En la geometría diferencial de curvas , una ruleta es un tipo de curva , generalizando cicloides , epicicloides , hipocicloides , trocoides , epitrocoides , hipotrocoides e involutas . En un nivel básico, es la trayectoria que traza una curva al rodar sobre otra curva sin resbalar.
En términos generales, una ruleta es la curva descrita por un punto (llamado generador o polo ) unido a una curva dada, a medida que dicha curva rueda sin deslizarse a lo largo de una segunda curva dada que es fija. Más precisamente, dada una curva unida a un plano que se mueve de modo que la curva rueda, sin deslizarse, a lo largo de una curva dada unida a un plano fijo que ocupa el mismo espacio, entonces un punto unido al plano en movimiento describe una curva, en el plano fijo llamada ruleta.
En el caso en que la curva rodante es una línea y la generatriz es un punto en la línea, la ruleta se llama involuta de la curva fija. Si la curva rodante es un círculo y la curva fija es una línea, entonces la ruleta es una trocoide . Si, en este caso, el punto se encuentra en el círculo, entonces la ruleta es una cicloide .
Un concepto relacionado es el de glissette , la curva descrita por un punto unido a una curva dada a medida que se desliza a lo largo de dos (o más) curvas dadas.
Formalmente hablando, las curvas deben ser curvas diferenciables en el plano euclidiano . La curva fija se mantiene invariante; la curva rodante se somete a una transformación de congruencia continua de modo que en todo momento las curvas sean tangentes en un punto de contacto que se mueve con la misma velocidad cuando se toma a lo largo de cualquiera de las curvas (otra forma de expresar esta restricción es que el punto de contacto de las dos curvas es el centro instantáneo de rotación de la transformación de congruencia). La ruleta resultante está formada por el lugar geométrico del generador sometido al mismo conjunto de transformaciones de congruencia.
Modelando las curvas originales como curvas en el plano complejo , sean las dos parametrizaciones naturales de las curvas rotatorias ( ) y fijas ( ) , tales que , , y para todo . La ruleta del generador como se lanza en viene dada entonces por la aplicación:
Si en lugar de fijar un único punto a la curva rodante se lleva a cabo otra curva dada a lo largo del plano móvil, se produce una familia de curvas congruentes. La envolvente de esta familia también puede denominarse ruleta.
Ciertamente se pueden imaginar ruletas en espacios más altos, pero es necesario alinear más que solo las tangentes.
Si la curva fija es una catenaria y la curva rodante es una recta , tenemos:
La parametrización de la línea se elige de manera que
Aplicando la fórmula anterior obtenemos:
Si p = − i la expresión tiene una parte imaginaria constante (es decir − i ) y la ruleta es una línea horizontal. Una aplicación interesante de esto es que una rueda cuadrada podría rodar sin rebotar sobre una carretera que es una serie de arcos catenarios emparejados.
