conjuntos parcialmente ordenados P y Q , y una función f de P a Q . Además, sea S un subconjunto de P que tiene un límite superior mínimo s . Entonces f conserva el supremo de S si el conjunto f ( S ) = { f ( x ) | x en S } tiene un límite superior mínimo en Q que es igual a f ( s ), es decir
Esta definición consta de dos requisitos: el supremo del conjunto f ( S ) existe y es igual a f ( s ). Esto corresponde al paralelismo mencionado anteriormente con la teoría de categorías, pero no siempre se requiere en la literatura. De hecho, en algunos casos se debilita la definición para requerir que solo el supremo existente sea igual a f ( s ). Sin embargo, Wikipedia trabaja con la noción común dada anteriormente y establece la otra condición explícitamente si es necesario.
A partir de la definición fundamental dada anteriormente, se puede derivar una amplia gama de propiedades útiles. Se dice que una función f entre conjuntos parciales P y Q preserva la suprema finita, no vacía, dirigida o arbitraria si preserva la suprema de todos los conjuntos finitos, no vacíos, dirigidos o arbitrarios, respectivamente. La preservación de la suprema finita no vacía también se puede definir por la identidad f ( x v y ) = f ( x ) v f ( y ), que se cumple para todos los elementos x e y , donde asumimos que v es una función total en ambos órdenes.
De doble manera se definen propiedades para la conservación de los ínfimos.
La condición "opuesta" a la conservación de límites se llama reflexión. Considérese una función f como la anterior y un subconjunto S de P , tal que sup f ( S ) existe en Q y es igual a f ( s ) para algún elemento s de P . Entonces f refleja el supremo de S si sup S existe y es igual a s . Como ya se demostró para la conservación, se obtienen muchas propiedades adicionales considerando ciertas clases de conjuntos S y dualizando la definición a ínfima.
Algunos casos especiales o propiedades derivadas del esquema anterior se conocen con otros nombres o son de particular importancia para algunas áreas de la teoría del orden. Por ejemplo, las funciones que preservan el supremo vacío son aquellas que preservan el elemento menor. Además, debido a la motivación explicada anteriormente, muchas funciones que preservan el límite aparecen como homomorfismos especiales para ciertas estructuras de orden. A continuación se dan otros casos destacados.
Una situación interesante ocurre si una función preserva todos los supremos (o ínfimos). Más precisamente, esto se expresa diciendo que una función preserva todos los supremos (o ínfimos) existentes , y bien puede ser que los conjuntos parciales bajo consideración no sean retículos completos. Por ejemplo, las conexiones de Galois (monótonas) tienen esta propiedad. Por el contrario, por el Teorema del Functor Adjunto teórico de orden , se puede garantizar que las aplicaciones que preservan todos los supremos/ínfimos sean parte de una conexión de Galois única siempre que se cumplan algunos requisitos adicionales.
Una red L es distributiva si, para todos los x , y y z en L , encontramos
Pero esto simplemente dice que la función de encuentro ^: L -> L preserva la supremacía binaria . Se sabe en la teoría de retículos que esta condición es equivalente a su dual, es decir, la función v: L -> L preserva la supremacía binaria. De manera similar, se ve que la ley de distributividad infinita
de álgebras de Heyting completas (véase también topología sin sentido ) es equivalente a la función de encuentro ^ que preserva suprema arbitraria. Esta condición, sin embargo, no implica su dual.
Las funciones que preservan la supremacía dirigida se denominan Scott-continuas o, a veces, simplemente continuas , si esto no causa confusión con el concepto correspondiente de análisis y topología . También se puede encontrar un uso similar del término continua para la preservación de límites en la teoría de categorías.
La definición anterior de conservación del límite es bastante fuerte. De hecho, toda función que conserva al menos la suprema o la ínfima de cadenas de dos elementos, es decir, de conjuntos de dos elementos comparables, es necesariamente monótona. Por lo tanto, todas las propiedades especiales de conservación mencionadas anteriormente inducen monotonía.
Partiendo del hecho de que algunos límites pueden expresarse en términos de otros, se pueden derivar conexiones entre las propiedades de conservación. Por ejemplo, una función f conserva la suprema dirigida si y solo si conserva la suprema de todos los ideales. Además, una función f de un conjunto parcial en el que existe cada suprema finito no vacío (un denominado semirretículo sup) conserva una suprema arbitraria si y solo si conserva tanto la suprema dirigida como la finita (posiblemente vacía).
Sin embargo, no es cierto que una función que preserva todos los suprema también preserva todos los ínfimos o viceversa.
