Orden de producto

Diagrama de Hasse del pedido del producto en × ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

En matemáticas , dado un orden parcial y en un conjunto y , respectivamente, el orden del producto ^{[1] [2] [3] [4]} (también llamado orden por coordenadas ^{[5] [3] [6]} u orden por componentes ^{[2] ] [7]} ) es un ordenamiento parcial del producto cartesiano Dados dos pares y declaramos que si y ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \sqsubseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle A\times B.}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(a_{2},b_{2}\right)}$ ${\displaystyle A\times B,}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)}$ ${\displaystyle a_{1}\preceq a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}\sqsubseteq b_{2}.}$

Otro posible ordenamiento es el orden lexicográfico . Es un ordenamiento total si ambos y están totalmente ordenados. Sin embargo, el pedido de productos de dos pedidos en total no es, en general, total; por ejemplo, los pares y son incomparables en el orden del producto del pedido consigo mismo. La combinación lexicográfica de dos órdenes totales es una extensión lineal de su orden de producto y, por tanto, el orden de producto es una subrelación del orden lexicográfico. ^[3] ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 0<1}$

El producto cartesiano con el orden del producto es el producto categórico en la categoría de conjuntos parcialmente ordenados con funciones monótonas . ^[7]

El orden de los productos se generaliza a productos cartesianos arbitrarios (posiblemente infinitos). Supongamos que es un conjunto y para cada uno hay un conjunto reservado. Entonces el ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$el pedido anticipado del producto se define declarando para cualquierayenese ${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a}}$ ${\displaystyle i_{\bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle j_{\bullet }=\left(j_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a},}$

${\displaystyle i_{\bullet }\leq j_{\bullet }}$si y solo si para cada ${\displaystyle i_{a}\leq j_{a}}$ ${\displaystyle a\in A.}$

Si cada pedido es parcial, también lo será el pedido anticipado del producto. ${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$

Además, dado un conjunto, el orden del producto sobre el producto cartesiano se puede identificar con el orden de inclusión de subconjuntos de ^[4] ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \prod _{a\in A}\{0,1\}}$ ${\displaystyle A.}$

La noción se aplica igualmente bien a los pedidos anticipados . El orden del producto es también el producto categórico en una serie de categorías más ricas, incluidas celosías y álgebras de Boole . ^[7]

Ver también

• Producto directo de relaciones binarias.
• Ejemplos de pedidos parciales
• Producto estrella , una forma diferente de combinar pedidos parciales
• Órdenes sobre el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados
• Suma ordinal de pedidos parciales
• Espacio vectorial ordenado  : espacio vectorial con orden parcial

Referencias

1. Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), "4.2 Orden de productos y orden lexicográfico", Posets básicos, World Scientific, págs. 64–78, ISBN 9789810235895
2. Sudhir R. Ghorpade; Balmohan V. Limaye (2010). Un curso de cálculo y análisis multivariable . Saltador. pag. 5.ISBN​ 978-1-4419-1621-1.
3. Egbert Harzheim (2006). Conjuntos ordenados . Saltador. págs. 86–88. ISBN 978-0-387-24222-4.
4. Victor W. Marek (2009). Introducción a las Matemáticas de la Satisfacibilidad . Prensa CRC. pag. 17.ISBN​ 978-1-4398-0174-1.
5. Davey & Priestley, Introducción a las celosías y al orden (segunda edición), 2002, pág. 18
6. Alejandro Shen; Nikolai Konstantinovich Vereshchagin (2002). Teoría de conjuntos básica . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 43.ISBN​ 978-0-8218-2731-4.
7. Paul Taylor (1999). Fundamentos prácticos de las matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 144-145 y 216. ISBN 978-0-521-63107-5.