En el área matemática de la teoría del orden , las propiedades de completitud afirman la existencia de cierta ínfima o suprema de un determinado conjunto parcialmente ordenado (poset). El ejemplo más familiar es la completitud de los números reales . Un uso especial del término se refiere a órdenes parciales completas o celosías completas . Sin embargo, existen muchas otras nociones interesantes de integridad.
La motivación para considerar las propiedades de completitud se deriva de la gran importancia de suprema (límites superiores menores, une , " ") e ínfima (límites inferiores mayores, cumple , " ") para la teoría de los órdenes parciales. Encontrar un supremo significa seleccionar un elemento mínimo distinguido del conjunto de límites superiores. Por un lado, estos elementos especiales a menudo incorporan ciertas propiedades concretas que son interesantes para la aplicación dada (como ser el mínimo común múltiplo de un conjunto de números o la unión de una colección de conjuntos). Por otro lado, el conocimiento de que se garantiza que ciertos tipos de subconjuntos tienen suprema o ínfima nos permite considerar la evaluación de estos elementos como operaciones totales en un conjunto parcialmente ordenado. Por esta razón, los posets con ciertas propiedades de completitud a menudo pueden describirse como estructuras algebraicas de cierto tipo. Además, el estudio de las propiedades de las operaciones recién obtenidas ofrece otros temas interesantes.
Todas las propiedades de completitud se describen siguiendo un esquema similar: se describe una determinada clase de subconjuntos de un conjunto parcialmente ordenado que deben tener un supremo o un mínimo. Por lo tanto, cada propiedad de completitud tiene su dual , que se obtiene invirtiendo las definiciones dependientes del orden en el enunciado dado. Algunas de las nociones no suelen estar dualizadas, mientras que otras pueden ser autoduales (es decir, equivalentes a sus enunciados duales).
El ejemplo más sencillo de supremo es el vacío, es decir, el supremo del conjunto vacío . Por definición, este es el elemento menor entre todos los elementos que son mayores que cada miembro del conjunto vacío. Pero este es solo el elemento mínimo de todo el poset, si lo tiene, ya que convencionalmente se considera que el subconjunto vacío de un poset P está acotado tanto desde arriba como desde abajo, siendo cada elemento de P un límite superior e inferior. del subconjunto vacío. Otros nombres comunes para el elemento mínimo son inferior y cero (0). La noción dual, el límite inferior vacío, es el elemento mayor , superior o unidad (1).
Los posets que tienen una parte inferior a veces se llaman puntiagudos, mientras que los posets con una parte superior se llaman unitarios o rematados. Un orden que tiene un elemento menor y mayor es acotado. Sin embargo, esto no debe confundirse con la noción de integridad limitada que se presenta a continuación.
Otras condiciones de completitud simples surgen de la consideración de todos los conjuntos finitos no vacíos . Un orden en el que todos los conjuntos finitos no vacíos tienen tanto un supremo como un mínimo se llama celosía . Basta exigir que existan todos los suprema e infima de dos elementos para obtener todos los finitos no vacíos; un argumento de inducción sencillo muestra que cada supremum/infimum finito no vacío se puede descomponer en un número finito de suprema/infima binario. Así, las operaciones centrales de las redes son binarias suprema e infima . Es en este contexto que los términos reunirse para y unirse para son más comunes.
Por lo tanto, un poset en el que solo se sabe que existe un suprema finito no vacío se llama semirretícula de unión . La noción dual es encuentro-semirrejilla .
La forma más fuerte de plenitud es la existencia de todo suprema y de toda ínfima. Los posets con esta propiedad son las celosías completas . Sin embargo, utilizando el orden dado, se puede restringir a otras clases de subconjuntos (posiblemente infinitos) que no produzcan esta fuerte completitud de inmediato.
Si todos los subconjuntos dirigidos de un poset tienen un supremo, entonces el orden es un orden parcial completo dirigido (dcpo). Estos son especialmente importantes en la teoría de dominios . La noción dual rara vez considerada para un dcpo es la poset completa filtrada. Los dcpos con un elemento mínimo ("dcpos puntiagudos") son uno de los posibles significados de la frase orden parcial completo (cpo).
Si cada subconjunto que tiene algún límite superior tiene también un límite superior mínimo, entonces el poset respectivo se llama acotado completo . El término se usa ampliamente con esta definición que se centra en la suprema y no existe un nombre común para la propiedad dual. Sin embargo, la completitud acotada se puede expresar en términos de otras condiciones de completitud que se dualizan fácilmente (ver más abajo). Aunque los conceptos con los nombres "completo" y "acotado" ya estaban definidos, es poco probable que se produzca confusión ya que rara vez se hablaría de un "poset completo acotado" cuando se quiere decir un "cpo acotado" (que es simplemente un "cpo con mayor elemento "). Asimismo, "red completa acotada" es casi inequívoca, ya que no se establecería la propiedad de acotación para redes completas, donde de todos modos está implícita. También tenga en cuenta que el conjunto vacío generalmente tiene límites superiores (si el poset no está vacío) y, por lo tanto, un poset completo acotado tiene un elemento mínimo.
También se pueden considerar los subconjuntos de un poset que están totalmente ordenados , es decir, las cadenas . Si todas las cadenas tienen un supremo, el orden se llama cadena completa . Nuevamente, este concepto rara vez se necesita en su forma dual.
Ya se observó que las reuniones/uniones binarias producen todas las reuniones/uniones finitas no vacías. Asimismo, muchas otras (combinaciones) de las condiciones anteriores son equivalentes.
Como se explicó anteriormente, la presencia de ciertas condiciones de completitud permite considerar la formación de ciertos suprema e ínfima como operaciones totales de un conjunto parcialmente ordenado. Resulta que en muchos casos es posible caracterizar la completitud únicamente considerando estructuras algebraicas apropiadas en el sentido del álgebra universal , que están equipadas con operaciones como o . Al imponer condiciones adicionales (en forma de identidades adecuadas ) a estas operaciones, uno puede derivar el orden parcial subyacente exclusivamente a partir de tales estructuras algebraicas. Los detalles sobre esta caracterización se pueden encontrar en los artículos sobre las estructuras "enrejadas" para las cuales esto se considera típicamente: ver semired , celosía , álgebra de Heyting y álgebra de Boole . Tenga en cuenta que las dos últimas estructuras extienden la aplicación de estos principios más allá de los meros requisitos de integridad al introducir una operación adicional de negación .
Otra forma interesante de caracterizar las propiedades de completitud se proporciona a través del concepto de conexiones de Galois (monótonas) , es decir, conjunciones entre órdenes parciales. De hecho, este enfoque ofrece conocimientos adicionales tanto sobre la naturaleza de muchas propiedades de completitud como sobre la importancia de las conexiones de Galois para la teoría del orden. La observación general en la que se basa esta reformulación de la completitud es que la construcción de ciertos suprema o infima proporciona partes adjuntas izquierda o derecha de conexiones Galois adecuadas.
Considere un conjunto parcialmente ordenado ( X , ≤). Como primer ejemplo simple, sea 1 = {*} un conjunto especificado de un elemento con el único orden parcial posible. Hay una aplicación obvia j : X → 1 con j ( x ) = * para todo x en X . X tiene un elemento mínimo si y solo si la función j tiene un adjunto inferior j * : 1 → X . De hecho, la definición de conexiones de Galois produce que en este caso j * (*) ≤ x si y sólo si * ≤ j ( x ), donde el lado derecho obviamente es válido para cualquier x . Dualmente, la existencia de un adjunto superior para j es equivalente a que X tenga un elemento mayor.
Otro mapeo simple es la función q : X → X × X dada por q ( x ) = ( x , x ). Naturalmente, la relación de pedido prevista para X × X es simplemente el orden habitual del producto . q tiene un adjunto inferior q * si y solo si existen todas las uniones binarias en X. Por el contrario, la operación de unión : X × X → X siempre puede proporcionar el adjunto inferior (necesariamente único) para q . Dualmente, q permite un adjunto superior si y sólo si X tiene todos los encuentros binarios. Por tanto, la operación de encuentro , si existe, siempre es un adjunto superior. Si ambos y existen y, además, también es un adjunto inferior, entonces el poset X es un álgebra de Heyting , otra clase especial importante de órdenes parciales.
Se pueden obtener más declaraciones de integridad utilizando procedimientos de finalización adecuados . Por ejemplo, es bien sabido que la colección de todos los conjuntos inferiores de un poset X , ordenados por inclusión de subconjuntos , produce una red completa D ( X ) (la red descendente). Además, existe una incrustación obvia e : X → D ( X ) que asigna cada elemento x de X a su ideal principal { y en X | y ≤ x }. Una pequeña reflexión muestra ahora que e tiene un adjunto inferior si y sólo si X es una red completa. De hecho, este adjunto inferior asignará cualquier conjunto inferior de X a su supremo en X . Al componer este adjunto inferior con la función que asigna cualquier subconjunto de X a su cierre inferior (nuevamente un complemento para la inclusión de conjuntos inferiores en el conjunto de poderes ), se obtiene el mapa supremo habitual del conjunto de poderes 2 X a X. Como antes, otra situación importante ocurre siempre que este mapa supremo es también un adjunto superior: en este caso, la red completa X es constructivamente completamente distributiva . Véanse también los artículos sobre distributividad completa y distributividad (teoría del orden) .
Las consideraciones en esta sección sugieren una reformulación de (partes de) la teoría del orden en términos de la teoría de categorías , donde las propiedades generalmente se expresan haciendo referencia a las relaciones ( morfismos , más específicamente: adjunciones) entre objetos, en lugar de considerar su estructura interna. Para consideraciones más detalladas de esta relación, consulte el artículo sobre la formulación categórica de la teoría del orden.
