Orden de incrustación

En la teoría del orden , una rama de las matemáticas , una incrustación de orden es un tipo especial de función monótona que proporciona una forma de incluir un conjunto parcialmente ordenado en otro. Al igual que las conexiones de Galois , las incrustaciones de orden constituyen una noción que es estrictamente más débil que el concepto de isomorfismo de orden . Ambos debilitamientos pueden entenderse en términos de la teoría de categorías .

Definición formal

Formalmente, dados dos conjuntos parcialmente ordenados (posets) y , una función es una incrustación de orden si es tanto preservadora del orden como refleja el orden , es decir, para todos y en , uno tiene ${\displaystyle (S,\leq )}$ ${\displaystyle (T,\preceq )}$ ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle x\leq y{\text{ if and only if }}f(x)\preceq f(y).}$^[1]

Una función de este tipo es necesariamente inyectiva , ya que implica y . ^[1] Si existe un orden de incrustación entre dos conjuntos parciales y , se dice que se puede incrustar en . ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

Propiedades

Incrustación de orden mutuo de y , utilizando en ambas direcciones. ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=(94x+3)/100}$

El conjunto de divisores de 6, parcialmente ordenado por x, divide a y . La incrustación no puede ser una corretracción. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle id:\{1,2,3\}\to S}$

Un isomorfismo de orden puede ser caracterizado como una incrustación de orden sobreyectiva . Como consecuencia, cualquier incrustación de orden f se restringe a un isomorfismo entre su dominio S y su imagen f ( S ), lo que justifica el término "incrustación". ^[1] Por otra parte, bien podría ser que dos conjuntos de objetos (necesariamente infinitos) sean mutuamente incrustables en orden sin ser isomorfos en orden.

Un ejemplo lo proporciona el intervalo abierto de números reales y el intervalo cerrado correspondiente . La función asigna el primero al subconjunto del segundo y el segundo al subconjunto del primero, véase la imagen. Ordenar ambos conjuntos de forma natural preserva y refleja el orden (porque es una función afín ). Sin embargo, no puede existir ningún isomorfismo entre los dos conjuntos parciales, ya que eg tiene un elemento menor mientras que no lo tiene. Para un ejemplo similar que utiliza arctan para ordenar e incorporar los números reales en un intervalo, y el mapa de identidad para la dirección inversa, véase eg Just y Weese (1996). ^[2] ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=(94x+3)/100}$ ${\displaystyle (0.03,0.97)}$ ${\displaystyle [0.03,0.97]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Una retracción es un par de mapas que preservan el orden cuya composición es la identidad. En este caso, se llama una corretracción y debe ser una incrustación de orden. ^[3] Sin embargo, no toda incrustación de orden es una corretracción. Como ejemplo trivial, la incrustación de orden única del poset vacío a un poset no vacío no tiene retracción, porque no hay un mapa que preserve el orden . De manera más ilustrativa, considere el conjunto de divisores de 6, parcialmente ordenado por x divide y , vea la imagen. Considere el sub-poset incrustado . Una retracción de la incrustación necesitaría enviar a algún lugar en por encima de ambos y , pero no existe tal lugar. ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:\emptyset \to \{1\}}$ ${\displaystyle g:\{1\}\to \emptyset }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle id:\{1,2,3\}\to S}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$

Perspectivas adicionales

Los conjuntos de objetos pueden verse directamente desde muchas perspectivas y las incrustaciones de orden son lo suficientemente básicas como para que sean visibles desde cualquier lugar. Por ejemplo:

• ( Modelo teórico ) Un poset es un conjunto dotado de una relación binaria (reflexiva, antisimétrica y transitiva) . Una incrustación de orden A → B es un isomorfismo de A a una subestructura elemental de B.
• ( Grafo teóricamente ) Un conjunto parcial es un grafo ( transitivo, acíclico, dirigido, reflexivo) . Una incrustación de orden A → B es un isomorfismo de grafo de A a un subgrafo inducido de B.
• ( Categoría teóricamente ) Un conjunto poset es una categoría (pequeña, delgada y esquelética) tal que cada conjunto poset tiene como máximo un elemento. Una incrustación de orden A → B es un funtor completo y fiel de A a B que es inyectivo en objetos, o equivalentemente un isomorfismo de A a una subcategoría completa de B.

Véase también

• Teorema de Dushnik-Miller
• Teorema de Laver

Referencias

1. Davey, BA; Priestley, HA (2002), "Mapas entre conjuntos ordenados", Introducción a Lattices and Order (2.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, págs. 23-24, ISBN 0-521-78451-4, Sr.  1902334.
2. Just, Winfried; Weese, Martin (1996), Descubriendo la teoría de conjuntos moderna: los conceptos básicos, Fields Institute Monographs, vol. 8, American Mathematical Society, pág. 21, ISBN 9780821872475
3. Duffus, Dwight; Laflamme, Claude; Pouzet, Maurice (2008), "Retractos de conjuntos parciales: la propiedad de la brecha de cadena y la propiedad de selección son independientes", Algebra Universalis , 59 (1–2): 243–255, arXiv : math/0612458 , doi :10.1007/s00012-008-2125-6, MR  2453498, S2CID  14259820.